Thèse de Doctorat de Mathématiques

de l’Université Paris 6

Equipe d’Analyse

M. Franz LEHNER

M_{n}-espaces,

sommes d’unitaires

et

analyse harmonique sur le groupe libre.

soutenue le 22 septembre 1997 devant le jury composé de :

Mme Claire ANANTHARAMAN-DELAROCHE M. Christian LE MERDY M. Bernard MAUREY M. Gilles PISIER

ii

Cette thèse a été réalisée sous la direction de Monsieur Gilles Pisier. Je le remercie pour son attention et ses conseils qui rendaient ce travail possible. Il m’a proposé une multitude de problèmes intéressants tout en me laissant travailler très librement. Je suis très reconnaissant à Madame Claire Anantharaman-Delaroche ainsi qu’à Messieurs Bernard Maurey et Christian Le Merdy pour l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant de participer au jury. Je remercie la Gruppe Funktionalanalysis de l’université de Linz, le programme ERAS-MUS et en particulier Jim Cooper, qui m’a ouvert la possibilité de faire des études à Paris et m’a supporté pendant tout mon travail. Les étudiants et les membres de l’équipe d’analyse, qui rendaient si joyeuse l’atmosphère dans le couloir 46-0, méritent toute ma gratitude. Je ne dois pas oublier de remercier l’équipe de Milner Hall à Texas A&M University, où j’ai passé trois séjours et où le premier résultat de cette thèse a été découvert. Sur le plan mathématique le contre-exemple construit dans le deuxième chapitre doit beaucoup à Philippe Biane. Je le remercie pour plusieurs discussions très stimulantes. Sur le plan administratif Asma Harcharras m’a beaucoup aidé en accélerant le chemin bureaucratique de cette thèse. Je la remercie pour les heures qu’elle y a consacré. Je remercie enfin Olga pour sa patience et son support, et mes parents, qui ont rendu possible mes études et m’ont accordé toute leur confiance.

iv

Table des matières

Résumé vii

Chapitre I. M_{n}-espaces 1 I.1. Introduction et Définitions 2 I.2. Constructions de base 8 I.3. MIN et MAX 10 I.4. Sous-algèbres de C(K; M_{n}) 16 I.5. Produits tensoriels 17 I.6. Théorie locale des M_{n}-espaces et des espaces d’opérateurs 24 I.7. Exemples 27

Chapitre II. Sommes d’unitaires et analyse harmonique sur le groupe libre 37 Introduction 38 II.1. Examples 38 II.2. Families with nonnegative alternating mixed moments 41 II.3. A Characterization of the Leinert Property 45 II.4. A Counterexample. 51 II.5. Unitaries with nonnegative alternating mixed moments 53 II.6. Free operators with operator coefficients^{1} 61

Bibliographie 67

1 voir la note p. xii.

vi TABLE DES MATIÈRES

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties. La première partie est consacrée à la théorie des M_{n}-espaces et des espaces d’opérateurs abstraites que l’on peut y associer. La deuxième partie traite quelques propriétés du groupe libre liées à une inégalité récemment démontrée dans [45].

M_{n}-espaces. La théorie des espaces d’opérateurs a été fondée récemment par les équipes Effros-Ruan et Blecher-Paulsen à partir de la caractérisation abstraite des sousespaces de B(H) comme espaces matriciellement normés avec la propriété L^{∞}, donnée dans la thèse de Z.-J. Ruan. Cette caractérisation a notamment permis de définir une notion de dualité et de développer une théorie des espaces normés «non-commutatifs» analogue à la théorie des espaces de Banach. Rappelons donc que pour un espace vectoriel X on note M_{n}(X) l’espace des matrices x = [x_{ij}]_{i,j=1}^{n} avec coefficients x_{ij} ∈ X. D’après Effros-Ruan on appelle norme matricielle sur l’espace X la donnée d’une suite de normes {∥ ∥_{n}} sur M_{n}(X) qui vérifient les propriétés de compatibilité suivantes. (R0) On a pour tout k, n ∈ N et toute matrice x ∈ M_{k}(X) l’identité

∥[\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]∥_{n} = ∥x∥_{k}

(R1) Pour des matrices scalaires α = [α_{ij}] ∈ M_{n}, β = [β_{ij}] ∈ M_{n} et pour une matrice x = [x_{ij}] ∈ M_{n}(X) on a

∥[ ∑_{k,l=1}^{n} α_{ik}x_{kl}β_{lj}]_{i,j=1}^{n}∥_{n} ≤ ∥α∥ ∥x∥_{n} ∥β∥

La norme matricielle est dite L^{∞} si pour x ∈ M_{m}(X) et x′ ∈ M_{n}(X) elle vérifie en plus

∥[\begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x′ \end{matrix}]∥_{m+n} = max \{ ∥x∥_{m}, ∥x′∥_{n} \} (R2)

Les morphismes dans cette catégorie sont les applications complètement bornées (en abrégé c.b.). Le théorème de Ruan dit que si un espace matriciellement normé vérifie la condition (R2), alors il existe un plongement X → B(H) complètement isométrique. Pour cette raison on appelle (R1) et (R2) les axiomes de Ruan. Il y a donc deux façons de présenter un espace d’opérateurs X : Soit la donnée d’un plongement explicite J : X → B(H), soit la donnée d’une norme matricielle sur X vérifiant les axiomes de Ruan. En particulier, tout espace de Banach autant que sous-espace des fonctions continues sur la boule unité de son dual peut être muni d’une structure d’espace d’opérateurs «naturelle». À l’exception de quelques exemples, cette structure n’est pas la seule possible. En effet, Vern Paulsen [40] a observé que sur un espace de Banach X il y a toujours une structure d’espace d’opérateurs minimale et une structure maximale de sorte que toute autre structure d’espace d’opérateurs sur X est incluse entre ces deux structures et il a introduit le paramètre α(X) = ∥id : MIN(X) → MAX(X)∥_{cb} pour mesurer la «distance» entre MIN et MAX. Le but de la première partie de cette thèse est d’étudier les espaces n-normés, c’est-à-dire la catégorie des espaces vectoriels X donnés avec une norme ∥ ∥_{n} sur M_{n}(X) pour un nombre n fixé. D’une part, on va établir un critère analogue aux axiomes de Ruan caractérisant les espaces n-normés qui admettent une réalisation n-isométrique comme sous-espace de B(H). D’autre part, un espace n-normé qui vérifie ce critère peut alors être considéré comme classe d’équivalence d’espaces d’opérateurs et on peut définir des structures minimales et maximales analogues aux structures MIN et MAX de Paulsen.

Voici un résumé de la première partie. Dans la section I.1 on donne la théorie de base des espaces n-normés. Les morphismes de cette catégorie sont les applications n-bornés. Comme dans la catégorie des espaces d’opérateurs on peut munir l’espace dual d’un espace n-normé avec une n-norme en posant M_{n}(X^{∗}) = B_{n}(X, M_{n}). Un résultat de Roger Smith [56] implique que cette définition est compatible avec la définition du dual d’un espace d’opérateurs, c’est-à-dire que pour un espace d’opérateurs X, la norme sur M_{n}(X^{∗}) ne dépend que de la norme ∥ ∥_{n} sur M_{n}(X). Pour caractériser les espace n-normés d’opérateurs, que l’on appellera désormais M_{n}- espaces, la condition (R2) doit être remplacée par la condition suivante :

∥∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}∥_{M_{n}(X)} ≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{n} max ∥x_{i}∥_{M_{n}(X)} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{n} (R)

pour toutes suites finies α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} et x_{i} ∈ M_{n}(X). On a en effet le théorème suivant.

Théorème 1. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un espace n-normé. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Il existe un plongement n-isométrique X → B(H). (ii) Il existe un plongement n-isométrique X → M_{n}(C(K)) = C(K; M_{n}). (iii) (X, ∥ ∥_{n}) vérifie la condition (R). (iv) L’inclusion naturelle X → X^{∗∗} est une n-isométrie.

Par exemple, le dual d’un espace n-normé est toujours un M_{n}-espace. Dans la section I.2 on rappelle les constructions de base d’espaces d’opérateurs qui peuvent être adaptées aux M_{n}-espaces, comme quotients, sommes directes, interpolation complexe, ultraproduits, conjugaison et transposition. Dans la section I.3 les structures minimales et maximales d’espaces d’opérateurs sur un M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) sont introduites de manière analogue aux structures MIN et MAX de Paulsen. Ces structures seront notées MIN(X, ∥ ∥_{n}) et MAX(X, ∥ ∥_{n}) respectivement et pour x ∈ M_{p}(X) on a les formules suivantes :

∥x∥_{M_{p}(MIN(X,∥ ∥_{n}))} = sup { ∥[⟨f_{ij}, x_{kl}⟩]∥_{M_{n}⊗M_{n}} | [f_{ij}] ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥[f_{ij}]∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
∥x∥_{M_{p}(MAX(X,∥ ∥_{n}))} = inf { ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{p} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{p} | x = ∑ α_{i} · x_{i} · β_{i},

α_{i} ∈ M_{p,n}, β_{i} ∈ M_{n,p}, x_{i} ∈ M_{n}(X), ∥x∥_{n} ≤ 1 } .

On peut donc caractériser les espaces MIN(X, ∥ ∥_{n}) comme les sous-espaces d’opérateurs de C(K; M_{n}). La structure MAX peut être définie également comme la structure duale de MIN. On a en effet

MAX(X, ∥ ∥_{n})^{∗} = MIN(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗})
MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗} = MAX(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗})

complètement isométriquement. Ceci est une conséquence du fait que la structure MIN est injective dans le sens qu’un plongement n-isométrique d’un M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) dans un autre M_{n}-espace (Y, ∥ ∥_{n}) induit un plongement complètement isométrique de MIN(X, ∥ ∥_{n}) dans MIN(Y, ∥ ∥_{n}). En particulier, on a l’identité complètement isométrique MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}) = MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗∗}. On peut aussi caractériser les structures MIN et MAX comme les structures universelles pour les propriétés d’extension suivantes.

Pour tout espace d’opérateurs Y et tout application n-bornée u : Y → (X, ∥ ∥_{n}) on a que u : Y → MIN(X, ∥ ∥_{n}) est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} ≤ ∥u∥_{n}. Pour tout espace d’opérateurs Y et tout application n-bornée u : (X, ∥ ∥_{n}) → Y on a que u : MAX(X, ∥ ∥_{n}) → Y est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} ≤ ∥u∥_{n}.

Après la caractérisation des sous-espaces de C(K; M_{n}) de la section précédente on donne dans la section I.4 une caractérisation des quotients des sous-algèbres de C(K; M_{n}) analogue au lemme de Craw.

Proposition 2. Une algèbre de Banach X est isomorphe à un quotient d’une sous-algèbre de C(K; M_{n}) si et seulement si il existe une constante C telle que pour tout entier m et tout polynôme non-commutatif à m variables P on a pour x_{1}, x_{2}, …, x_{m} ∈ X avec ∥x_{i}∥ ≤ C l’inégalité

∥P (x_{1}, x_{2}, …, x_{m})∥_{X} ≤ sup { ∥P (u_{1}, u_{2}, …, u_{m})∥M_{n} | u_{i} ∈ M_{n} unitaires }

Dans la section I.5 on développe une théorie des produits tensoriels raisonnables analogues aux cross-normes raisonnables sur les produits tensoriels des espaces de Banach. Pour munir le produit tensoriel de deux M_{n}-espaces X et Y d’une norme «naturelle», c’est-à-dire d’une norme qui se comporte bien par rapport aux n-normes données sur les espaces de base, il convient d’employer le produit tensoriel de Haagerup. Pour des matrices x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(Y) on note x ⊙ y ∈ M_{n}(X⊗Y) la matrice [∑_{k} x_{ik}⊗y_{kj}]_{i,j} et on dit qu’une norme α sur M_{n}(X⊗Y) est raisonnable si elle vérifie la condition (R) et si on a en plus α(x ⊙ y) ≤ ∥x∥_{n} ∥y∥_{n} pour x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(Y). Ensuite on montre que parmi ces normes il y a une norme raisonnable minimale injective ∥ ∥_{∨,n} et une norme raisonnable maximale projective ∥ ∥_{∧,n} qui ont des propriétés analogues aux propriétés des normes tensorielles injectives et projectives classiques, avec lesquelles elles coïncident si n = 1. Pour u = [u_{kl}] ∈ M_{n}(X⊗Y) ces normes sont données par les formules

∥u∥_{∨,n} = sup { ∥[⟨(f ⊙ g)_{ij}, u_{kl}⟩]_{ik,jl}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ∥f∥_{M_{n}(X^{∗})} ≤ 1, ∥g∥_{M_{n}(Y^{∗})} ≤ 1 }
∥u∥_{∧,n} = inf { ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max ∥x_{i}∥_{n} max ∥y_{i}∥_{n} |
u = ∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}, α_{i}, β_{i} ∈ M_{n}, x_{i} ∈ M_{n}(X), y_{i} ∈ M_{n}(Y) }

qui convergent vers les deux formules équivalentes du produit tensoriel de Haagerup. La section I.6 contient des outils pour étudier la théorie locale des M_{n}-espaces et leurs structures d’espaces d’opérateurs. Rappelons qu’un espace d’opérateurs X est dit homogène si CB(X, X) = B(X, X) isométriquement. On observe que pour un espace d’opérateurs homogène (X, {∥ ∥_{n}}) les espaces MIN(X, ∥ ∥_{n}) et MAX(X, ∥ ∥_{n}) le sont aussi et qu’ils sont donc accessibles aux calculs assez explicites, comme on verra dans la section I.7. Puis on montre des versions plus générales des résultats de Zhang [61] qui permettront notamment d’étudier les M_{n}-espaces hilbertiens. On établie également un lien avec la constante d_{S𝒦} qui a été introduite dans [48], et que l’on peut interpréter de la manière suivante :

d_{S𝒦} (X) = inf_{k} d_{cb}(X, MIN(X, ∥ ∥_{k})).

Les valeurs connues de ce paramètre pour certaines espaces d’opérateurs donneront des estimations asymptotiques dans la section qui suit. La section I.7 est consacrée aux calculs des distances de Banach-Mazur entre plusieurs espaces d’opérateurs «classiques» et les constantes de Paulsen généralisées de leurs structures minimales et maximales. En particulier on donne des estimations pour les espaces d’opérateurs hilbertiens homogènes MIN(ℓ_{2}^{n}), MAX(ℓ_{2}^{n}), R_{n}, C_{n}, R_{n} ∩ C_{n}, R_{n} + C_{n} et OH_{n}. On obtient également une généralisation d’un résultat de M. Junge et G. Pisier qui montre que sur un M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) de dimension supérieure à 16 n on ne peut pas avoir unicité de la structure d’espace d’opérateurs. L’exemple de R_{n} et C_{n} dont la structure d’espace d’opérateurs est déterminée par la n-structure montre que à constante près cette estimation est optimale.

Sommes d’unitaires et analyse harmonique sur le groupe libre. Dans la deuxième partie on fait une étude de l’inégalité suivante due à Gilles Pisier (cf. [45, Theorem 1] et [29] pour une application). Notons g_{i} les générateurs du groupe libre et λ(g_{i}) leurs images par la représentation régulière gauche. Alors on a pour toute suite finie d’opérateurs unitaires u_{i} ∈ B(H)

∥∑_{i=1}^{n} u_{i}⊗\overline{u_{i}}∥_{min} ≥ ∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i})∥_{min} = 2\sqrt{n − 1} (1)

Ceci généralise une inégalité obtenue pour les représentations régulières des groupes discrets par H. Kesten [30]. On étudie le principe combinatoire sous-jacent et on donne des versions plus générales. Ensuite on essaie de caractériser les unitaires pour lesquelles on a égalité dans l’inégalité mentionné ci-dessus. On donne une caractérisation complète pour le cas où les u_{i} viennent de la représentation régulière d’un groupe discret ainsi qu’un contre-exemple à une conjecture de Pisier qui montre que dans le cas général une caractérisation sera plus compliquée. Ce contre-exemple a été trouvé en collaboration avec Philippe Biane. Voici un résumé. Dans la section II.1 on donne quelques exemples qui sont accessibles aux calculs explicites et qui exhibent la propriété combinatoire qui distingue les générateurs de la C^{∗}-algèbre réduite du groupe libre. Dans la section II.2 on introduit la notion d’une famille d’opérateurs avec moments alternés non-négatifs qui est un analogue non-commutatif des coefficients scalaires nonnégatifs. Soit A une C^{∗}-algèbre et soit φ un état sur A. Alors on dit qu’une famille d’opérateurs (a_{i})_{i∈I} a des moments alternés mixtes non-négatifs si pour tout entier m et tout choix d’indices i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{m}, j_{m} ∈ I on a

φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{m}}^{∗}a_{j_{m}}) ≥ 0.

Cette propriété est particulièrement intéressante si elle est satisfaite pour une famille fidèle d’états. On dit qu’une famille d’états S sur A est fidèle si l’application complètement positive Φ_{S} : A → ℓ_{∞}(S), a → (φ(a))_{φ∈S} est fidèle. Leur intérêt vient du lemme suivant.

Lemme 3. Soient A et B des C^{∗}-algèbres et soit Φ : A → B une application complètement positive fidèle. Alors on peut calculer la norme d’un élément a ∈ A à l’aide de Φ comme suit.

∥a∥_{A} = lim_{p→∞} ∥Φ((a^{∗}a)^{p})∥^{\frac{1}{2p}}

Si Φ vient d’une famille fidèle d’états cette formule devient particulièrement simple et permet d’établir des versions des inégalités de Kesten et de Pisier mentionnées ci-dessus à valeurs vectorielles.

Proposition 4. Soient A, S comme ci-dessus.

(i) Soient u_{i} ∈ A des unitaires avec moments alternés mixtes non-négatifs par rapport à la famille S, alors on a pour toute suite de nombres α_{i} non-négatifs

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥ ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i}∥.

(ii) Soit (a_{i}) ⊆ A une famille à moments alternés mixtes non-négatifs et soient v_{i} des unitaires d’une C^{∗}-algèbre B dont les moments alternés mixtes par rapport à un certain état ψ sur B sont non-négatifs. Alors on a

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ v_{i}∥ ≥ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ λ(g_{i})∥.

(iii) Soient a_{i} comme dans (ii) et soient w_{i} des unitaires dans B(H) tels que ∥∑_{i=1}^{n} w_{i}∥ = n. Alors on a

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ w_{i}∥_{min} = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}∥.

Dans la section II.3 on caractérise partiellement les unitaires pour lesquelles on a égalité dans (1).

Théorème 5. Soit G un groupe discret et soit { t_{1}, t_{2}, …, t_{n} } un sous-ensemble de G de cardinalité n ≥ 3 tel que pour une certaine suite de nombres strictemment positifs α_{i} on a

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(F_{n})}

où λ_{G} est la représentation régulière gauche de G. Alors l’ensemble { t_{1}, t_{2}, …, t_{n} } a la propriété de Leinert, c’est-à-dire il existe des éléments s_{0}, s_{1}, …, s_{n−1} ∈ G tels que s_{1}, s_{2}, …, s_{n−1} engendrent une copie du groupe libre F_{n−1} dans G et tels que { t_{1}, t_{2}, …, t_{n} } = { s_{0}, s_{0}s_{1}, s_{0}s_{2}, …, s_{0}s_{n−1} }.

Ceci généralise un résultat de Kesten qui a montré le même énoncé pour les ensembles symétriques, cf. [30]. Le lien avec l’inégalité (1) est donné par le principe de Fell qui entraîne que les représentations g ↦ λ(g)⊗I et g ↦ λ(g)⊗\overline{λ(g)} sont unitairement équivalentes. Dans la section II.4 on exhibe des unitaires u_{i} qui vérifient d’une part

∥∑_{i=1}^{r}(u_{i} ⊗ \overline{u_{i}} + u_{i}^{∗} ⊗ \overline{u_{i}^{∗}})∥ = 2\sqrt{2r − 1}

et d’autre part

∥∑_{i=1}^{r}(u_{i} + u_{i}^{∗})∥ > 2\sqrt{2r − 1}.

Ceci résout une conjecture de G. Pisier énoncé dans [45]. Néanmoins, la conjecture suivante reste ouverte.

Conjecture 6. Soient u_{1}, u_{2}, …, u_{n} des unitaires dans une C^{∗}-algèbre A ayant des moments alternés mixtes non-négatifs par rapport à une famille fidèle d’états et tels que

∥∑_{i=1}^{n} u_{i}∥ = 2\sqrt{n − 1}

alors l’espace d’opérateurs engendré par u_{i} est (complètement) isométrique à celui engendré par λ(g_{i}).

Elle fait l’objet de la section II.5 et avec des méthodes combinatoires on obtient les résultats suivants.

Proposition 7. Soit A une C^{∗}-algèbre.

(i) Soient a, u ∈ A avec u unitaire. Alors si les moments alternés mixtes de a et u par rapport à une famille fidèle d’états sont non-négatifs, on a

∥a + u∥ ≥ \frac{1}{2} (∥a∥ + \sqrt{∥a∥^{2} + 4}) .

(ii) Soient u_{1}, u_{2}, …, u_{n} ∈ A des unitaires à moments alternés mixtes par rapport à une famille fidèle d’états. Alors si pour 2 ≤ m ≤ n on note T_{m} = ∑_{1}^{m} u_{i}, y_{m} = ∥T_{m}∥^{2} − 2(m − 1), et

w_{m} = y_{m} + \sqrt{y_{m}^{2} − 4(m − 1)^{2}} = ∥T_{m}∥^{2} − 2(m − 1) + ∥T_{m}∥\sqrt{∥T_{m}∥^{2} − 4(m − 1)}

on a

w_{m} ≤ w_{n}.

En particulier, si l’on a ∥∑_{1}^{n} u_{i}∥ = 2\sqrt{n − 1} alors

∥∑_{i=1}^{m} u_{i}∥ ≤ 2\sqrt{m − 1 + \frac{(n − m)^{2}}{4(n − 1)}} .

Pour la démonstration on développe une théorie des fonctions radiales non-symétriques analogue à la théorie des fonctions radiales sur le groupe libre, cf. [11], [12] et [51]. Enfin dans la section II.6 on donne une formule analogue à celle de C. Akemann et P. Ostrand pour estimer les normes des opérateurs libres à valeurs opérateurs.

Proposition 8. (i) Soient a_{1}, a_{2}, …, a_{n} des opérateurs dans l’adhérence des opérateurs invertibles sur un espace de Hilbert. Alors on a

∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥_{min} ≤ inf_{s>0} ∥∑_{i=1}^{n} (s^{2}I + a_{i}a_{i}^{∗})^{1/2} − (n − 2)sI∥^{1/2} ×

× ∥∑_{i=1}^{n} (s^{2}I + a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} − (n − 2)sI∥^{1/2}

(ii) Pour des opérateurs a_{i} ∈ B(H) arbitraires on a

∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥_{min} ≤ 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} (\frac{∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥ + ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥}{2})^{1/2}

≤ 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} max \{ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥^{1/2}, ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥^{1/2} \}

Cette formule fournit la constante optimale dans une inégalité dans [26]. Sa démonstration suit la démonstration simplifiée de la formule de Akemann due à M.A. Picardello et T. Pytlik [44]. Celle-ci s’adapte aisément aux coefficients non-commutatifs inversibles. Pour montrer (ii) on fait appel à la théorie des espaces d’opérateurs. Malheureusement des exemples montrent que cette formule n’est qu’une estimation et il reste à trouver une formule exacte^{2}.

2 Au moment de la réliure de cette thèse une formule est trouvée et fera l’objet d’un article en préparation.

Les sections II.3 «A characterization of the Leinert property» et II.6 «Free operators with operator coefficients» paraîtront sous les mêmes titres dans Proceedings of the American Mathematical Society et Colloquium Mathematicum respectivement.

xiv TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE I M_{n}-espaces

1

2 I. M_{n}-ESPACES

I.1. Introduction et Définitions

Définition I.1.1. Soit M_{n} = M_{n}(C) l’algèbre des matrices complexes et { e_{ij} | 1 ≤ i, j ≤ n } sa base canonique. Pour un espace normé complexe X on note M_{n}(X) l’espace vectoriel M_{n}⊗X des matrices x = [x_{ij}]_{i,j=1}^{n} = ∑ e_{ij}⊗x_{ij} avec entrées x_{ij} ∈ X muni de l’addition et multiplication scalaire naturelle. On va considérer M_{n}(X) aussi comme M_{n}-bimodule avec multiplications à gauche et à droite par des matrices α = [α_{ij}], β = [β_{ij}] ∈ M_{n}

(α · x)_{ij} = ∑_{k=1}^{n} α_{ik}x_{kj}

(x · β)_{ij} = ∑_{k=1}^{n} x_{ik}β_{kj}

Une n-norme matricielle sur X est une norme ∥ ∥_{n} sur M_{n}(X) avec les propriétés suivantes.

(R0)_{n} Pour toute matrice de la forme

x = [\begin{matrix}x_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

on a ∥x∥_{n} = ∥x_{11}∥_{X}

(R1)_{n} Pour toute paire de matrices unitaires υ, ω ∈ U(n) et toute matrice x ∈

M_{n}(X) on a

∥υ · x · ω∥_{n} = ∥x∥_{n}.

La norme ∥ ∥_{n} sur M_{n}(X) est dite L^{∞} si elle vérifie en plus

(R2)_{n} Pour toute matrice x ∈ M_{n}(X) de la forme

x = [\begin{matrix}x_{1} & 0 \\ 0 & x_{2} \end{matrix}]

avec x_{1} ∈ M_{k}(X) et x_{2} ∈ M_{n−k}(X) on a

∥x∥_{n} = max { ∥x_{1}∥_{k}, ∥x_{2}∥_{n−k} };

ici la norme ∥ ∥_{k} est la norme induite sur M_{k}(X) par l’inclusion naturelle

M_{k}(X) ∋ x ↦ [ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ M_{n}(X).

Remarque I.1.2. Par le théorème de Russo-Dye la condition (R1)_{n} équivaut à la condition

∥α · x · β∥_{n} ≤ ∥α∥M_{n}∥x∥_{n}∥β∥M_{n}. (R1)_{n}’

pour toutes α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} et tout x ∈ M_{n}(X).

Les morphismes naturels dans cette catégorie sont les applications n-bornées de la définition suivante.

Définition I.1.3. Soient (X, ∥ ∥_{X,n}), (Y, ∥ ∥_{Y,n}) des espaces n-normés et soit u : X → Y une application linéaire continue. Alors on note u_{n} l’application

u_{n} : M_{n}(X) → M_{n}(Y)
[x_{ij}] ↦ [u(x_{ij})]

et B_{n}(X, Y) l’espace B(X, Y) muni de la norme ∥u∥_{n} = ∥u_{n}∥. Les notions de n-contraction et n-isométrie s’appliquent aux applications linéaires φ pour lesquelles φ_{n} est contractante ou isométrique respectivement. On note

(I.1.1) d_{n}(X, Y) = inf { ∥u∥_{n}∥u^{−1}∥_{n} | u : X → Y isomorphisme }

la n-distance de Banach-Mazur entre X et Y. On sera conduit à identifier deux espaces n-normés (X, ∥ ∥_{X,n}) et (Y, ∥ ∥_{Y,n}) s’il existe un isomorphisme linéaire n-isométrique entre X et Y, i.e. si d_{n}(X, Y) = 1. En particulier, si l’on prend Y = M_{n}, on obtient une n-norme L^{∞} naturelle sur X^{∗} en identifiant M_{n}(X^{∗}) avec B_{n}(X, M_{n}) isométriquement, i.e. pour f = [f_{ij}] ∈ M_{n}(X^{∗}) on pose

∥f∥_{n}^{∗} = sup { ∥[f_{ij}(x_{kl})]_{ik,jl}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ∥[x_{kl}]∥_{n} ≤ 1 } (I.1.2)

et on appelle (X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) l’espace n-normé dual de (X, ∥ ∥_{n}). Ici et dans la suite le produit tensoriel M_{m}⊗M_{n} est le produit tensoriel minimal obtenu en identifiant [α_{ij}]⊗[β_{kl}] avec la matrice [α_{ij}β_{kl}]_{ik,jl} ∈ M_{mn}. Pour f ∈ M_{m}(X^{∗}), x ∈ M_{n}(X), α, β ∈ M_{m} et γ, δ ∈ M_{n} on va noter ⟨f, x⟩ = [⟨f_{ij}, x_{kl}⟩] ∈ M_{m}⊗M_{n} de sorte que

⟨α · f · β, γ · x · δ⟩ = α⊗γ ⟨f, x⟩ β⊗δ.

Remarque I.1.4. Une application linéaire Φ : M_{n}(X) → M_{n}(Y) peut être représentée sous la forme φ_{n} pour un certain φ : X → Y si et seulement si elle respecte la structure de M_{n}-bimodule de M_{n}(X) et M_{n}(Y), i.e. si et seulement si Φ(α · x · β) = α · Φ(x) · β pour α, β ∈ M_{n} et x ∈ M_{n}(X).

Remarque I.1.5. Rappelons également la formule suivante de la n-norme duale pour les espaces de dimension finie. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un espace n-normé de dimension finie avec base { e_{1}, e_{2}, …, e_{N} } et soit { e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗}, …, e_{N}^{∗} } une base biorthonormale de X^{∗}. Alors on a pour toute suite α_{i} ∈ M_{n} la formule

∥∑ α_{i}⊗e_{i}^{∗}∥_{M_{n}(X^{∗})} = sup { ∥∑ α_{i}⊗β_{i}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | β_{i} ∈ M_{n}, ∥∑ β_{i}⊗e_{i}∥_{M_{n}(X)} ≤ 1 } . (I.1.3)

Définition I.1.6. 1. Un espace matriciellement normé est un espace vectoriel X dont tous les espaces matricielles M_{n}(X) sont munis de normes ∥ ∥_{n} compatibles dans le sens que les conditions (R0)_{n}, et (R1)_{n} sont vérifiées pour tout n ∈ N.

2. Soit B(H) l’algèbre des opérateurs linéaires bornés sur l’espace de Hilbert H. Un espace d’opérateurs est un sous-espace linéaire X de B(H). Un tel espace est muni de n-normes naturelles en identifiant M_{n}(X) avec un sous-espace de M_{n}(B(H)) = B(ℓ_{2}^{n}(H)).

3. Une application linéaire T : X → Y entre deux espaces matriciellement normés X et Y est dite complètement bornée (c.b.) si les normes ∥T_{n} : M_{n}(X) → M_{n}(Y)∥ sont uniformément bornées et on pose ∥T ∥_{cb} = sup_{n} ∥T ∥_{n}. On note cb(X, Y) l’espace de Banach des applications complètement bornées muni de la norme ∥ ∥_{cb}. On note

d_{cb}(X, Y) = inf { ∥u∥_{cb}∥u^{−1}∥_{cb} | u : X → Y isomorphisme } = sup_{n} d_{n}(X, Y)

la distance c.b. entre X et Y.

Une caractérisation des normes matricielles d’opérateurs est donnée par le Théorème de Ruan ([54],[22]). Un espace matriciellement normé (X, {∥ ∥_{n}}) peut être plongé dans B(H) complètement isométriquement si et seulement si les normes ∥ ∥_{n} vérifient (R2)_{n} pour tout n.

Ce théorème a donné naissance à une théorie d’espaces de Banach «quantiques», voir [20], [21], [6], [5] et les livres [47], [19] ; on peut en particulier munir le dual d’un espace d’opérateur avec une structure d’espace d’opérateurs canonique.

Définition I.1.7. Soit X un espace d’opérateurs. On définit la structure d’espace d’opérateurs duale standard sur X^{∗} en posant M_{n}(X^{∗}) = cb(X, M_{n}).

Remarque I.1.8. Un résultat de R. R. Smith (cf. [56, Theorem 2.10]) dit que l’on a cb(X, M_{n}) = B_{n}(X, M_{n}) isométriquement et ceci implique que pour un espace d’opérateurs X la norme sur M_{n}(X^{∗}) ne dépend que de la norme sur M_{n}(X). En particulier, la définition du dual d’un espace n-normé est compatible avec la définition du dual d’un espace d’opérateurs.

Toute structure d’espace d’opérateurs sur X induit naturellement une n-norme L^{∞} sur X et la question se pose si toute n-norme L^{∞} sur X s’étend à une structure d’espace d’opérateurs sur X. On vérifie facilement que la condition suivante est nécessaire.

∥∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}∥_{n} ≤ max ∥x_{i}∥_{n} ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{n} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{n} (R)

pour toutes suites α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} et x_{i} ∈ M_{n}(X). D’autre part, on vérifie que (R) implique (R1)_{n} et (R2)_{n}. On a en fait le théorème suivant.

Théorème I.1.9. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un espace n-normé et (X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}) son bidual défini par (I.1.2). Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Il existe une application n-isométrique X → B(H). (ii) L’inclusion naturelle X → X^{∗∗} est une n-isométrie. (iii) ∥ ∥_{n} vérifie (R) . (iv) Il existe une application n-isométrique X → M_{n}(C(K)) = C(K; M_{n}) avec K com-

pact.

L’équivalence de (i) et (ii) a été observé dans [6] ; voir aussi la proposition I.3.1 pour une construction explicite. Alors (iv) est une conséquence de (ii) si l’on prend pour K la boule unité de M_{n}(X^{∗}) avec la topologie ∗-faible. Il reste à montrer que (iii) implique (i). Ceci est une conséquence de la construction explicite (I.3.2b), mais on peut également déduire l’implication (iii) ⟹ (ii) de [22, Theorem C], qui est valable dans notre contexte aussi, si l’on fait une petite modification dans la démonstration.

Théorème I.1.10 ([22]). Soit (X, ∥ ∥_{n}) un espace n-normé vérifiant (R) et soit F ∈ M_{n}(X)^{∗} avec ∥F ∥ ≤ 1. Alors il existe une application Φ : X → M_{n} n-contractante et des matrices contractantes γ, δ ∈ M_{n^{2},1} telles que pour tout x ∈ M_{n}(x)

F (x) = γ^{∗}Φ_{n}(x)δ

Lemme I.1.11. Soit ∥ ∥_{n} une norme sur M_{n}(X) vérifiant la condition (R) et soit F ∈ M_{n}(X)^{∗} avec ∥F ∥ ≤ 1. Alors il existe des états φ_{F}, ψ_{F} sur M_{n} tels que pour toute suite finie (x_{k})_{k=1}^{p} d’éléments de M_{n}(X) et pour α_{k}, β_{k} ∈ M_{n} on a

|F (∑ α_{k} · x_{k} · β_{k})| ≤ max ∥(x_{k})∥_{n} φ_{F} (∑ α_{k}α_{k}^{∗})^{1/2} ψ_{F} (∑ β_{k}^{∗}β_{k})^{1/2} (I.1.4)

Démonstration. Il suffit de trouver φ_{F} , ψ_{F} tels que pour toute x ∈ M_{n}(X) et toute α, β ∈ M_{n} on a

ℜ𝔢F (α · x · β) ≤ \frac{1}{2}(φ_{F} (αα^{∗}) + ψ_{F} (β^{∗}β)); (I.1.5)

le cas général (I.1.4) se réduit à (I.1.5) en choisissant θ ∈ [0, 2π[ tel que e^{iθ}F (∑ α_{k}·x_{k}·β_{k}) = |F (α_{k} · x_{k} · β_{k})| et puis en minimisant la borne

|F (∑ t^{1/2}α_{k} · x_{k} · t^{−1/2}β_{k})| ≤ \frac{1}{2} (t φ_{F} (∑ α_{k}α_{k}^{∗}) + t^{−1}ψ_{F} (∑ β_{k}^{∗}β_{k})) .

Notons S_{n} l’espace des états sur M_{n} et C_{R}(S_{n}×S_{n}) l’espace des fonctions continues réelles sur S_{n} × S_{n}. Posons ℰ_{F} ⊆ C_{R}(S_{n} × S_{n}) le cône convexe des sommes de fonctions de la forme

e_{α,x,β}(φ, ψ) = φ(αα^{∗}) + ψ(β^{∗}β) − 2 ℜ𝔢F (α · x · β)

avec α, β ∈ M_{n} et ∥x∥ ≤ 1. Une fonction e = ∑ e_{i} ∈ ℰ_{F}, où e_{i} = e_{α_{i},x_{i},β_{i}}, ne peut pas être strictement négative. En effet, on peut choisir des états φ_{0} et ψ_{0} sur M_{n} tels que φ_{0}(∑ α_{i}α_{i}^{∗}) = ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥ et ψ_{0}(∑ β_{i}^{∗}β_{i}) = ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥ , respectivement. Alors la valeur de e évalué en ce point satisfait

e(φ_{0}, ψ_{0}) = φ_{0} (∑ α_{i}α_{i}^{∗}) + ψ_{0} (∑ β_{i}^{∗}β_{i}) − 2 ℜ𝔢F (∑ α_{i} · x_{i} · β_{i})
≥ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥ + ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥ − 2 |F (∑ α_{i} · x_{i} · β_{i})|
≥ 2 (∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} − |F (∑ α_{i} · x_{i} · β_{i})|)
≥ 0

à cause de (R). Notons 𝒦^{−} le cône convexe des fonctions strictement négatives sur S_{n}×S_{n}. Son intérieur est non-vide et l’intersection ℰ_{F} ∩ 𝒦^{−} = ∅. Le théorème de Hahn-Banach fournit une mesure μ_{F} sur S_{n} × S_{n} qui vérifie μ_{F} |_{𝒦^{−}} ≤ 0 et μ_{F} |_{ℰ_{F}} ≥ 0. L’inégalité pour μ_{F} |_{𝒦^{−}} implique que μ_{F} est une mesure positive et on peut supposer que μ_{F} est une probabilité. On définit maintenant les états

φ_{F} (α) = ∫∫ φ(α) dμ_{F} (φ, ψ)

et

ψ_{F} (β) = ∫∫ ψ(β) dμ_{F} (φ, ψ)

respectivement. Alors l’inégalité pour μ_{F} |_{ℰ_{F}} implique

φ_{F} (∑ α_{i}α_{i}^{∗}) + ψ_{F} (∑ β_{i}^{∗}β_{i}) − 2 ℜ𝔢F (∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}) =

∫∫ (∑ e_{i})(φ, ψ) dμ_{F} (φ, ψ) ≥ 0

Démonstration du Théorème I.1.10. Fixons une contraction F ∈ M_{n}(X)^{∗}. Le lemme I.1.11 fournit des états φ_{F} et ψ_{F} tels que F vérifie l’inégalité (I.1.4). Par la construction de Gel’fand-Naimark-Segal on peut réaliser ces états avec deux matrices de densité ξ_{F} , η_{F} ∈ M_{n} de sorte que ∥ξ_{F} ∥_{HS} = ∥η_{F} ∥_{HS} = 1 et

φ_{F} (α) = tr_{n}(ξ_{F} αξ_{F}^{∗})
ψ_{F} (β) = tr_{n}(η_{F} βη_{F}^{∗})

6 I. M_{n}-ESPACES

pour toute α, β ∈ M_{n}. Posons

K_{F} = [ξ_{F} M_{n,1}] = { ξ_{F} α | α ∈ M_{n,1} } ⊆ M_{n,1}
L_{F} = [η_{F} M_{n,1}] = { η_{F} β^{∗} | β ∈ M_{1,n} } ⊆ M_{n,1}

et pour chaque x ∈ X définissons une forme sesquilinéaire sur K_{F} × L_{F} en posant ⟨ξ_{F} α, η_{F} β^{∗}⟩_{x} = F (α · x · β); (I.1.6) alors en identifiant B(M_{n,1}) avec M_{n} on trouve une matrice ρ(x)^{t} ∈ M_{n} telle que ρ(x)^{t} = P_{L_{F}} ρ(x)^{t}P_{K_{F}} (I.1.7) et

⟨ξ_{F} α, η_{F} β^{∗}⟩_{x} = βη_{F}^{∗} ρ(x)^{t}ξ_{F} α = α^{t}ξ_{F}^{t} ρ(x)η_{F}^{∗t}β^{t}.

En posant e_{i} = [ 0 ⋮ 1 ⋮ 0 ] on a donc pour x = [x_{ij}] ∈ M_{n}(X) la formule suivante

F (x) = ∑_{ij} F (e_{i} · x_{ij} · e_{j}^{∗}) = ∑_{ij} e_{i}^{t}ξ_{F}^{t} ρ(x_{ij})η_{F}^{∗t}e_{j}^{∗t} = γ^{∗}ρ_{n}(x)δ

où γ = (ξ_{F}^{t∗}e_{i})_{i=1}^{n} ∈ M_{1,n}(M_{1,n}) ≅ C^{n^{2}} vérifie

γ^{∗}γ = ∑_{i} e_{i}^{t}ξ_{F}^{t} ξ_{F}^{t∗}e_{i} = ∑_{i} tr_{n}(ξ_{F}^{t∗}e_{i}e_{i}^{t}ξ_{F}^{t}) = tr_{n}(ξ_{F}^{t∗}ξ_{F}^{t}) = 1

et δ = (η_{F}^{t∗}e_{j})_{j=1}^{n} a une propriété analogue. Enfin l’application ρ : X → M_{n} est évidemment linéaire et il reste a montrer qu’elle est n-contractante. Fixons x = [x_{ij}] ∈ M_{n}(X). Alors

∥ρ_{n}(x)∥ = sup { ω^{∗}ρ_{n}(x)ζ | ω, ζ ∈ M_{n,1}(M_{n,1}), ω^{∗}ω ≤ 1, ζ^{∗}ζ ≤ 1 }

= sup { ∑_{i,j} ω_{i}^{∗}ρ(x_{ij})ζ_{j} | ∑_{i} ω_{i}^{∗}ω_{i} ≤ 1, ∑_{j} ζ_{j}^{∗}ζ_{j} ≤ 1 }

= sup { ∑_{i,j} ζ_{j}^{t}ρ(x_{ij})^{t}ω_{i}^{t∗} | ∑_{i} ω_{i}^{∗}ω_{i} ≤ 1, ∑_{j} ζ_{j}^{∗}ζ_{j} ≤ 1 }.

Maintenant (I.1.7) implique que l’on peut restreindre ce supremum aux vecteurs ω et ζ pour lesquels il existe α_{i} ∈ M_{n,1} et β_{j} ∈ M_{1,n} tels que

ω_{i}^{∗t} = ξ_{F} α_{i} et ζ_{i}^{∗t} = ξ_{F} β_{i}^{∗}

avec

φ_{F} (∑_{i} α_{i}α_{i}^{∗}) = ∑_{i} tr_{n}(ξ_{F} α_{i}α_{i}^{∗}ξ_{F}^{∗}) = ∑_{i} α_{i}^{∗}ξ_{F}^{∗} ξ_{F} α_{i}

= ∑_{i} α_{i}^{t}ξ_{F}^{t} ξ_{F}^{∗t}α_{i}^{∗t} = ∑_{i} ω_{i}^{∗}ω_{i}

≤ 1

et par un calcul analogue

ψ_{F} (∑_{j} β_{j}^{∗}β_{j}) ≤ 1.

On a donc

∥ρ_{n}(x)∥ = sup { ∑_{ij} β_{j}η_{F}^{∗} ρ(x_{ij})^{t}ξ_{F} α_{i} | φ_{F} (∑ α_{i}α_{i}^{∗}) ≤ 1, ψ_{F} (∑ β_{j}^{∗}β_{j}) ≤ 1 }

et par (I.1.4) on peut estimer

∑_{ij} β_{j}η_{F}^{∗} ρ(x_{ij})^{t}ξ_{F} α_{i} = F (∑ α_{i} · x_{ij} · β_{j})
= F ((∑ α_{i}e_{i}^{∗}) · x · (∑ e_{j}β_{j}))
≤ φ_{F} (∑ α_{i}α_{i}^{∗})^{1/2} ∥x∥_{n} ψ_{F} (∑ β_{j}^{∗}β_{j})^{1/2}.

Définition I.1.12. On appelle M_{n}-espace tout espace n-normé (X, ∥ ∥_{n}) qui vérifie les conditions équivalentes du théorème I.1.9. On dira qu’une structure d’espace d’opérateurs {∥ ∥′_{k}}_{k∈N} sur X est compatible avec ∥ ∥_{n} si ∥ ∥′_{n} = ∥ ∥_{n}.

Remarque I.1.13. 1. En particulier, tout M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) a une réalisation nisométrique comme sous-espace de C(Ω, M_{n}), où Ω est la boule unité de M_{n}(X^{∗}).

2. Soit ∥ ∥_{n} une norme sur M_{n}(X) qui admet une formule

∥x∥_{n} = sup { ∥Φ_{n}(x)∥_{M_{n}(Y)} | Φ ∈ S }

où S ⊆ B(X, Y) et Y est un M_{n}-espace. Alors (X, ∥ ∥_{n}) vérifie (R) aussi. En particulier, tout dual d’un espace n-normé vérifie (R).

Proposition I.1.14. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un espace n-normé, (Y, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace et soient (X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) et (Y^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) leurs duaux. Alors pour toute application n-bornée u : X → Y on a ∥u∥_{n} = ∥u^{∗}∥_{n}.

Démonstration. En effet, le théorème I.1.9 (ii) permet d’écrire

∥u∥_{n} = sup { ∥[⟨g_{ij}, u(x_{kl})⟩]∥_{M_{n}⊗M_{n}} |

[g_{ij}] ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥[g_{ij}]∥_{n}^{∗} ≤ 1; [x_{kl}] ∈ M_{n}(X), ∥[x_{kl}]∥_{n} ≤ 1 }

et ceci implique l’assertion.

Remarque I.1.15. Pour un opérateur de rang fini u : X → Y, u(x) = ∑⟨f_{i}, x⟩ y_{i} avec f_{i} ∈ X^{∗} et y_{i} ∈ Y on a les formules suivantes pour la norme.

∥u∥_{n} = sup { ∥∑⟨f_{i}, x⟩⊗y_{i}∥_{M_{n}(Y)} | x ∈ M_{n}(X), ∥x∥_{n} ≤ 1 }
= sup { ∥∑⟨f_{i}, x⟩⊗⟨g, y_{i}⟩∥_{M_{n}⊗M_{n}} |
x ∈ M_{n}(X), ∥x∥_{n} ≤ 1, g ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
= sup { ∥∑ f_{i}⊗⟨g, y_{i}⟩∥_{M_{n}(X^{∗})} | g ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 }

On a également une version du théorème de Wittstock pour les M_{n}-espaces.

Proposition I.1.16. Soient (X, ∥ ∥_{n,X}) ⊆ (X′, ∥ ∥_{n,X′}) des M_{n}-espaces et soit u : X → M_{n} une application n-bornée. Alors il existe une extension û : X′ → M_{n} telle que û|_{X} = u et ∥û∥_{n} = ∥u∥_{n}.

Démonstration. Ceci est une conséquence du théorème de Wittstock (cf. [49, Theorem 3.6]) et du résultat de R. Smith déjà mentionné ci-dessus [56, Theorem 2.10].

I.2. Constructions de base

Outre le dual, on peut obtenir de nouveaux M_{n}-espaces par les opérations suivantes.

I.2.1. Quotients. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace et soit Y un sous-espace fermé. On définit

M_{n}(X/Y) = M_{n}(X)/M_{n}(Y)

et un calcul élémentaire montre que la condition (R) est satisfaite ainsi que les identités n-isométriques

Y^{∗} = X^{∗}/Y^{⊥}
(X/Y)^{∗} = Y^{⊥}

Si X et Y sont des espaces d’opérateurs, on obtient l’espace d’opérateurs quotient X/Y avec la structure matricielle { M_{n}(X/Y) | n ∈ N }.

I.2.2. Sommes directes. Soit (X_{i}, ∥ ∥_{n,i})_{i∈I} une famille de M_{n}-espaces. Alors on note ⨁ X_{i} = ⨁_{∞} X_{i} = ℓ_{∞}(X_{i}) l’espace des suites uniformément bornées (x_{i}) ∈ ∏ X_{i} avec la M_{n}-structure

∥(x_{i})∥_{M_{n}(⊕X_{i})} = sup ∥x_{i}∥_{n,i}.

La construction duale est la ℓ_{1}-somme directe. A priori il y a deux possibilités de généraliser la somme directe d’espaces d’opérateurs décrite dans [47]. Pour deux M_{n}-espaces X_{0} et X_{1} posons

P_{∞} = { u = (u_{0}, u_{1}) | u_{i} : X_{i} → B(H_{u}) n-contractantes }
P_{n} = { u = (u_{0}, u_{1}) | u_{i} : X_{i} → M_{n} n-contractantes };

alors les n-normes correspondantes sur X_{0} ⊕ X_{1}

∥x_{0} ⊕ x_{1}∥_{1,(∞)} = sup_{u∈P_{∞}} ∥u_{0}_{n}(x_{0}) + u_{1}_{n}(x_{1})∥_{M_{n}(B(H_{u}))}
∥x_{0} ⊕ x_{1}∥_{1,n} = sup_{u∈P_{n}} ∥u_{0}_{n}(x_{0}) + u_{1}_{n}(x_{1})∥_{M_{n}⊗M_{n}}

vérifient (R) et en fait elles sont égales : la remarque I.1.13 (1.) fournit un plongement n-isométrique ρ : X_{0} ⊕_{1,(∞)} X_{1} → C(K; M_{n}), d’où des n-contractions ρ_{i} = ρ|_{X_{i}} : X_{i} → C(K; M_{n}) et ceci implique que

∥x_{0} ⊕ x_{1}∥_{1,(∞)} = sup_{t∈K} ∥ρ_{0}_{n}(x_{0})(t) + ρ_{1}_{n}(x_{1})(t)∥_{M_{n}⊗M_{n}}
≤ ∥x_{0} ⊕ x_{1}∥_{1,n}.

On va donc noter X_{0} ⊕_{1} X_{1} le M_{n}-espace (X_{0} ⊕ X_{1}, ∥ ∥_{1,n}). Il est caractérisée par la propriété universelle suivante : Pour tout M_{n}-espace Y et pour toutes n-contractions u_{i} : X_{i} → Y l’application

X_{0} ⊕_{1} X_{1} → Y
(x_{0}, x_{1}) ↦ u_{0}(x_{0}) + u_{1}(x_{1})

est n-contractante aussi. En particulier on peut identifier n-isométriquement

(I.2.1)  (X_{0} ⊕_{∞} X_{1})^{∗} = X_{0}^{∗} ⊕_{1} X_{1}^{∗}
(I.2.2)  (X_{0} ⊕_{1} X_{1})^{∗} = X_{0}^{∗} ⊕_{∞} X_{1}^{∗}

pour la dualité

(X_{0}^{∗} ⊕ X_{1}^{∗}) × (X_{0} ⊕ X_{1}) → C
⟨f ⊕ g, x ⊕ y⟩ = ⟨f, x⟩ + ⟨g, y⟩.

I.2.3. Interpolation complexe. Rappelons la définition de la méthode d’interpolation complexe. Un couple (X_{0}, X_{1}) de M_{n}-espaces est dit compatible s’il existe un espace vectoriel complexe topologique V avec des inclusions continues X_{0}, X_{1} ⊆ V, permettant ainsi de définir les espaces X_{0} ∩ X_{1} et X_{0} + X_{1} ; en munissant ces derniers avec les normes

∥x∥_{M_{n}(X_{0}∩X_{1})} = max { ∥x∥_{M_{n}(X_{0})}, ∥x∥_{M_{n}(X_{1})} }

pour x ∈ M_{n}(X_{0} ∩ X_{1}) et

∥x∥_{M_{n}(X_{0}+X_{1})} = inf { ∥x_{0}∥_{M_{n}(X_{0})} + ∥x_{1}∥_{M_{n}(X_{1})} |

x = x_{0} + x_{1}, x_{0} ∈ M_{n}(X_{0}), x_{1} ∈ M_{n}(X_{1}) }

pour x ∈ M_{n}(X_{0} + X_{1}) respectivement, on obtient des M_{n}-espaces correspondants à l’inclusion «diagonale» X_{0}∩X_{1} ⊆ X_{0}⊕_{∞}X_{1} et au quotient X_{0}+X_{1} = X_{0}⊕_{1}X_{1}/{ (x, −x) | x ∈ X_{0} ∩ X_{1} }. On observe que ces constructions vérifient

(X_{0} ∩ X_{1})^{∗} = X_{0}^{∗} + X_{1}^{∗}
(X_{0} + X_{1})^{∗} = X_{0}^{∗} ∩ X_{1}^{∗}.

On peut donc supposer que V est un M_{n}-espace lui aussi. Soit maintenant

Δ = { x + iy | 0 < x < 1, y ∈ R }

l’intérieur de l’enveloppe convexe de Δ_{0} = i R et Δ_{1} = 1 + i R. Posons

F_{0}(X_{0}, X_{1}) = \{ f : \overline{Δ} → X_{0} + X_{1} | f = ∑ f_{k}x_{k}, x_{k} ∈ X_{0} ∩ X_{1},

f_{k} : \overline{Δ} → C continue, analytique sur Δ et tendant vers 0 à l’infini \}

et notons F(X_{0}, X_{1}) son complété pour la norme

∥f∥_{F} = max { sup_{t∈R} ∥f(it)∥_{X_{0}}, sup_{t∈R} ∥f(1 + it)∥_{X_{1}} }.

Cet espace a une M_{n}-structure évidente naturelle induite par les M_{n}-structures de X_{0} et X_{1}. Fixons 0 < θ < 1. On note S_{θ}(X_{0}, X_{1}) l’adhérence de

N_{θ}(X_{0}, X_{1}) = { f ∈ F_{0}(X_{0}, X_{1}) | f(θ) = 0 }

et on définit

X_{θ} = (X_{0}, X_{1})_{θ} = F(X_{0}, X_{1})/S_{θ}(X_{0}, X_{1})

avec la M_{n}-structure quotient. Dans le cas où (X_{0}, X_{1}) est un couple compatible d’espaces d’opérateurs on obtient l’espace d’opérateurs interpolé comme quotient d’espace d’opérateurs de F(X_{0}, X_{1}) par S_{θ}(X_{0}, X_{1}), cf. [50].

I.2.4. Ultraproduits. Soit (X_{i}, ∥ ∥_{n,i})_{i∈I} une famille de M_{n}-espaces et soit 𝒰 un ultrafiltre sur I. Soit

𝒩_{𝒰} = { (x_{i}) ∈ ℓ_{∞}(X_{i}) | lim_{𝒰}∥x_{i}∥_{n,i} = 0 }.

Alors on note X̂_{𝒰} = ∏X_{i}/𝒰 l’espace ℓ_{∞}(X_{i})/𝒩_{𝒰} avec la M_{n}-structure quotient

M_{n}(∏X_{i}/𝒰) = M_{n}(ℓ_{∞}(X_{i}))/M_{n}(𝒩_{𝒰}).

L’ultraproduit respecte les sous-espaces et les quotients et on a pour toute famille de sous-espaces Y_{i} ⊆ X_{i} l’inclusion n-isométrique

∏Y_{i}/𝒰 ⊆ ∏X_{i}/𝒰

et l’identité n-isométrique

∏X_{i}/𝒰/∏Y_{i}/𝒰 = ∏X_{i}/Y_{i}/𝒰.

On vérifie également que pour une suite uniformément bornée d’opérateurs u_{i} : X_{i} → Y_{i} on obtient û : X̂_{𝒰} → Ŷ_{𝒰} avec ∥û∥_{n} = lim_{𝒰} ∥u_{i}∥_{n}. En particulier on a un plongement n-isométrique

∏X_{i}^{∗}/𝒰 ⊆ (∏X_{i}/𝒰)^{∗}

et cette application est surjective si tous les X_{i} ont la même dimension finie.

I.2.5. Conjugaison complexe. Soit X un M_{n}-espace dont on peut, autant qu’espace vectoriel complexe, considérer l’espace conjugué complexe \overline{X}, qui est le même espace avec multiplication scalaire conjuguée λ\overline{x} = \overline{λ̄x} et que l’on peut munir de la M_{n}-structure conjuguée en identifiant n-anti-isométriquement

M_{n}(\overline{X}) = \overline{M}_{n}⊗X

i.e.

∥∑ α_{i}⊗\overline{x_{i}}∥_{M_{n}(\overline{X})} = ∥∑ \overline{α_{i}}⊗x_{i}∥_{M_{n}(X)}

où \overline{α} = [\overline{α_{ij}}] est la conjugaison complexe usuelle dans M_{n}.

I.2.6. Opposé. Ici on transfère l’opération de transposition des matrices usuelles aux matrices à valeurs vectorielles, c’est-à-dire l’espace X^{op} est l’espace vectoriel X avec la n-norme

∥[x_{ij}]∥_{M_{n}(X^{op})} = ∥[x_{ji}]∥_{M_{n}(X)}.

On remarque que pour vérifier la condition (R) pour les deux dernières constructions on doit utiliser la n-anti-isométrie de M_{n} et \overline{M}_{n}.

I.3. MIN et MAX

Il y a plusieurs conceptions de structures MIN et MAX. On peut considérer la n-norme minimale sur un espace normé X, qui en fait est induit par la structure d’espace d’opérateurs minimale :

∥[x_{ij}]∥_{n,MIN} = sup { ∥[⟨f, x_{ij}⟩]∥M_{n} | f ∈ X^{∗}, ∥f∥ ≤ 1 }
= sup { ∥(υ · [x_{ij}] · ω)_{11}∥_{X} | υ, ω ∈ M_{n} unitaires } .

I.3. MIN ET MAX 11

En effet, l’axiome (R1)_{n}′ implique, que pour toutes υ, ω ∈ U(n) et toute x ∈ M_{n}(X) on a

∥(υ · x · ω)_{11}∥_{X} = ∥e_{11}υ · x · ωe_{11}∥_{n}
≤ ∥x∥_{n}.

Donc la n-norme minimale vérifie automatiquement (R) et en particulier elle est L^{∞}. La n-norme maximale dépend de la catégorie en considération.

∥[x_{ij}]∥_{n,MAX} = sup ∥[T (x_{ij})]∥_{M_{n}(Y)}

définit la plus grande n-norme, la plus grande n-norme L^{∞} et la plus grande n-norme d’espace d’opérateurs, si l’on prend le supremum sur tous les applications contractantes T de X dans Y, où Y varie sur les espaces n-normés, les espaces n-normés L^{∞} ou B(H) (en fait, le théorème I.1.9 (iv) permet de prendre Y = M_{n}), respectivement. En particulier, la plus grande n-norme qui vérifie (R) est la n-norme induite par la structure d’espace d’opérateurs maximale sur X. On peut également sur un M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) introduire des structures d’espaces d’opérateurs MIN et MAX analogues aux structures MIN et MAX des espaces normés introduites dans [6] et [40], voir aussi [41, Theorem 2.1].

Proposition I.3.1. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace. Posons, pour p ∈ N et x = [x_{kl}] ∈ M_{p}(X),

∥x∥_{MIN,p} = sup { ∥⟨f, x⟩∥_{M_{n}⊗M_{p}} | f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
= sup { ∥ρ_{p}(x)∥_{M_{p}(M_{n})} | ρ : X → M_{n} n-contractante }

(I.3.1)

et

(I.3.2a) ∥x∥_{MAX,p} = sup { ∥ρ_{p}(x)∥_{M_{p}(B(H))} | ρ : X → B(H) n-contractante }

= inf{ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{p} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{p} | x = ∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}, (I.3.2b)

α_{i} ∈ M_{p,n}, β_{i} ∈ M_{n,p}, x_{i} ∈ M_{n}(X), ∥x_{i}∥_{n} ≤ 1 }.

Alors les p-normes ∥ ∥_{MIN,p} et ∥ ∥_{MAX,p} définissent des structures d’espace d’opérateurs sur X compatibles avec ∥ ∥_{n} et de plus, toute autre structure d’espace d’opérateurs compatible {∥ ∥_{k}} sur X satisfait pour k ∈ N et x ∈ M_{k}(X) les inégalités

∥x∥_{M_{k}(MIN(X,∥ ∥_{n}))} ≤ ∥x∥_{k} ≤ ∥x∥_{M_{k}(MAX(X,∥ ∥_{n}))}. (I.3.3)

Démonstration. Les inclusions de X dans B(H) de la formule (I.3.1) ainsi que de la formule (I.3.2a) définissent explicitement des structures d’espace d’opérateurs sur X compatibles avec la n-norme ∥ ∥_{n} comme conséquence du théorème I.1.9 (ii). Ce qui concerne (I.3.3), il est clair que la norme matricielle (I.3.2a) domine tout autre norme matricielle compatible avec ∥ ∥_{n}. Le fait que la structure MIN est dominée par toute autre structure d’espaces d’opérateurs ∥ ∥_{p} est aussi clair, car pour tout p ∈ N et tout x ∈ M_{n}(X) on a

∥x∥_{p} = sup { ∥⟨f, x⟩∥_{M_{p}⊗M_{p}} | f ∈ M_{p}(X^{∗}), ∥f∥_{p}^{∗} ≤ 1 }
≥ sup { ∥⟨f, x⟩∥_{M_{n}⊗M_{p}} | f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
= ∥x∥_{MIN,p}.

Il reste à montrer que (I.3.2a) et (I.3.2b) sont identiques. Pour ceci il suffit de montrer que la norme matricielle ∥ ∥′_{MAX,p} définie par (I.3.2b) est compatible avec ∥ ∥_{n}, qu’elle vérifie les axiomes de Ruan (R1)_{p} et (R2)_{p}, et qu’elle domine toute autre norme compatible. La condition (R) implique que ∥ ∥_{n} = ∥ ∥′_{MAX,n} et la compatibilité est assurée. Il est aussi clair que les normes ∥ ∥′_{MAX,p} vérifient (R1)_{p}. Soit maintenant x = [ \begin{matrix}x′ & 0 \\ 0 & x′′ \end{matrix} ] ∈ M_{p}(X) avec x′ ∈ M_{k}(X) et x′′ ∈ M_{p−k}(X). Alors par invariance unitaire de la norme ∥ ∥′_{MAX,p} on

a l’inégalité max \{ ∥x′∥′_{MAX,k}, ∥x′′∥′_{MAX,p−k} \} ≤ ∥x∥′_{MAX,p}. Notons ε_{k} = [ \begin{matrix}1_{k} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ M_{p} la

projection sur les k premiers composants. Alors si l’on a des décompositions

[\begin{matrix}x′ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = ∑ α′_{i} · x′_{i} · β′_{i} = ∑ ε_{k} α′_{i} · x′_{i} · β′_{i} ε_{k}

et

[\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x′′ \end{matrix}] = ∑ α′′_{j} · x′′_{j} · β′′_{j} = ∑(1_{p} − ε_{k}) α′′_{j} · x′′_{j} · β′′_{j} (1_{p} − ε_{k})

avec ∥x′_{i}∥_{n} ≤ 1 et ∥x′′_{j}∥_{n} ≤ 1 et tels que

∥∑ α′_{i}α′_{i}^{∗}∥ = ∥∑ β′_{i}^{∗}β′_{i}∥ < ∥x′∥′_{MAX,k} + ε
∥∑ α′′_{j}α′′_{j}^{∗}∥ = ∥∑ β′′_{j}^{∗}β′′_{j}∥ < ∥x′′∥′_{MAX,p−k} + ε,

alors on peut décomposer

x = ∑ ε_{k} α′_{i} · x′_{i} · β′_{i} ε_{k} + ∑(1_{p} − ε_{k}) α′′_{j} · x′′_{j} · β′′_{j} (1_{p} − ε_{k})

avec

∥∑ ε_{k} α′_{i}α′_{i}^{∗}ε_{k} + ∑(1_{p} − ε_{k}) α′′_{j}α′′_{j}^{∗}(1_{p} − ε_{k})∥ =
= max { ∥∑ ε_{k} α′_{i}α′_{i}^{∗}ε_{k}∥ , ∥∑ ε_{k} α′′_{j}α′′_{j}^{∗}ε_{k}∥ }
< max { ∥x′∥_{MAX,k}, ∥x′′∥_{MAX,p−k} } + ε

et

∥∑(1_{p} − ε_{k}) β′_{i}^{∗}β′_{i} (1_{p} − ε_{k}) + ∑(1_{p} − ε_{k}) β′′_{j}^{∗}β′′_{j} (1_{p} − ε_{k})∥ =
= max { ∥∑(1_{p} − ε_{k}) β′_{i}^{∗}β′_{i} (1_{p} − ε_{k})∥ , ∥∑(1_{p} − ε_{k}) β′′_{j}^{∗}β′′_{j} (1_{p} − ε_{k})∥ }
< max { ∥x′∥_{MAX,k}, ∥x′′∥_{MAX,p−k} } + ε.

Enfin le fait que ∥ ∥′_{MAX,p} domine tout autre norme compatible est évident, puisque tout autre structure d’espace d’opérateurs ∥ ∥_{p} compatible avec ∥ ∥_{n} coïncide avec ∥ ∥′_{MAX,n} sur M_{n}(X) et vérifie l’inégalité

∥∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}∥_{p} ≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{p} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{p} max_{i} ∥x_{i}∥_{n}

comme conséquence des axiomes de Ruan.

Définition I.3.2. On note MIN(X, ∥ ∥_{n}) et MAX(X, ∥ ∥_{n}) respectivement les espaces d’opérateurs définis par les normes matricielles (I.3.1) et (I.3.2) et on note MIN(X) = MIN(X, ∥ ∥_{1}) et MAX(X) = MAX(X, ∥ ∥_{1}) les structures de Paulsen.

Remarque I.3.3. 1. Les formules (I.3.1) et (I.3.2) définissent des structures d’espaces d’opérateurs sur X pour n’importe quelle n-norme ∥ ∥_{n}, mais ces structures sont compatibles avec la norme ∥ ∥_{n} si et seulement si elle vérifie les conditions du théorème I.1.9.

2. N’importe quelle n-isométrie Φ : X → C(K; M_{n}) induit la structure d’espace opérateurs MIN(X, ∥ ∥_{n}) sur X.

Les structures MIN est MAX sont caractérisées par les propriétés universelles suivantes (cf. [32] et [48, Theorem 18] pour une généralisation).

Proposition I.3.4. Soit (X, {∥ ∥_{k}}) un espace d’opérateurs. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Pour tout espace d’opérateurs Y, toute application bornée u : Y → X est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} = ∥u∥_{n}.

(ii) Il existe un compact K tel que on a un plongement complètement isométrique X ⊆ C(K; M_{n}).

(iii) On a X = MIN(X, ∥ ∥_{n}) complètement isométriquement.

Démonstration. En effet, l’équivalence de (ii) et (iii) est clair par la remarque précédente ; pour montrer l’implication (ii) ⟹ (i) il suffit de rappeler que C(K; M_{n}) = M_{n} ˇ⊗C(K) (cf. e.g. [49, Corollary 3.18]), ce qui permet de calculer la norme complètement bornée de n’importe quelle application linéaire u : Y → C(K; M_{n}) à partir des normes de u_{t} : Y → M_{n}, y ↦ u(y)(t), t ∈ K, et puis d’appliquer [56, Theorem 2.10]

∥u : Y → C(K; M_{n})∥ = sup_{t∈K} ∥u_{t}∥_{cb} = sup_{t∈K} ∥u_{t}∥_{n} = ∥u∥_{n}.

D’autre part, la condition (i) implique que

∥id : MIN(X, ∥ ∥_{n}) → X∥_{cb} = ∥id : MIN(X, ∥ ∥_{n}) → X∥_{n} = 1

i.e. d_{cb}(X, MIN(X, ∥ ∥_{n})) = 1.

Remarque I.3.5. Dans [48, Theorem 18] (voir aussi [28, Corollary 3.1.7.9]) il est montré que les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) inf { d_{cb}(X, Y) | Y ⊆ C(K; M_{n}), K compact } ≤ C

(ii) Pour tout espace d’opérateurs Y, toute application linéaire bornée u : Y → X est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} ≤ C∥u∥_{n}.

Avec un argument analogue on montre

Proposition I.3.6. Soit (X, {∥ ∥_{k}}) un espace d’opérateurs. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Pour tout espace d’opérateurs Y, toute application bornée u : X → Y est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} = ∥u∥_{n}.

(ii) On a X = MAX(X, ∥ ∥_{n}) complètement isométriquement.

Proposition I.3.7. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace et soit Y un sous-espace fermé. Alors on a les propriétés suivantes.

(i) La structure MIN est injective : Le plongement

MIN(Y, ∥ ∥_{n}) ⊆ MIN(X, ∥ ∥_{n})

est complètement isométrique.

(ii) La structure MAX est projective : L’application quotient

q : MAX(X, ∥ ∥_{n}) → MAX(X/Y, ∥ ∥_{n})

est une surjection métrique complète.

Démonstration. (i) Ceci est une conséquence du théorème de Wittstock (cf. proposition I.1.16). En effet, pour p ∈ N et y ∈ M_{p}(Y)

∥y∥_{MIN,p} = sup { ∥⟨g, y⟩∥_{M_{n}⊗M_{p}} | g ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
= sup { ∥⟨f, y⟩∥_{M_{n}⊗M_{p}} | f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1 }

puisque tout g ∈ M_{n}(Y^{∗}) a une extension g̃ ∈ M_{n}(X^{∗}) telle que ∥g̃∥_{M_{n}(X^{∗})} ≤ ∥g∥_{M_{n}(Y^{∗})}. (ii) Soit (X/Y, ∥ ∥_{n}) le M_{n}-espace quotient de X et Y et soit q l’application quotient. Soit x̂ ∈ M_{p}(X/Y) avec

∥x̂∥_{M_{p}(MAX(X/Y,∥ ∥_{n}))} < 1,

alors par (I.3.2b) il existe une décomposition finie

x̂ = ∑ α_{i} · x̂_{i} · β_{i}

avec x̂_{i} ∈ M_{n}(X/Y), α_{i} ∈ M_{p,n}, β_{i} ∈ M_{n,p} tels que ∥ŷ_{i}∥_{M_{n}(X/Y)} < 1 et

∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{p} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{p} < 1.

Alors on peut choisir x_{i} ∈ M_{n}(X) tels que q_{n}(x_{i}) = x̂_{i} et ∥x_{i}∥_{M_{n}(X)} < 1 et en posant

x = ∑ α_{i} · x_{i} · β_{i}

on a q_{n}(x) = x̂ et ∥x∥_{n} < 1.

Remarque I.3.8. La structure MAX n’étant pas injective, permet pourtant grâce à la formule (I.3.2b) la formule «locale» suivante

∥x∥_{M_{p}(MAX(X,∥ ∥_{n}))} = inf { ∥x∥_{M_{p}(MAX(Y,∥ ∥_{n}))} | Y ⊆ X fini-dimensionnel t.q. x ∈ M_{p}(Y) }

Les structures MIN et MAX sont en dualité pour n = 1 (cf. [5, Corollary 2.8]), et la même démonstration donne le cas général.

Théorème I.3.9. On a

MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}) = MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗∗}

complètement isométriquement.

Démonstration. Par définition de la structure MIN, l’application identité Id : MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗∗} → MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}) est une contraction complète et il suffit de montrer que son inverse l’est aussi. L’inclusion X ⊆ X^{∗∗} induit sur M_{n}(X) la structure d’espace d’opérateurs MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}). et celle-ci doit coïncider avec MIN(X, ∥ ∥_{n}), puisque Id : (X, ∥ ∥_{n}) → (X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}) est une n-isométrie. On a donc deux inclusions complètement isométriques MIN(X, ∥ ∥_{n}) → MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗∗} et MIN(X, ∥ ∥_{n}) → MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗}). Alors il résulte de [5, Theorem 2.5] que la structure d’espace d’opérateurs sur X^{∗∗} est uniquement determinée par celle sur X.

Corollaire I.3.10. On a complètement isométriquement

(I.3.4)  MAX(X, ∥ ∥_{n})^{∗} = MIN(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗})
(I.3.5)  MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗} = MAX(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗})

Démonstration. Notons d’abord l’identité

\begin{aligned}∥f∥_{MIN(X^{∗},∥ ∥_{n}^{∗}),p} & = sup \{ ∥⟨f, x⟩∥_{M_{n}⊗M_{p}} | x ∈ M_{n}(X), ∥x∥_{n} ≤ 1 \} \\ & = ∥[f_{ij}]∥_{B_{n}((X,∥ ∥_{n}),M_{p})} \end{aligned} (I.3.6)

pour f ∈ M_{p}(X^{∗}). Ensuite les identités isométriques

M_{p}(MAX(X, ∥ ∥_{n})^{∗}) = CB(MAX(X, ∥ ∥_{n}), M_{p})
= B_{n}((X, ∥ ∥_{n}), M_{p})  par définition de MAX
= M_{p}(MIN(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}))  par (I.3.6)

impliquent (I.3.4). D’autre part, les identités complètement isométriques

MAX(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗})^{∗} = MIN(X^{∗∗}, ∥ ∥_{n}^{∗∗})  par (I.3.4)
= MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗∗}  par (I.3.9)

montrent que les espaces d’opérateurs duaux de MIN(X, ∥ ∥_{n})^{∗} et MAX(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) sont isomorphes complètement isométriquement et ceci implique (I.3.5).

Plus tard on aura besoin du paramètre suivant (cf. [40]).

Définition I.3.11. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace. On notera

α(X, ∥ ∥_{n}) = sup { ∥x∥_{MAX,p} | x ∈ M_{p}(X), ∥x∥_{MIN,p} ≤ 1, p ∈ N }
= ∥Id : MIN(X, ∥ ∥_{n}) → MAX(X, ∥ ∥_{n})∥_{cb}

Ceci n’est rien d’autre que la distance c.b. entre la structure MIN et MAX, voir la proposition I.6.4. Le corollaire I.3.10 et la proposition I.1.14 entraînent le corollaire suivant.

Corollaire I.3.12. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace, alors

α(X, ∥ ∥_{n}) = α(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}).

Ensuite on généralise facilement [40, Proposition 2.3] et [41, Proposition 2.2].

Proposition I.3.13. Soit X un M_{n}-espace de dimension finie N < ∞ et soient (e_{1}, e_{2}, …, e_{N}) une base de X et (e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗}, …, e_{N}^{∗}) une base de X^{∗} biorthonormale à (e_{i}). Notons

BM_{n}(X, ∥ ∥_{n}) = \{ \underline{λ} = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{N}) ∈ M_{n}^{N} | ∥∑_{i=1}^{N} λ_{i}⊗e_{i}∥_{n} ≤ 1 \}

et

BM_{n}(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) = \{ \underline{μ} = (μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{N}) ∈ M_{n}^{N} | ∥∑_{i=1}^{N} μ_{i}⊗e_{i}^{∗}∥_{n}^{∗} ≤ 1 \} .

(i) Pour x = ∑ b_{k}⊗e_{k} où a_{i} ∈ M_{p}, on a les formules

∥x∥_{MIN,p} = sup \{ ∥∑_{k=1}^{N} μ_{k}⊗b_{k}∥_{M_{n}⊗M_{p}} | \underline{μ} ∈ BM_{n}(X^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) \}

∥x∥_{MAX,p} = inf { ∥∑_{k=1}^{N} α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{p} ∥∑_{k=1}^{N} β_{i}^{∗}β_{i}∥1/2 ; M_{p} |

∃\underline{λ_{i}} ∈ BM_{n}(X, ∥ ∥_{n}) ∀k ∈ \{1, …, n\} : b_{k} = ∑ α_{i}λ_{i,k}β_{i} \}

(ii) On a

α(X, ∥ ∥_{n}) = sup { ∥∑_{i=1}^{N} a_{i}⊗b_{i}∥_{min} | a_{i}, b_{i} ∈ B(H) t.q.

∀\underline{λ} ∈ BM_{n}(X, ∥ ∥_{n}) : ∥∑_{i=1}^{N} λ_{i}⊗a_{i}∥_{M_{n}(B(H))} ≤ 1 et

∀\underline{μ} ∈ BM_{n}(X_{n}^{∗}, ∥ ∥_{n}^{∗}) : ∥∑_{i=1}^{N} μ_{i}⊗b_{i}∥_{M_{n}(B(H))} ≤ 1\}

Démonstration. Les formules (i) ne sont que des reformulations de (I.3.1) et (I.3.2b) respectivement. Alors (ii) est élémentaire en utilisant le fait que pour T : X → B(H) et a_{i} = T (e_{i}) on a

∥T ∥_{n} = sup { ∥∑_{k=1}^{N} λ_{k}⊗a_{k}∥_{M_{n}(B(H))} | λ_{k} ∈ M_{n} t.q. ∥∑_{k=1}^{N} λ_{k}⊗e_{k}∥_{n} ≤ 1 } .

I.4. Sous-algèbres de C(K; M_{n})

Ce paragraphe est consacré à une généralisation du lemme de Craw [14]. Pour cela on a besoin du petit lemme suivant.

Lemme I.4.1. Soient a_{1}, a_{2}, …, a_{m} ∈ M_{n} des contractions et soit p un polynôme noncommutatif à m variables avec coefficient constant nul. Alors

∥p(a_{1}, a_{2}, …, a_{m})∥M_{n} ≤ sup { ∥p(u_{1}, u_{2}, …, u_{m})∥M_{n} | u_{i} ∈ M_{n} unitaire }

et on notera ∥p∥_{∞,n} ce supremum.

Démonstration. On reprend la démonstration de [38] (voir aussi [49, Ch. 1] et [8]). Par décomposition polaire, pour chaque i on peut écrire a_{i} = v_{i}|a_{i}|, où v_{i} est une matrice unitaire et |a_{i}| = (a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} est positive. On a donc une décomposition spectrale

|a_{i}| = u_{i} [\begin{matrix}s_{1}(a_{i}) & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & s_{n}(a_{i}) \end{matrix}] u_{i}^{∗}

où s_{k}(a_{i}) ≤ 1 sont les valeurs caractéristiques de a_{i} et u_{i} ∈ M_{n} est unitaire. On peut donc écrire

p(a_{1}, a_{2}, …, a_{m}) = [p_{ij} (s_{1}(a_{1}), s_{2}(a_{1}), …, s_{n}(a_{m}))]

où p_{ij} sont des polynômes sur le disque D^{mn} tels que

[p_{ij}(z_{11}, z_{21}, …, z_{nm})] = p (v_{1}u_{1} [\begin{matrix}z_{11} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & z_{n1} \end{matrix}] u_{1}^{∗}, …, v_{m}u_{m} [\begin{matrix}z_{1m} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & z_{nm} \end{matrix}] u_{m}^{∗}) .

La fonction

(z_{11}, …, z_{nm}) → ∥[p_{ij}(z_{11}, z_{21}, …, z_{nm})]∥M_{n} ,

étant sous-harmonique sur D^{mn}, atteint son sup sur { (z_{11}, …, z_{nm}) | |z_{ij}| = 1 } et dans ce cas là les a_{i} sont unitaires, d’où la conclusion du lemme.

Corollaire I.4.2. Soit X un quotient d’une sous-algèbre de C(K; M_{n}). Alors pour toutes x̂_{1}, x̂_{2}, …, x̂_{m} ∈ X et pour tout polynôme non-commutatif à m variables avec coefficient constant nul on a

∥p(x̂_{1}, x̂_{2}, …, x̂_{m})∥_{X} ≤ ∥p∥_{∞,n}

Ce corollaire donne une des implications de la proposition suivante.

Proposition I.4.3. Soit X une algèbre de Banach. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Il existe un compact K tel que X est un quotient d’une sous-algèbre de C(K; M_{n}). (ii) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout m ∈ N, pour tout polynôme non-

commutatif à m variables avec coefficient constant nul et pour toutes x_{1}, x_{2}, …, x_{m} ∈ X avec ∥x_{i}∥ ≤ C on a

∥p(x_{1}, x_{2}, …, x_{m})∥_{X} ≤ ∥p∥_{∞,n}.

Démonstration. Soit Γ = { x ∈ X | ∥x∥ ≤ C } et soit K la boule unité de ℓ_{∞}(Γ; M_{n}) munie de la topologie ∗-faible du prédual ℓ_{1} ˆ⊗S_{n}^{1}. Alors tout x ∈ Γ définit un élément e_{x} ∈ C(K; M_{n}) en posant e_{x}(ω) = ω_{x}. Soit 𝒜 l’algèbre des polynômes noncommutatifs à coefficient constant nul et soit

Y_{0} = { p(e_{x_{1}}, e_{x_{2}}, …, e_{x_{m}}) | m ∈ N, x_{i} ∈ X, p ∈ 𝒜 }

la sous-algèbre de C(K; M_{n}) engendrée par { e_{x} | x ∈ X }, dont la complétion sera noté par Y. Alors

T : Y → X
p(e_{x_{1}}, …, e_{x_{m}}) ↦ p(x_{1}, …, x_{m})

est un homomorphisme surjectif.

I.5. Produits tensoriels

Dans la catégorie des espaces d’opérateurs il y a une théorie bien développée des produits tensoriels analogue à la théorie des produits tensoriels des espaces de Banach. Il y a donc a priori une abondance de M_{n}-structures sur le produit tensoriel de deux M_{n}-espaces induites par les différents produits tensoriels des structures d’espace d’opérateurs. On va voir dans cette section certaines n-normes «naturelles» qui ne dépendent que de la M_{n}-structure des espaces composants. Rappelons donc la définition des cross-normes d’espaces d’opérateurs (cf. [6]). Soient X et Y des espaces d’opérateurs. Une norme matricielle {α_{k}} sur X⊗Y est appelée une cross-norme d’espaces d’opérateurs si elle vérifie les axiomes de Ruan et si en plus on a pour m, n ∈ N et x ∈ M_{m}(X), y ∈ M_{n}(Y) l’inégalité

α_{mn}(x⊗y) ≤ ∥x∥_{M_{m}(X)} ∥y∥_{M_{n}(Y)}. (I.5.1)

L’analogue de cette condition pour les M_{n}-espaces n’est pas «naturelle», car elle suggère plutôt de considérer M_{n^{2}}(X⊗Y) au lieu de M_{n}(X⊗Y). En effet, on a la formule suivante pour le produit tensoriel minimal des espaces d’opérateurs ([6, Theorem 5.1]) :

∥u∥_{M_{n}(X⊗_{min}Y)} = sup ∥⟨f⊗g, u⟩∥_{M_{p}⊗M_{q}⊗M_{n}}

où le sup porte sur p, q ∈ N et f ∈ M_{p}(X^{∗}), g ∈ M_{q}(Y^{∗}) avec ∥f∥_{p}^{∗} ≤ 1, ∥g∥_{q}^{∗} ≤ 1. En particulier, la norme sur M_{n}(X⊗_{min}Y) dépend des structures d’espace d’opérateurs de X et Y entières et la donnée de leurs M_{n}-structure ne la détermine pas.

Par contre, quelques variantes du produit tensoriel de Haagerup sont très bien adaptées à notre situation.

Définition I.5.1. Soient (X, ∥ ∥_{n}) et (Y, ∥ ∥_{n}) deux M_{n}-espaces. Pour x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(Y) on note u = x ⊙ y ∈ M_{n}(X⊗Y) la matrice u_{ij} = ∑_{k} x_{ik}⊗y_{kj}. Soit A une algèbre et soient ρ : X → A et σ : Y → A des applications linéaires continues. Alors on note ρ · σ : X⊗Y → A la réduction de ρ⊗σ

ρ · σ (∑ x_{i}⊗y_{i}) = ∑ ρ(x_{i})σ(y_{i});

on a en particulier (ρ · σ)_{n}(x ⊙ y) = ρ_{n}(x)σ_{n}(y), où le produit est à évaluer dans l’algèbre M_{n}(A).

Considérons pour u ∈ M_{n}(X⊗Y) les normes suivantes.

∥u∥_{f,n} = sup { ∥(ρ · σ)_{n}(u)∥_{M_{n}(B(H))} | ρ : X → B(H), σ : Y → B(H) n-contractions } (I.5.2)

Ceci n’est rien d’autre que la norme induite sur M_{n}(X⊗Y) par l’espace d’opérateurs MAX(X, ∥ ∥_{n})⊗_{h}MAX(Y, ∥ ∥_{n}), puisque par définition de MAX, B_{n}((X, ∥ ∥_{n}), B(H)) = CB(MAX(X, ∥ ∥_{n}), B(H)) isométriquement (cf. [47]). D’autre part, on a un analogue de [3, Prop. 6] comme suit.

(I.5.3) ∥u∥_{M_{n}(MIN(X,∥ ∥_{n})⊗_{h}MIN(Y,∥ ∥_{n}))} =

= inf{ sup { ∥∑ f_{n}(x_{i})f_{n}(x_{i})^{∗}∥_{M_{n}⊗M_{n}}^{1/2} ∥∑ g_{n}(y_{i})^{∗}g_{n}(y_{i})∥_{M_{n}⊗M_{n}}^{1/2} |
f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1; g ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 } | u = ∑ x_{i} ⊙ y_{i}}

En effet [6],

∥u∥_{h} = inf{ ∥[x_{1}, …, x_{m}]∥_{M_{1,m}(M_{n}(X))} ∥[ y_{1} ; ⋮ ; y_{m}]∥_{M_{m,1}(M_{n}(Y))} | u = ∑_{i=1}^{m} x_{i} ⊙ y_{i}, m ∈ N }

et

∥[x_{1}, …, x_{m}]∥_{M_{1,m}(M_{n}(X))} =
= sup { ∥[f_{n}(x_{1}), …, f_{n}(x_{m})]∥_{M_{1,m}(M_{n}⊗M_{n})} | f : X → M_{n} n-contractante}
= sup { ∥∑ f_{n}(x_{i})f_{n}(x_{i})^{∗}∥_{M_{n}⊗M_{n}}^{1/2} | f : X → M_{n} n-contractante } .

Pour la catégorie des M_{n}-espaces il conviendra de considérer les normes tensorielles avec les propriétés suivantes, analogues aux produits tensoriels d’espaces de Banach, (cf. [18, Chap. 8]).

Définition I.5.2. Soient (X, ∥ ∥_{n}) et (Y, ∥ ∥_{n}) des M_{n}-espaces et soit α une n-norme sur X⊗Y. Définissons une dualité < , >_{⊙} entre M_{n}(X⊗Y) et M_{n}(X^{∗}, Y^{∗}) à valeurs dans M_{n}⊗M_{n} en posant pour u^{∗} = ∑ α_{i}⊗f_{i}⊗g_{i} ∈ M_{n}⊗X^{∗}⊗Y^{∗} et u = ∑ β_{j}⊗x_{j}⊗y_{j} ∈ M_{n}⊗X⊗Y

⟨u^{∗}, u⟩_{⊙} = ∑_{ij} α_{i}⊗β_{j} ⟨f_{i}, x_{j}⟩ ⟨g_{i}, y_{j}⟩;

autrement dit, on a pour f ∈ M_{n}(X^{∗}), g ∈ M_{n}(Y^{∗}), x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(Y)

⟨f ⊙ g, x ⊙ y⟩_{⊙} = ⟨f, x⟩ ⟨g, y⟩ = [∑_{jq}⟨f_{ij}, x_{pq}⟩ ⟨g_{jk}, y_{qr}⟩]_{ip,kr} ∈ M_{n}⊗M_{n}

et par linéarité, si u^{∗} ∈ M_{n}(X^{∗}⊗Y^{∗}) et u ∈ M_{n}(X⊗Y) peuvent être écrit sous la forme u^{∗} = ∑ f_{i} ⊙ g_{i} et u = ∑ x_{j} ⊙ y_{j} respectivement, on a

⟨u^{∗}, u⟩_{⊙} = ∑_{ij}⟨f_{i} ⊙ g_{i}, x_{j} ⊙ y_{j}⟩_{⊙}.

Cette dualité permet grace la remarque I.1.13 2 d’identifier le M_{n}-espace dual (X⊗Y, α)^{∗} avec le complété de (X^{∗}⊗Y^{∗}, α^{∗}), où l’on pose

α^{∗}(u^{∗}) = sup { ∥⟨u^{∗}, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | u ∈ M_{n}(X⊗Y), α(u) ≤ 1 } .

Alors α est dite une norme raisonnable si elle vérifie la condition (R) et en plus les propriétés suivantes.

1. Pour toutes x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(X) on a l’inégalité

α(x ⊙ y) ≤ ∥x∥_{n} ∥y∥_{n}. (I.5.4a)

2. Pour toutes f ∈ M_{n}(X^{∗}) et g ∈ M_{n}(Y^{∗}) on a

α^{∗}(f ⊙ g) ≤ ∥f∥_{n}^{∗} ∥g∥_{n}^{∗}. (I.5.4b)

Remarque I.5.3. Soient X et Y des M_{n}-espaces et soit α une norme raisonnable sur M_{n}(X⊗Y).

1. Pour clarifier notons que par définition M_{n}(X^{∗}) = B_{n}(X, M_{n}) isométriquement où l’on identifie une application linéaire continue ρ : X → M_{n} avec la matrice f ∈ M_{n}(X^{∗}) donnée par f_{ij}(x) = (ρ(x))_{ij}. Alors si l’on note g ∈ M_{n}(Y^{∗}) la matrice correspondant à σ : Y → M_{n}, on a l’identité

IM_{n}⊗(ρ · σ)(u) = ⟨f ⊙ g, u⟩_{⊙}

pour u ∈ M_{n}(X⊗Y).

2. Pour toutes α_{i}, β_{i} ∈ M_{n}, x_{i} ∈ M_{n}(X), y_{i} ∈ M_{n}(Y), f_{i} ∈ M_{n}(X^{∗}) et g_{i} ∈ M_{n}(Y^{∗}) on a

(I.5.5a) α (∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}) ≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max ∥x_{i}∥_{n} max ∥y_{i}∥_{n}
(I.5.5b) α^{∗} (∑ α_{i} · f_{i} ⊙ g_{i} · β_{i}) ≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max ∥f_{i}∥_{n}^{∗} max ∥g_{i}∥_{n}^{∗}

Proposition I.5.4. La norme

∥u∥_{∨,n} = sup { ∥⟨f ⊙ g, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1, g ∈ M_{n}(Y^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 }

= sup { ∥IM_{n}⊗(ρ · σ)(u)∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ρ : X → M_{n}, σ : Y → M_{n} n-contractions }

(I.5.6)

est la plus petite norme raisonnable sur M_{n}(X⊗Y). En plus, elle est injective dans le sens que pour toutes inclusions n-isométriques X ⊆ X′ et Y ⊆ Y′, l’inclusion X⊗_{∨,n}Y ⊆ X′⊗_{∨,n}Y′ est n-isométrique aussi. Finalement, pour toutes applications linéaires u : X_{1} → X_{2} et v : Y_{1} → Y_{2} on a

∥u⊗v : X_{1}⊗_{∨,n}Y_{1} → X_{2}⊗_{∨,n}Y_{2}∥_{n} ≤ ∥u∥_{n}∥v∥_{n}. (I.5.7)

Démonstration. Vérifions d’abord les conditions de la définition I.5.2. La remarque I.1.13 (2.) s’applique à ∥ ∥_{∨,n} et (R) est donc satisfaite ; l’inégalité (I.5.4b) est une conséquence immédiate de la définition et il reste à vérifier (I.5.4a) :

∥x ⊙ y∥_{∨,n} = sup { ∥⟨f, x⟩ ⟨g, y⟩∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1, ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 }
≤ ∥x∥_{n} ∥y∥_{n}.

Soit maintenant α une norme raisonnable quelconque sur M_{n}(X⊗Y), soient f ∈ M_{n}(X^{∗}), g ∈ M_{n}(Y^{∗}) et soit u ∈ M_{n}(X⊗Y). Alors la condition (I.5.4b) sur α^{∗} entraîne que

∥⟨f ⊙ g, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}} ≤ ∥f∥_{n}^{∗} ∥g∥_{n}^{∗} α(u)

et par conséquent

∥u∥_{∨,n} = sup { ∥⟨f ⊙ g, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}} : ∥f∥_{M_{n}(X^{∗})} ≤ 1, ∥g∥_{M_{n}(Y^{∗})} ≤ 1 } ≤ α(u).

L’injectivité de ∥ ∥_{∨,n} est une conséquence du théorème d’extension de Wittstock (Proposition I.1.16) et (I.5.7) résulte immédiatement de la définition de la structure MIN, et de la proposition I.1.14 :

∥(u⊗v)_{n}(∑ x_{i} ⊙ y_{i})∥_{∨,n} = sup { ∥∑⟨f, u_{n}(x_{i})⟩ ⟨g, v_{n}(y_{i})⟩∥_{M_{n}⊗M_{n}} |
f ∈ M_{n}(X_{2}^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1, g ∈ M_{n}(Y_{2}^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1}
= sup { ∥∑⟨u_{n}^{∗}(f), x_{i}⟩ ⟨v_{n}^{∗}(g), y_{i}⟩∥_{M_{n}⊗M_{n}} |
f ∈ M_{n}(X_{2}^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1, g ∈ M_{n}(Y_{2}^{∗}), ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1}
≤ ∥u∥_{n} ∥v∥_{n} ∥∑ x_{i} ⊙ y_{i}∥_{∨,n} .

Définition I.5.5. Soient X, Y, Z des M_{n}-espaces. Notons Bil_{n}(X, Y; Z) l’espace des applications bilinéaires et définissons ψ_{n} : M_{n}(X) × M_{n}(Y) → M_{n}(Z) par

ψ_{n}(x, y)_{ij} = ∑_{k} ψ(x_{ik}, y_{kj});

alors on peut munir Bil_{n}(X, Y; Z) de la norme

∥ψ∥_{Bil_{n}} = sup { ∥∑ ψ_{n}(α_{i} · x_{i}, y_{i} · β_{i})∥_{M_{n}(Z)} | α_{i}, β_{i} ∈ M_{n}

∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥ ≤ 1, ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥ ≤ 1, ∥x_{i}∥_{n} ≤ 1, ∥y_{i}∥_{n} ≤ 1 }.

En particulier, Bil_{n}(X, Y; C) a une M_{n}-structure canonique donnée par

M_{n}(Bil_{n}(X, Y; C)) = Bil_{n}(X, Y; M_{n}).

Alors on a

Proposition I.5.6. Soient X, Y des M_{n}-espaces. À chaque u = ∑ α_{i}⊗x_{i}⊗y_{i} ∈ M_{n}(X⊗Y) on associe une forme bilinéaire T (u) sur X^{∗} × Y^{∗} à valeurs dans M_{n} en posant

T (u)(f, g) = ∑ α_{i} ⟨f, x_{i}⟩ ⟨g, y_{i}⟩.

Autrement dit, si u a la forme spéciale u = x ⊙ y avec x ∈ M_{n}(X) et y ∈ M_{n}(Y), on a

T (x ⊙ y)(f, g) = ⟨f, x⟩ ⟨g, y⟩ = [∑_{j}⟨f, x_{ij}⟩ ⟨g, y_{jk}⟩]_{i,k}.

Alors l’inclusion

T : M_{n}(X⊗_{∨,n}Y) → Bil_{n}(X^{∗}, Y^{∗}; M_{n})

est une isométrie.

Démonstration. Par la définition de ∥ ∥_{∨,n} on a pour tout u ∈ M_{n}(X⊗Y) l’inégalité

∥u∥_{∨,n} = sup { ∥T (u)_{n}(f, g)∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ∥f∥_{M_{n}(X^{∗})} ≤ 1, ∥g∥_{M_{n}(Y^{∗})} ≤ 1 } ≤ ∥T (u)∥_{Bil_{n}};

pour vérifier l’inégalité inverse, on estime, pour f_{i} ∈ M_{n}(X^{∗}), g_{i} ∈ M_{n}(Y^{∗}) et α_{i}, β_{i} ∈ M_{n},

∥∑ T (u)_{n}(α_{i} · f_{i}, g_{i} · β_{i})∥_{M_{n}⊗M_{n}} =
= ∥⟨∑ α_{i} · f_{i} ⊙ g_{i} · β_{i}, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}}
= ∥∑(α_{i}⊗I_{n}) T (f_{i} ⊙ g_{i})_{n}(u) (β_{i}⊗I_{n})∥_{M_{n}⊗M_{n}}
≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} max ∥f_{i}∥_{n}^{∗}∥g_{i}∥_{n}^{∗} ∥u∥_{∨,n} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2}

Proposition I.5.7. La norme

∥u∥_{∧,n} = sup { ∥ψ_{n}(u)∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ψ ∈ Bil_{n}(X, Y; M_{n}), ∥ψ∥_{Bil_{n}} ≤ 1 }

est la plus grande norme raisonnable sur M_{n}(X⊗Y).

Démonstration. Il est clair que ∥ ∥_{∧,n} est une semi-norme qui vérifie (R) . Par l’inclusion isométrique T : M_{n}(X^{∗}⊗_{∨,n}Y^{∗}) ⊆ Bil_{n}(X^{∗∗}, Y^{∗∗}; M_{n}) on peut considérer T̂(f ⊙ g) = T (f ⊙ g)|_{X⊗Y}, pour des contractions f ∈ M_{n}(X^{∗}) et g ∈ M_{n}(Y^{∗}), comme élément de la boule unité de Bil_{n}(X, Y; M_{n}) et on a donc

\begin{aligned}∥u∥_{∨,n} & = sup \{ ∥T̂(f ⊙ g)_{n}(u)∥ | ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1, ∥g∥_{n}^{∗} ≤ 1 \} \\ & ≤ sup \{ ∥ψ_{n}(u)∥_{M_{n}⊗M_{n}} | ψ ∈ Bil_{n}(X, Y; M_{n}), ∥ψ∥_{Bil_{n}} ≤ 1 \} \\ & = ∥u∥_{∧,n} \end{aligned} (I.5.8)

pour tout u ∈ M_{n}(X⊗Y). Ceci montre que ∥ ∥_{∧,n} est une norme sur M_{n}(X⊗Y). La condition (I.5.4b) est satisfaite comme conséquence de (I.5.8) et la définition (I.5.6). Il reste à montrer (I.5.4a) :

∥x ⊙ y∥_{∧,n} = sup { ∥ψ_{n}(x, y)∥ | ψ ∈ Bil_{n}(X, Y; M_{n}), ∥ψ∥_{Bil_{n}} ≤ 1 } ≤ ∥x∥_{n}∥y∥_{n}.

Soit maintenant α une norme raisonnable quelconque sur M_{n}(X⊗Y) et soit u ∈ M_{n}(X⊗Y). Alors comme pour la norme ∥ ∥_{∨,n} le théorème I.1.9 fournit une représentation de la norme

α(u) = sup { ∥⟨u^{∗}, u⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}} | u^{∗} ∈ M_{n}((X⊗Y, α)^{∗}), ∥u^{∗}∥_{α,n}^{∗} ≤ 1 }

et tout u^{∗} ∈ M_{n}((X⊗Y, α)^{∗}) correspond à un élément ψ ∈ Bil_{n}(X, Y; M_{n}) en posant ψ(x, y) = u^{∗}(x⊗y) ∈ M_{n}. Cette forme bilinéaire vérifie

∥∑ ψ_{n}(α_{i} · x_{i}, y_{i} · β_{i})∥_{M_{n}⊗M_{n}} = ∥⟨u^{∗}, ∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}⟩_{⊙}∥_{M_{n}⊗M_{n}}
≤ α (∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}) ∥u^{∗}∥_{α,n}^{∗}
≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} max ∥x_{i}∥ ∥y_{i}∥ ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} ∥u^{∗}∥_{α,n}^{∗}

puisque α est une norme raisonnable. Ceci implique que la boule unité de M_{n}((X ⊗Y, α)^{∗}) est contenue dans celle de M_{n}((X ⊗_{∧,n} Y)^{∗}).

Proposition I.5.8. Soient (X, ∥ ∥_{n}) et (Y, ∥ ∥_{n}) des M_{n}-espaces.

(i) On a la formule suivante pour la norme raisonnable maximale sur M_{n}(X⊗Y) :

(I.5.9) ∥u∥_{∧,n} = inf{ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max ∥x_{i}∥_{n} max ∥y_{i}∥_{n} |

u = ∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}, α_{i}, β_{i} ∈ M_{n}, x_{i} ∈ M_{n}(X), y_{i} ∈ M_{n}(Y)}

(ii) Pour tout u ∈ M_{n}(X⊗_{∧,n}Y) et pour tout ε > 0 il existe des matrices x_{i} ∈ M_{n}(X), y_{i} ∈ M_{n}(Y) avec ∥x_{i}∥_{n}, ∥y_{i}∥_{n} ≤ 1 et α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} telles que

u = ∑_{i=1}^{∞} α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i} (I.5.10)

∥∑_{i=1}^{∞} α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2}∥∑_{i=1}^{∞} β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} ≤ ∥u∥_{∧,n} + ε (I.5.11)

et la somme (I.5.10) converge absolument pour la norme ∥ ∥_{∧,n}.

(iii) Le produit tensoriel ⊗_{∧,n} est projectif : Soit Z ⊆ X un sous-espace fermé et soit q : X → X/Z l’application quotient. Alors l’application q⊗id : X⊗_{∧,n}Y → (X/Z)⊗_{∧,n}Y est une application n-quotient.

Remarque I.5.9. Les formules (I.5.6) et (I.5.9) montrent que les normes ∥ ∥_{∨,n} et ∥ ∥_{∧,n} convergent vers les formules équivalentes pour le produit tensoriel de Haagerup [42] et on a pour u ∈ M_{p}(X⊗Y)

∥u∥_{M_{p}(X⊗_{h}Y)} = sup_{n≥p} ∥u∥_{M_{n}(X⊗_{∨,n}Y)} = inf_{n≥p} ∥u∥_{M_{n}(X⊗_{∧,n}Y)}.

Démonstration. (i) Soit α la norme définie par le coté droit de (I.5.9). Alors ∥u∥_{∧,n} ≤ α(u) par (I.5.5a) et α est une norme raisonnable. La condition (I.5.4b) est

I.5. PRODUITS TENSORIELS 23

immédiate et il reste à montrer (R) . Soit u = ∑ α_{i} · u_{i} · β_{i}, alors

α(u) ≤ inf{ ∥∑_{i} α_{i}(∑_{k} γ_{k}^{(i)}γ_{k}^{(i)∗})α_{i}^{∗}∥^{1/2}∥∑_{i} β_{i}^{∗}(∑_{k} δ_{k}^{(i)∗}δ_{k}^{(i)})β_{i}∥^{1/2} ×

× max_{i,k} ∥x_{k}^{(i)}∥ max_{i,k} ∥y_{k}^{(i)}∥ | u_{i} = ∑_{k} γ_{k}^{(i)} · x_{k}^{(i)} ⊙ y_{k}^{(i)} · δ_{k}^{(i)} }

≤ inf{ ∥∑_{i} α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} max_{i}∥∑_{k} γ_{k}^{(i)}γ_{k}^{(i)∗}∥^{1/2}∥∑_{i} β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max_{i} ∥∑_{k} δ_{k}^{(i)∗}δ_{k}^{(i)}∥^{1/2} ×

× max_{i,k} ∥x_{k}^{(i)}∥ max_{i,k} ∥y_{k}^{(i)}∥ | u_{i} = ∑_{k} γ_{k}^{(i)} · x_{k}^{(i)} ⊙ y_{k}^{(i)} · δ_{k}^{(i)} }

≤ ∥∑_{i} α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2}∥∑_{i} β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} max_{i} α(u_{i}).

(ii) Soit u_{k} ∈ M_{n}(X⊗Y) une suite approximante pour u telle que ∥u − u_{k}∥_{∧,n} < \frac{ε}{2^{k+3}} et soit

u_{1} = ∑_{i=1}^{i(1)} α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}

une décomposition de u_{1} telle que

∥∑_{i=1}^{i(1)} α_{i}α_{i}^{∗}∥ = ∥∑_{i=1}^{i(1)} β_{i}^{∗}β_{i}∥ ≤ ∥u_{1}∥_{∧,n} + \frac{ε}{2^{4}} .

Comme

∥u_{k+1} − u_{k}∥_{∧,n} ≤ ∥u − u_{k+1}∥_{∧,n} + ∥u − u_{k}∥_{∧,n} < \frac{ε}{2^{k+2}}

on peut décomposer

u_{k+1} − u_{k} = ∑_{i=i(k)+1}^{i(k+1)} α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}

de sorte que

∥ ∑_{i=i(k)+1}^{i(k+1)} α_{i}α_{i}^{∗}∥ = ∥ ∑_{i=i(k)+1}^{i(k+1)} β_{i}^{∗}β_{i}∥ < \frac{ε}{2^{k+2}} .

Alors la somme

u_{1} + ∑_{k=1}^{∞}(u_{k+1} − u_{k})

converge absolument vers u et on a

∥∑_{i=1}^{∞} α_{i}α_{i}^{∗}∥ ≤ ∑_{k=0}^{∞}∥ ∑_{i=i(k)+1}^{i(k+1)} α_{i}α_{i}^{∗}∥ < ∥u∥_{∧,n} + ε
∥∑_{i=1}^{∞} β_{i}^{∗}β_{i}∥ ≤ ∑_{k=0}^{∞}∥ ∑_{i=i(k)+1}^{i(k+1)} β_{i}^{∗}β_{i}∥ < ∥u∥_{∧,n} + ε.

(iii) Soit û ∈ M_{n}((X/Z)⊗_{∧,n}Y ). Alors en utilisant ce que l’on a montré dans le paragraphe précédent on peut trouver des x̂_{i} ∈ M_{n}(X/Z), y_{i} ∈ M_{n}(Y) et α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} telles que

û = ∑_{i=1}^{∞} α_{i} · x̂_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}

et ∥x̂_{i}∥_{n} < 1, ∥y_{i}∥_{n} ≤ 1, ainsi que ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} ≤ ∥û∥_{∧,n} + ε. Ensuite il existe des x_{i} ∈ M_{n}(X) telles que q_{n}(x_{i}) = x̂_{i} et ∥x_{i}∥_{n} < 1. Posons

u = ∑_{i=1}^{∞} α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i};

alors u ∈ M_{n}(X⊗_{∧,n}Y) puisque la suite converge absolument pour la norme ∥ ∥_{∧,n} (ainsi que pour toute norme raisonnable) comme conséquence de (I.5.5a) et (q⊗id)_{n}(u) = û avec

∥u∥_{∧,n} ≤ ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} ≤ ∥û∥_{∧,n} + ε.

Comme pour les espaces de Banach, le dual du produit tensoriel projectif est l’espace des fonctions bilinéaires continues :

Proposition I.5.10. On a l’identité isométrique

Bil_{n}(X × Y; Z) = B_{n}(X⊗_{∧,n}Y, Z); (I.5.12)

en particulier,

M_{n}((X⊗_{∧,n}Y)^{∗}) = Bil_{n}(X × Y; M_{n}) (I.5.13)

isométriquement.

Démonstration. Notons ψ̂ l’application linéaire de X⊗Y dans Z correspondante à ψ ∈ Bil(X, Y; Z). Soit u ∈ M_{n}(X⊗Y), alors pour tout ε > 0 il existe des matrices α_{i}, β_{i} ∈ M_{n} et des matrices x_{i} ∈ M_{n}(X), y_{i} ∈ M_{n}(Y) telles que

u = ∑ α_{i} · x_{i} ⊙ y_{i} · β_{i}

et d’autre part,

∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥ < ∥u∥_{∧,n} + ε  ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥ < ∥u∥_{∧,n} + ε
∥x_{i}∥_{n} ≤ 1  ∥y_{i}∥_{n} ≤ 1.

On a donc

∥ψ̂_{n}(u)∥_{M_{n}(Z)} = ∥∑ ψ_{n}(α_{i} · x_{i}, y_{i} · β_{i})∥_{M_{n}(Z)} ≤ ∥ψ∥_{Bil_{n}} (∥u∥_{∧,n} + ε),

i.e. ∥ψ̂_{n}∥ ≤ ∥ψ_{n}∥; l’inégalité inverse est aussi immédiate.

I.6. Théorie locale des M_{n}-espaces et des espaces d’opérateurs

Dans cette section on va rappeler quelques notions de la théorie locale des espaces d’opérateurs qui a comme objet la description des espaces d’opérateurs et des M_{n}-espaces par leurs sous-espaces de dimension finie. On va donc établir des outils pour calculer les distances de Banach-Mazur entre les espaces «classiques» de la section I.7. Rappelons d’abord une estimation facile (pourtant optimale, on a égalité pour l’application de transposition des matrices, cf. [59]).

Lemme I.6.1. Soient X, Y des M_{n}-espaces et soit u : X → Y une application bornée. Alors u est n-bornée avec

∥u∥_{n} ≤ n ∥u∥

Démonstration. Notons d’abord que l’on peut estimer la norme d’une matrice d’opérateurs [y_{ij}] ∈ M_{n}(B(H)) par une sorte de norme de Frobenius comme suit. On a pour toute suite ξ_{i}, η_{i} ∈ H

|∑_{ij}⟨y_{ij}ξ_{j}, η_{i}⟩| ≤ ∑_{ij} ∥y_{ij}∥ ∥ξ_{i}∥ ∥η_{j}∥

≤ (∑_{ij} ∥y_{ij}∥^{2})^{\frac{1}{2}} (∑_{j} ∥ξ_{j}∥^{2})^{\frac{1}{2}} (∑_{i} ∥η_{i}∥^{2})^{\frac{1}{2}} ,

d’où

∥[y_{ij}]∥_{n} ≤ (∑_{i,j=1}^{n} ∥y_{ij}∥^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ n ∥[y_{ij}]∥_{n}

comme conséquence de (R1)_{n}’ . Soit x = [x_{ij}] ∈ M_{n}(X), alors

∥u_{n}(x)∥_{M_{n}(Y)} = ∥[u(x_{ij})]∥_{M_{n}(Y)} ≤ (∑ ∥u(x_{ij})∥^{2})^{\frac{1}{2}} ≤

≤ ∥u∥ (∑ ∥x_{ij}∥^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ n ∥u∥ ∥x∥_{M_{n}(X)}

Ensuite rappelons quelques idées de C. Zhang (cf. [61]) que l’on peut facilement adapter à notre situation. Pour ceci on a besoin de la notion d’homogénéité introduite dans [50, §1]

Définition I.6.2. Un espace d’opérateurs X est dit n-homogène si toute application nbornée u : X → X est complètement bornée avec ∥u∥_{cb} = ∥u∥_{n}. L’espace X est dit homogène s’il est 1-homogène.

Remarque I.6.3. Évidemment, un espace n-homogène est aussi k-homogène pour tout k ≥ n. Par exemple, les propositions I.3.4 et I.3.6 impliquent que pour un M_{n}-espace (X, ∥ ∥_{n}) les structures MIN(X, ∥ ∥_{n}) et MAX(X, ∥ ∥_{n}) sont n-homogènes. De plus, si (X, {∥ ∥_{k}}) est un espace d’opérateurs n-homogène, alors pour tout k ≥ n les espaces MIN(X, ∥ ∥_{k}) et MAX(X, ∥ ∥_{k}) sont n-homogènes aussi. En effet, soit u : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → MIN(X, ∥ ∥_{k}) une application n-bornée. Alors comme MIN(X, ∥ ∥_{k}) est k-homogène, on a

∥u : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → MIN(X, ∥ ∥_{k})∥_{cb} = ∥u : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → MIN(X, ∥ ∥_{k})∥_{k}
= ∥u : X → X∥_{k}
= ∥u : X → X∥_{n}
= ∥u : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → MIN(X, ∥ ∥_{k})∥_{n}.

Proposition I.6.4 ([61, Proposition 2.1]). Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace avec deux structures d’espace d’opérateurs compatibles X′ = (X, {∥ ∥′_{k}}) et X′′ = (X, {∥ ∥′′_{k}}) dont X′ est n-homogène et dominée par X′′ de sorte que l’on a pour tout entier positif k et pour tout x ∈ M_{k}(X)

∥x∥′_{k} ≤ ∥x∥′′_{k}. (I.6.1)

Alors on a pour tout k

d_{k}(X′, X′′) = ∥i_{X} : X′ → X′′∥_{k} (I.6.2a)

et par conséquent

d_{cb}(X′, X′′) = ∥i_{X} : X′ → X′′∥_{cb} (I.6.2b)

Démonstration. La condition (I.6.1) ne dit rien d’autre que ∥i_{X}^{−1} : X′′ → X′∥_{k} ≤ 1 pour tout k, d’où l’inégalité d_{k}(X′, X′′) ≤ ∥i_{X}∥_{k}. L’inégalité inverse est bien claire aussi pour k ≤ n. Pour k > n, notons que i_{X} : X′ → X′′ est une n-isométrie et que l’on a, par la n-homogénité de X′, pour tout isomorphisme linéaire T : X′ → X′′,

∥T^{−1}i_{X} : X′ → X′∥_{k} = ∥T^{−1}i_{X} : X′ → X′∥_{n} = ∥T^{−1} : X′′ → X′∥_{n};

ensuite,

∥i_{X}∥_{k} ≤ ∥T ∥_{k} ∥T^{−1}i_{X}∥_{k} ≤ ∥T ∥_{k} ∥T^{−1}∥_{n}

d’où la conclusion.

Ceci donne une nouvelle interprétation de la constante de Paulsen (cf. Définition I.3.11).

Corollaire I.6.5. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace.

(i) α(X, ∥ ∥_{n}) = d_{cb}(MIN(X, ∥ ∥_{n}), MAX(X, ∥ ∥_{n}))

(ii) Soit X′ une structure d’espace d’opérateurs sur X compatible avec ∥ ∥_{n}. Alors

d_{cb}(X′, MIN(X, ∥ ∥_{n})) = ∥i_{X} : MIN(X) → X′∥_{cb} ≤ α(X, ∥ ∥_{n})

et

d_{cb}(X′, MAX(X, ∥ ∥_{n})) = ∥i_{X} : X′ → MAX(X)∥_{cb} ≤ α(X, ∥ ∥_{n})

Remarque I.6.6. La démonstration de la proposition I.6.4 montre en fait l’énoncé suivant. Soit (X, ∥ ∥_{n}) un M_{n}-espace et soient X′, X′′ deux structures d’espaces d’opérateurs compatibles sur X dont X′′ soit n-homogène. Alors pour toute paire de n-isométries u, v : X′ → X′′ on a ∥u∥_{k} = ∥v∥_{k} pour tout k ∈ N.

Si les espaces en considération sont en plus hilbertiens on peut se débarrasser de la condition de majorisation. Rappelons d’abord qu’un espace d’opérateurs H est dit hilbertien, s’il est hilbertien autant qu’espace de Banach.

Remarque I.6.7. Soit H un espace d’opérateurs hilbertien homogène, alors toute paire de sous-espaces de la même dimension est complètement isométrique. On peut donc parler du sous-espace n-dimensionnel H_{n} ⊆ H. Par le théorème de Russo-Dye un espace d’opérateurs hilbertien H est homogène si et seulement si tout opérateur unitaire u : H → H est complètement contractant.

Proposition I.6.8 ([61, Theorem 3.1]). Soient H′ et H′′ des espaces d’opérateurs homogènes isométriques à ℓ_{2}, soient H′_{n} et H′′_{n} leurs sous-espaces de dimension n et soient i_{H} : H′ → H′′ et i_{n} : H′_{n} → H′′_{n} les applications identités de ℓ_{2} et ℓ_{2}^{n} respectivement. Alors pour on a pour 1 ≤ k ≤ ∞

d_{k}(H′_{n}, H′′_{n}) = ∥i_{n}∥_{k} ∥i_{n}^{−1}∥_{k}

et

d_{k}(H′, H′′) = ∥i_{H}∥_{k} ∥i_{H}^{−1}∥_{k} = sup_{n} ∥i_{n}∥_{k} ∥i_{n}^{−1}∥_{k}.

Définition I.6.9 ([48]). Soit 𝒦 l’espace des opérateurs compacts sur ℓ_{2} et soit X un espace d’opérateurs de dimension finie. Notons

δ_{k}(X) = inf { d_{cb}(X, Y) | Y ⊆ C(K; M_{k}), K compact }

et posons

d_{S𝒦} (X) = inf { d_{cb}(X, Y) | Y ⊆ 𝒦 }

= inf { d_{cb}(X, Y) | Y ⊆ M_{n}, n ∈ N }

= inf_{k} δ_{k}(X)

= inf_{k→∞} δ_{k}(X)

Pour un espace d’opérateurs X de dimension infinie on définit d_{S𝒦} (X) = sup d_{S𝒦} (X′) où le sup porte sur tous les sous-espaces X′ de dimension finie de X et on dit que X est exact si ce supremum est fini.

En termes de M_{n}-espaces on a une description alternative de ces nombres.

Proposition I.6.10. Soit (X, {∥ ∥_{k}}) un espace d’opérateurs de dimension finie. Alors on a les identités

(I.6.3)  δ_{k}(X) = d_{cb}(X, MIN(X, ∥ ∥_{k}))

et par conséquent

(I.6.4)  d_{S𝒦} (X) = inf_{k} d_{cb}(X, MIN(X, ∥ ∥_{k}))

= inf_{k} ∥id : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → X∥_{cb} (I.6.5)

Démonstration. L’inégalité δ_{k}(X) ≤ d_{cb}(X, MIN(X, ∥ ∥_{k})) est clair par la proposition I.3.4. Pour l’inverse on utilise la remarque I.3.5 qui implique que

∥id : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → X∥_{cb} ≤ δ_{k}(X) ∥id : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → X∥_{k} = δ_{k}(X);

ensuite la proposition I.3.4 entraîne que

∥id : X → MIN(X, ∥ ∥_{k})∥_{cb} = ∥id : X → MIN(X, ∥ ∥_{k})∥_{k} = 1

d’où la conclusion.

I.7. Exemples

I.7.1. M_{n} et ses sous-espaces. Les algèbres d’opérateurs et leurs sous-espaces sont des exemples naturels de M_{n}-espaces, dont M_{n} et ses sous-espaces paraissent particulièrement intéressants, cf. la remarque I.1.8. M_{n} ayant la structure minimale pour la n-norme, entraîne sur son dual S_{1}^{n} la structure MAX(S_{1}^{n}, ∥ ∥_{n}^{∗}) comme structure duale standard. Parmi les sous-espaces de M_{n} figurent ℓ_{∞}^{n} et les espaces hilbertiens R_{n} et C_{n}, qui ont comme base { e_{1i} | i = 1, …, n } et { e_{i1} | i = 1, …, n } respectivement. Les normes matricielles sont donc données par

∥∑ α_{i}⊗e_{1i}∥_{M_{k}(R_{n})} = ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{k} et ∥∑ α_{i}⊗e_{i1}∥_{M_{k}(C_{n})} = ∥∑ α_{i}^{∗}α_{i}∥1/2 ; M_{k}

respectivement. Notons que R_{n} et C_{n} sont en dualité complètement isométriquement et qu’ils sont homogènes, cf. [4, Proposition 2.2] ou [21, Corollary 4.2]. On va étudier également les versions de dimension infinie de ces espaces, notées R et C respectivement.

La structure d’espace d’opérateurs sur M_{n} pourtant n’est pas déterminée par la M_{n}- structure, i.e. MAX(M_{n}, ∥ ∥_{n}) est différent de M_{n} = MIN(M_{n}, ∥ ∥_{n}). Ceci est une conséquence de la proposition suivante, qui montre que même α(ℓ_{∞}^{n}, ∥ ∥_{k}) > 1 pour tout k ≥ 3. Pour cela rappelons que MAX(ℓ_{1}^{n}) = ℓ_{∞}^{n}^{∗} a une réalisation concrète comme le sous-espace E_{1}^{n} de la C^{∗}-algèbre pleine du groupe libre F_{n} engendré par { U_{i} = π_{u}(g_{i}) | i = 1, … n }, où π_{u} est la représentation universelle du groupe libre et g_{1}, g_{2}, …, g_{n} sont ses générateurs. Alors pour ces espaces on a les minorations suivantes (voir aussi la proposition I.7.21), qui résultent des corollaires I.3.12 et I.6.5.

Proposition I.7.1 ([28, Example 3.3.1.3], [48, Theorem 7]).

(i) Il existe une constante positive C_{1} telle que pour tout n ∈ N on a

α(M_{n}, ∥ ∥_{k}) ≥ d_{S𝒦} (S_{1}^{n}) ≥ C_{1} n.

(ii) Pour tout n ≥ 2 on a

α(ℓ_{∞}^{n}, ∥ ∥_{k}) ≥ d_{S𝒦} (E_{1}^{n}) ≥ \frac{n}{2\sqrt{n − 1}} ≥ \frac{\sqrt{n}}{2}.

Remarque I.7.2. Notons que l’on peut interpréter ce nombre de la manière suivante :

α(E_{1}^{n}, ∥ ∥_{k}) = sup \{ \frac{∥∑_{i=1}^{n} a_{i}⊗U_{i}∥}{∥∑_{i=1}^{n} a_{i}⊗U_{i}^{(k)}∥} | a_{i} ∈ B(H) \} ,

où U_{i}^{(k)} sont les images des générateurs du groupe libre F_{n} par la représentation π_{u}^{(k)} = ⊕{ π | π : F_{n} → M_{k} unitaire }, puisque (E_{1}^{n}, ∥ ∥_{k}) étant le dual de (ℓ_{∞}^{n}, ∥ ∥_{k}) est la structure MAX pour tout k et dans ce cas le théorème de Russo-Dye permet d’écrire la formule (I.3.1) de manière

∥∑ a_{i}⊗e_{i}∥_{B(H)⊗_{min}MIN(E_{1}^{n},∥ ∥_{k})} = sup { ∥∑ a_{i}⊗u_{i}∥ | u_{i} ∈ M_{k} unitaires } .

V. Paulsen [41, Corollary 3.4] a estimé α(ℓ_{∞}^{n}) = α(ℓ_{1}^{n}) ≤ \sqrt{n − 1} et on a donc α(ℓ_{∞}^{n}, ∥ ∥_{k}) ≈ \sqrt{n} indépendemment de k.

Plus généralement, la proposition suivante, corollaire simple de la proposition I.6.10 et du corollaire I.3.12, restreint la classe des espaces d’opérateurs (X, {∥ ∥_{k}}) dont la structure MIN et la structure MAX coïncident pour un certain entier k.

Proposition I.7.3. Soit (X, {∥ ∥_{k}}) un espace d’opérateurs pour lequel α(X, ∥ ∥_{n}) = 1 pour un certain n. Alors d_{S𝒦} (X) = d_{S𝒦} (X^{∗}) = 1.

Remarque I.7.4. Les seuls exemples connus avec cette propriété sont ℓ_{1}^{2}, ℓ_{∞}^{2}, R_{n}, C_{n}, R et C. En effet, on a α(ℓ_{∞}^{2}) = α(ℓ_{1}^{2}) = 1 [40] et α(R_{n}, ∥ ∥_{n}) = α(C_{n}, ∥ ∥_{n}) = 1, puisque d’un coté R_{n} = MIN(R_{n}, ∥ ∥_{n}) (cf. la proposition I.3.4), et d’un autre coté, R_{n} étant le dual de C_{n} = MIN(C_{n}, ∥ ∥_{n}), on a aussi R_{n} = MAX(R_{n}, ∥ ∥_{n}) (cf. corollaire I.3.10) ; voir (I.7.6) pour une estimation de α(R_{n}, ∥ ∥_{k}).

Remarque I.7.5. Il est bien connu qu’un espace de Banach X dont tous les sousespaces de dimension 2 sont isométriquement hilbertiens est lui-même hilbertien. La remarque I.6.7 soulève la question de savoir si les espaces d’opérateurs hilbertiens homogènes ont une propriété analogue. Dans [61], C. Zhang a montré que ce n’est pas le cas en exhibant pour tout entier n des exemples d’espaces d’opérateurs hilbertiens H′, H′′ homogènes non-isomorphes qui ont les mêmes sous-espaces de dimension n. Le fait que la structure d’espace d’opérateurs sur R_{n} est déterminée par la M_{n}-structure fournit un autre exemple. En effet, MIN(R, ∥ ∥_{n}) et MAX(R, ∥ ∥_{n}) coïncident sur leurs sousespaces de dimension inférieure à n, mais ils ne sont pas complètement isomorphes, car MAX(R, ∥ ∥_{n}) n’est pas exact (cf. proposition I.7.21).

I.7.2. L’espace hilbertien M_{n}H. On note M_{n}H(I) le M_{n}-espace sous-jacent à l’espace d’opérateurs OH(I) de [50]. Rappelons-en quelques propriétés.

Proposition I.7.6 ([50, Theorem 1.1]). Pour tout ensemble d’indices I il y a un M_{n}- espace unique M_{n}H(I) qui vérifie les propriétés suivantes.

(i) M_{n}H(I) = ℓ_{2}(I) isométriquement.

(ii) L’identification canonique entre M_{n}H(I) et \overline{M_{n}H(I)^{∗}} est une n-isométrie. En plus, si l’on note {θ_{i}} la base canonique de ℓ_{2}(I), la n-norme sur M_{n}H(I) est donnée par

∥∑ α_{i}⊗θ_{i}∥_{M_{n}(M_{n}H(I))} = ∥∑ α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥_{M_{n}⊗\overline{M_{n}}}^{1/2} . (I.7.1)

On notera M_{n}H = M_{n}H(N) et M_{n}H_{m} = M_{n}H({ 1, …, m }).

Remarque I.7.7. La formule (I.7.1) pour la n-norme sur M_{n}H(I) entraîne que

∥∑ α_{i}⊗θ_{i}∥_{M_{n}(M_{n}H(I))} = ∥∑ \overline{α_{i}}⊗θ_{i}∥_{M_{n}(M_{n}H(I))} = ∥∑ α_{i}⊗\overline{θ_{i}}∥_{M_{n}(\overline{M_{n}H(I)})} .

Proposition I.7.8 ([50, Proposition 1.4]). Soit X un M_{n}-espace et soit u : M_{n}H(I) → X une application n-bornée avec u(θ_{i}) = x_{i}. Alors

∥u∥_{n} = sup_{J⊆I fini} sup \{ ∥∑_{i∈J}⟨f, x_{i}⟩⊗\overline{⟨f, x_{i}⟩}∥_{M_{n}⊗\overline{M_{n}}}^{1/2} | f ∈ M_{n}(X^{∗}), ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1\}

Démonstration. Avec l’identification anti-isométrique M_{n}H(I)^{∗} = \overline{M_{n}H(I)} on a u(h) = ∑⟨\overline{θ_{i}}, h⟩x_{i}. Supposons d’abord que u soit de rang fini, alors les remarques I.1.15 et I.7.7 entraînent

∥u∥_{n} = sup \{ ∥∑ \overline{θ_{i}}⊗⟨f, x_{i}⟩∥_{M_{n}(\overline{M_{n}H(I)}^{∗})} | ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1 \}

= sup \{ ∥∑⟨f, x_{i}⟩⊗\overline{⟨f, x_{i}⟩}∥_{M_{n}⊗\overline{M_{n}}}^{1/2} | ∥f∥_{n}^{∗} ≤ 1 \} .

Dans le cas général, on note que ∥u∥_{n} = sup { ∥uP_{J}∥_{n} | J ⊆ I fini }, où P_{J} désigne la projection orthogonale de ℓ_{2}(I) sur ℓ_{2}(J).

Proposition I.7.9 ([50, Corollary 2.4, Proposition 7.2]). Soit X un M_{n}-espace avec un plongement borné injectif v : M_{n}H → X à image dense et tel que l’application v\overline{v^{∗}} : \overline{X^{∗}} → X est injective et à image dense aussi. Alors (\overline{X^{∗}}, X) est un couple compatible inclus dans X et on a

M_{n}H = (\overline{X^{∗}}, X)_{\frac{1}{2}}

n-isométriquement. Soit H_{n} un espace d’opérateurs homogène isométrique à ℓ_{2}^{n}. Alors on a

d_{k}(H_{n}, \overline{H_{n}^{∗}}) = d_{k}(H_{n}, OH_{n})^{2}. (I.7.2)

Le corollaire I.3.10 et [50, Corollary 2.5] impliquent immédiatement Corollaire I.7.10. Pour tout ensemble d’indices I et pour tout entier positif n on a

(MIN(M_{n}H(I)), MAX(M_{n}H(I)))_{\frac{1}{2}} = OH(I)

n-isométriquement.

I.7.3. Comparaisons. Dans ce paragraphe on va donner quelques estimations des k-distances entre les espaces hilbertiens «classiques». Notons que par la k-homogénéité des structures MIN et MAX la k-distance d_{k}(X, Y) entre les M_{n}-espaces X et Y n’est rien d’autre que la distance complètement bornée d_{cb}(MIN(X, ∥ ∥_{k}), MIN(Y, ∥ ∥_{k})) = d_{cb}(MAX(X, ∥ ∥_{k}), MAX(Y, ∥ ∥_{k})). Dans ce qui suit on va constamment (et sans référence) utiliser la proposition I.6.8.

Proposition I.7.11.

(I.7.3a)  d_{k}(R_{n}, C_{n}) = min {k, n}  d_{k}(R, C) = k
(I.7.3b)  d_{k}(R_{n}, OH_{n}) = \sqrt{min \{k, n\}}  d_{k}(R, OH) = \sqrt{k}
(I.7.3c)  d_{k}(C_{n}, OH_{n}) = \sqrt{min \{k, n\}}  d_{k}(C, OH) = \sqrt{k}

Démonstration. Il est bien connu que d_{cb}(R_{k}, C_{k}) = d_{k}(R_{k}, C_{k}) = k et on a donc pour k ≤ n la minoration d_{k}(R, C) ≥ d_{k}(R_{n}, C_{n}) ≥ d_{k}(R_{k}, C_{k}) = k. Pour montrer l’inégalité inverse, notons que

∥id : R → C∥_{k} = sup { ∥∑ α_{i}^{∗}α_{i}∥^{1/2} | α_{i} ∈ M_{k}, ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} ≤ 1 } .

Ensuite,

∥∑ α_{i}^{∗}α_{i}∥^{1/2} ≤ [tr (∑ α_{i}^{∗}α_{i})]^{1/2}
= [tr (∑ α_{i}α_{i}^{∗})]^{1/2}
≤ (k ∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥)^{1/2}

et on a donc d_{k}(R, C) ≤ ∥id : R → C∥_{k}^{2} ≤ k, d’où (I.7.3a). Les formules (I.7.3b) et (I.7.3c) en résultent comme conséquence de la proposition I.7.9.

Proposition I.7.12.

d_{k}(OH_{n}, R_{n} ∩ C_{n}) = ∥id : OH_{n} → R_{n} ∩ C_{n}∥_{k} = (min{k, n})^{1/4}

Démonstration. La formule pour la dualité (I.1.3) implique que ∥id : R_{n} ∩ C_{n} → OH_{n}∥_{k} = 1. Pour estimer

∥OH_{n} → R_{n} ∩ C_{n}∥_{k} = sup max {∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥1/2 ; M_{k} , ∥∑ α_{i}^{∗}α_{i}∥1/2 ; M_{k}}

où le supremum porte sur les matrices α_{i} ∈ M_{k} dont la norme OH vérifie

∥∑ α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥_{M_{k}⊗\overline{M_{k}}}^{1/2} ≤ 1,

on fait appel à la formule (I.1.3) encore une fois :

∥∑ α_{i}α_{i}^{∗}∥^{1/2} = sup \{ ∥∑ α_{i}⊗\overline{β_{i}}∥ | ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2} ≤ 1 \};

ensuite en appliquant l’inégalité (I.1.3) on obtient par le même argument que dans la démonstration précédente

∥∑ α_{i}⊗\overline{β_{i}}∥ ≤ ∥∑ α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}⊗\overline{β_{i}}∥^{1/2}
≤ ∥∑ α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥^{1/2} ∥∑ β_{i}β_{i}^{∗}∥^{1/4} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/4}
≤ ∥∑ α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥^{1/2} \sqrt[4]{k} ∥∑ β_{i}^{∗}β_{i}∥^{1/2}

et de façon analogue on montre que ∥∑ a_{i}^{∗}a_{i}∥^{1/2} ≤ \sqrt[4]{k}, d’où la conclusion.

Proposition I.7.13.

(I.7.4a)  d_{k}(MIN(ℓ_{2}^{n}), MAX(ℓ_{2}^{n})) = ∥Id : MIN(ℓ_{2}^{n}) → MAX(ℓ_{2}^{n})∥_{k} ≈ min{k, n}
(I.7.4b)  d_{k}(MIN(ℓ_{2}^{n}), OH_{n}) = d_{k}(MAX(ℓ_{2}^{n}), OH_{n}) ≈ \sqrt{min\{k, n\}}

Démonstration. Notons τ_{n} = \frac{1}{n} tr la trace normalisée de M_{n}. Un résultat de M. Junge [28, Lemma 4.3.1] dit qu’il existe une constante universelle C telle que pour tout entier n il existe des matrices δ_{1}, δ_{2}, …, δ_{n} ∈ M_{n} orthonormales dans L^{2}(M_{n}, τ_{n}) avec la propriété supplémentaire que pour toute suite de scalaires λ_{i} on a aussi en norme d’opérateurs

∥∑ λ_{i} δ_{i}∥ ≤ C (∑ |λ_{i}|^{2})^{1/2} .

Ceci implique que

∥id : MIN(ℓ_{2}^{n}) → OH_{n}∥_{n} = sup \{ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i}⊗\overline{α_{i}}∥_{M_{n}⊗\overline{M_{n}}}^{1/2} |

α_{i} ∈ M_{n}, ∥∑_{i=1}^{n} λ_{i} α_{i}∥M_{n} ≤ (∑ |λ_{i}|^{2})^{1/2} pour λ_{i} ∈ C }

≥ \frac{1}{C} ∥∑_{i=1}^{n} δ_{i}⊗\overline{δ_{i}}∥_{M_{n}⊗\overline{M_{n}}}^{1/2}

≥ \frac{1}{C} (∑_{i=1}^{n} τ_{n}(δ_{i}δ_{i}^{∗}))^{1/2}

= \frac{\sqrt{n}}{C}.

On a donc par la proposition I.7.9 et le lemme I.6.1 pour k ≤ n

\frac{k}{C^{2}} ≤ ∥MIN(ℓ_{2}^{k}) → MAX(ℓ_{2}^{k})∥_{k} ≤ ∥MIN(ℓ_{2}^{n}) → MAX(ℓ_{2}^{n})∥_{k} ≤ k

d’où (I.7.4a) ; pour l’autre formule (I.7.4b) il suffit de rappeler (I.7.2).

Dans le reste de ce paragraphe on va estimer le paramètre α de Paulsen pour les M_{n}- espaces hilbertiens homogènes OH_{n}, R_{n}, C_{n}, R_{n} ∩ C_{n}, MIN(ℓ_{2}^{n}) et MAX(ℓ_{2}^{n}).

Lemme I.7.14. Soit e_{i} la base canonique de ℓ_{2}^{n} et soit (H_{n}, ∥ ∥_{k}) une M_{n}-structure homogène sur ℓ_{2}^{n}. Alors on a l’inégalité

α(H_{n}, ∥ ∥_{k}) ≤ ⌈\frac{n}{k}⌉ ∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n})} ∥∑_{i=1}^{k} e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n}^{∗})}

32 I. M_{n}-ESPACES

où ⌈t⌉ est le plus petit nombre entier supérieur au nombre réel positif t.

Démonstration. On applique la proposition I.3.13 au couple (H_{n}, H_{n}^{∗}) et on obtient

α(H_{n}, ∥ ∥_{k}) = sup ∥∑ a_{i}⊗b_{i}∥

où le supremum porte sur les n-uplets a_{1}, a_{2}, …, a_{n} et b_{1}, b_{2}, …, b_{n} dans B(H) qui satisfont ∥∑ a_{i}⊗α_{i}∥ ≤ ∥∑ α_{i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n})}^{1/2} et ∥∑ b_{i}⊗β_{i}∥ ≤ ∥∑ β_{i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n}^{∗})}^{1/2} (I.7.5) pour toutes n-uplets α_{1}, α_{2}, …, α_{n} et β_{1}, β_{2}, …, β_{n} dans M_{k}. Alors en rajoutant a_{n+1} = a_{n+2} = ⋯ = a_{⌈ \frac{n}{k} ⌉} = 0 on a

∥∑_{i=1}^{n} a_{i}⊗b_{i}∥ ≤ ∑_{j=1}^{⌈ \frac{n}{k} ⌉}∥∑_{i=1}^{k} a_{jk+i}⊗b_{jk+i}∥
≤ ∑_{j=1}^{⌈ \frac{n}{k} ⌉}∥∑_{i=1}^{k} a_{jk+i}⊗e_{i1}∥ ∥∑_{i=1}^{k} b_{jk+i}⊗e_{1i}∥  par (I.1.3)
≤ ⌈\frac{n}{k}⌉ ∥∑ e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n})}^{1/2} ∥∑ e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(H_{n}^{∗})}^{1/2}  par (I.7.5)

puisque les e_{ij} qui apparaissent sont dans M_{k}. Proposition I.7.15. Pour tout k ≤ n

(I.7.6)  α(R_{n}, ∥ ∥_{k}) = α(C_{n}, ∥ ∥_{k}) ≤ ⌈\frac{n}{k}⌉
(I.7.7)  α(R_{n} + C_{n}, ∥ ∥_{k}) = α(R_{n} ∩ C_{n}, ∥ ∥_{k}) ≤ min \{ ⌈\frac{n}{k}⌉ \sqrt{k}, \sqrt{n} \}
(I.7.8)  α(OH_{n}, ∥ ∥_{k}) = δ_{k}(OH_{n})^{2} ≤ min \{ ⌈\frac{n}{k}⌉ \sqrt{k}, \sqrt{n} \}
(I.7.9)  α(MIN(ℓ_{2}^{n}, ∥ ∥_{k}) = α(MAX(ℓ_{2}^{n}, ∥ ∥_{k}) ≤ min \{ ⌈\frac{n}{k}⌉ \sqrt{k}, \sqrt{n} \}

Remarque I.7.16. En vue des inégalités

δ_{n}(R_{n}) = δ_{n}(C_{n}) = 1  cf. remarque I.7.4
δ_{k}(OH_{n}) ≥ d_{S𝒦} (OH_{n}) ≥ \sqrt{\frac{n}{2\sqrt{n − 1}}} ≥ \begin{matrix}^{4} & \sqrt{n} \\ √ & \overline{2} \end{matrix}  [48, Corollary 10]
d_{S𝒦} (MAX(ℓ_{2}^{n})) ≥ \frac{\sqrt{n}}{4}  [29, Theorem 3.2]

les estimations (I.7.6), (I.7.8) et (I.7.9) sont optimales pour k ≥ n.

Démonstration. Ces inégalités résultent du lemme précédent et des calculs suivants. Pour (I.7.6) on observe que

∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(C_{n})} = ∥∑_{i=1}^{k} e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(R_{n})} = 1.

Pour voir (I.7.7), on note que

∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(R_{n}∩C_{n})} = \sqrt{k} et ∥∑_{i=1}^{k} e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(R_{n}+C_{n})} = 1;

l’inégalité pour l’espace d’opérateurs de Hilbert vient de

∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(OH_{n})} = ∥∑_{i=1}^{k} e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(OH_{n})} = k^{1/4}

Enfin, pour MIN et MAX on a d’une part

∥∑_{i=1}^{k} e_{i1}⊗e_{i}∥_{M_{k}(MIN(ℓ_{2}^{n}))} = 1

et d’autre part par dualité

∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(MAX(ℓ_{2}^{n}))} = sup { ∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗a_{i}∥ | ∥∑_{i=1}^{k} λ_{i} a_{i}∥ ≤ (∑_{i=1}^{k} |λ_{i}|^{2})^{1/2} }

que l’on peut estimer comme suit.

∥∑_{i=1}^{k} e_{1i}⊗a_{i}∥ = ∥∑_{i=1}^{k} a_{i}a_{i}^{∗}∥^{1/2} ≤ (∑_{i=1}^{k} ∥a_{i}∥^{2})^{1/2} ≤ \sqrt{k}

ce qui achève la démonstration.

Proposition I.7.17 ([28, Lemma 3.3.3.1]).

d_{k}(MIN(ℓ_{2}^{n}), R_{n} ∩ C_{n}) = ∥id : MIN(ℓ_{2}^{n}) → R_{n} ∩ C_{n}∥_{k} = \sqrt{min \{k, n\}}

et par conséquent, pour n’importe quel espace d’opérateurs X et u : X → R_{n} ∩ C_{n} on a

∥u∥_{k} ≤ \sqrt{min \{k, n\}} ∥u∥ (I.7.10)

Démonstration. Il suffit de montrer que ∥id : MIN(ℓ_{2}^{n}) → C_{n}∥_{k} ≤ \sqrt{k} pour k ≤ n, l’autre inégalité en résulte par symétrie. Puis on déduit (I.7.10) de la proposition I.3.4 en utilisant la factorisation X → MIN(ℓ_{2}^{n}) → C_{n} ∩ R_{n}. Soit ∑ a_{i}⊗e_{i} dans la boule unité de M_{k}(MIN(ℓ_{2}^{n})), i.e. tel que

∥∑_{i=1}^{n} λ_{i}a_{i}∥M_{k} ≤ (∑_{i=1}^{n} |λ_{i}|^{2})^{1/2} (I.7.11)

pour toute suite λ_{i} ∈ C. Notons que ∥∑ a_{i}⊗e_{i}∥_{M_{k}(C_{n})} = sup ∥∑ a_{i}ξ_{i}∥ , où le sup porte sur les suites ξ_{i} ∈ C^{k} telles que ∑ ∥ξ_{i}∥_{ℓ_{2}}^{2} ≤ 1. Soient ε_{i} des variables aléatoires i.i.d. de Bernoulli, c’est-à-dire P (ε_{i} = +1) = P (ε_{i} = −1) = \frac{1}{2}. Alors pour ξ_{i} = (ξ_{i}^{j}) ∈ C^{k} fixe on a

∥∑ a_{i}ξ_{i}∥_{ℓ_{2}}^{2} = ∥∑_{i,j} a_{i}ξ_{i}^{j}e_{j}∥_{ℓ_{2}}^{2} = ∥E ∑_{i,j,j′} a_{i}ξ_{i}^{j}ε_{j}e_{j′}ε_{j′} ∥^{2}

≤ E∥∑_{i,j} a_{i}ξ_{i}^{j}ε_{j} ∑_{j′} ε_{j′}e_{j′} ∥_{ℓ_{2}}^{2}  par convexité

≤ k E ∑_{i}|∑_{j} ξ_{i}^{j}ε_{j}|^{2}  par (I.7.11)

= k ∑_{i,j} |ξ_{i}^{j}|^{2} = k ∑ ∥ξ_{i}∥_{ℓ_{2}}^{2}

Pour la suite rappelons quelques notations.

Notation I.7.18 ([29],[46]). Soient X et Y des espaces de Banach et soit u : X → Y un opérateur linéaire. Alors u est dit 2-sommant s’il existe une constante C telle que pour toute suite finie x_{i} ∈ X on a

∑ ∥u(x_{i})∥_{Y}^{2} ≤ C^{2} sup { ∑ |ξ(x_{i})|^{2} | ξ ∈ X^{∗}, ∥ξ∥ ≤ 1 }

et on note π_{2}(u) la plus petite constante. Si de plus X est muni d’une structure d’espace d’opérateurs, on notera pour une suite x_{i} ∈ B(H)

RC((x_{i})) = max { ∥∑ x_{i}x_{i}^{∗}∥ , ∥∑ x_{i}^{∗}x_{i}∥ }

et π_{2,RC}(u) sera la plus petite constante C pour laquelle on a

∑ ∥u(x_{i})∥_{Y}^{2} ≤ C^{2} RC((x_{i})).

Il est facile à voir que π_{2,RC}(u) ≤ π_{2}(u) avec égalité quand X est muni de la structure MIN(X). Pour la structure MIN(X, ∥ ∥_{k}) on a l’estimation suivante.

Corollaire I.7.19. Soient (X, {∥ ∥_{k}}) et Y des espaces d’opérateurs et soit u : MIN(X, ∥ ∥_{k}) → Y une application linéaire (2, RC)-sommante. Alors u est 2-sommante avec

π_{2}(u) ≤ \sqrt{k} π_{2,RC}(u).

Démonstration. Notons d’abord que d’après (I.3.1) pour x_{i} ∈ X on a la formule

RC((x_{i})) = sup {RC(⟨f, x_{i}⟩) | f ∈ M_{k}(X^{∗}), ∥f∥_{k}^{∗} ≤ 1 }

qui peut être estimée comme suit. Toute suite \underline{x} = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) dans X définit une application

T\underline{x} : X^{∗} → R_{k} ∩ C_{k}
f ↦ ∑⟨f, x_{i}⟩ δ_{i}

où δ_{i} = e_{1i} ⊕ e_{i1} est la base canonique de R_{k} ∩ C_{k}. On peut alors estimer

RC((⟨f, x_{i}⟩)) = ∥T\underline{x}_{k}(f)∥_{M_{k}(R_{n}∩C_{n})}^{2}
≤ k ∥u∥^{2} (∥f∥_{k}^{∗})^{2}

en appliquant la proposition I.7.17 et l’identité

∥u∥^{2} = sup { ∑ |⟨f, x_{i}⟩|^{2} | f ∈ X^{∗}, ∥f∥ ≤ 1 }

achève la démonstration.

On aura besoin du résultat suivant.

Proposition I.7.20 ([29, Theorem 1.4]). Soient X, Y des espaces d’opérateurs exacts et soit u : X → Y^{∗} complètement bornée. Alors u est (2, RC)-sommant avec

π_{2,RC}(u) ≤ 4 d_{S𝒦} (X) d_{S𝒦} (Y) ∥u∥_{cb}

Avec ces outils on est prêt à montrer une généralisation de [29, Theorem 3.2]. Pour ceci rappelons la constante

d_{QS𝒦} (X) = inf d_{cb}(X, Y)

où le inf porte sur tout les quotients Y des sous-espaces des opérateurs compacts 𝒦. À part l’estimation d_{QS𝒦} (X) ≤ d_{S𝒦} (X) ≤ \sqrt{dim X} (cf. [50, Theorem 9.6]) on a la minoration suivante pour les espaces MAX.

Proposition I.7.21. Soit (X, ∥ ∥_{k}) un M_{n}-espace de dimension n, alors

d_{QS𝒦} (MAX(X, ∥ ∥_{k})) ≥ \frac{\sqrt{n}}{4\sqrt{k}} .

Par conséquent, un espace d’opérateurs X de dimension n satisfait

α(X, ∥ ∥_{k}) ≥ \frac{\sqrt{n}}{4\sqrt{k}} .

Démonstration. On peut adapter la démonstration de [29]. On utilise le fait que π_{2}(I_{X^{∗}}) = \sqrt{n} (cf. e.g. [46, Theorem 1.11]) et que l’on a donc π_{2,RC}(I_{X^{∗}}) ≥ \sqrt{\frac{n}{k}} par le corollaire I.7.19, puisque X^{∗} a la structure MIN. Soit maintenant v : X_{1}/X_{2} → MAX(X, ∥ ∥_{k}) un isomorphisme avec X_{2} ⊆ X_{1} ⊆ 𝒦. Alors on a un plongement complètement isométrique J : (X_{1}/X_{2})^{∗} = X_{2}^{⊥} ⊆ X_{1}^{∗} et on peut appliquer le corollaire I.7.20 à l’opérateur

Jv^{∗} : MIN(X^{∗}, ∥ ∥_{k}) → X_{2}^{⊥} → X_{1}^{∗}

pour obtenir

π_{2,RC}(v^{∗}) = π_{2,RC}(Jv^{∗}) ≤ 4 ∥Jv^{∗}∥_{cb} ≤ 4 ∥v^{∗}∥_{cb} = 4 ∥v∥_{cb}.

Ceci implique

\sqrt{\frac{n}{k}} ≤ π_{2,RC}(I_{X^{∗}}) ≤ ∥v^{∗}^{−1}∥ π_{2,RC}(v^{∗}) ≤ 4 ∥v^{−1}∥ ∥v∥_{cb}

d’où la conclusion.

Remarque I.7.22. L’exemple R_{n} = MAX(R_{n}, ∥ ∥_{n}) = MIN(R_{n}, ∥ ∥_{n}) (cf. (I.7.6)) montre qu’à une constante près cette borne est optimale.

36 I. M_{n}-ESPACES

CHAPITRE II Sommes d’unitaires et analyse harmonique sur le groupe libre

Introduction

Let A and B be C^{∗}-algebras. Denote ∥ ∥_{min} the minimal C^{∗}-cross norm on the tensor product A ⊗ B, i.e. if A and B are represented on Hilbert spaces H and K, the minimal norm is the norm induced by the canonical embedding of A ⊗ B into B(H ⊗_{2} K). For a complex Hilbert space H denote by \overline{H} the complex conjugate Hilbert space, i.e. the same space H with complex conjugate scalar multiplication. Then \overline{B(H)} can be identified with B(\overline{H}). In [45] it is proved that for any sequence of unitary operators u_{1}, u_{2}, …, u_{n} ∈ B(H) the following inequality holds:

∥∑_{i=1}^{n} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min} ≥ 2\sqrt{n − 1}. (II.0.12)

In this chapter we establish more general inequalities, exploiting the combinatorial principle behind (II.0.12). A large part is also devoted to an attempt to characterize unitaries, for which there is equality. This chapter has six sections. In section II.1 we give some examples and motivation. In section II.2 the concept of a family nonnegative alternating mixed moments is introduced and several norm inequalities are derived, generalizing (II.0.12). In section II.3 we characterize unitaries for which equality holds in (II.0.12) under the additional assumption that these unitaries come from the regular representation of a discrete group. It turns out that such sets of unitaries come from subsets of groups which have the Leinert property, i.e. they are up to one element translations of free subsets. In section II.4 we disprove the following conjectures.

Conjecture II.0.23 ([45]). Let u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be unitaries such that

∥∑_{i=1}^{n} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min} = 2\sqrt{n − 1}.

Then the linear space spanned by u_{1}, u_{2}, …, u_{n} in B(H) is (completely) isometric to the space spanned by λ(g_{1}), λ(g_{2}), …, λ(g_{n}) in B(ℓ_{2}(F_{n})).

Question II.0.24 ([55]). Let u_{1}, u_{2}, …, u_{n} and v_{1}, v_{2}, …, v_{n} be unitary operators and let α_{1}, α_{2}, …, α_{n} be positive real numbers. Then

(II.0.13)  ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i} ⊗ v_{i}∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min}.

In section II.5 we give estimates for the norm of subfamilies of unitaries for which equality holds in (II.0.12). Finally, in section II.6 we give an estimate for the norm of free operators with operator coefficients, which involves a formula similar to the formula for the scalar case obtained by Akemann and Ostrand. Our general reference for undefined terminology of C^{∗}-algebras is [58].

II.1. Examples

Conjecture II.0.23 is motivated by theorem II.3.7 and conjecture II.0.24 by the following examples.

Example II.1.1. - Unitary matrices.

This is trivial because for u_{i} ∈ M_{n}(C) (in fact, in any injective von Neumann algebra) and α_{i} ≥ 0 we have

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}.

Example II.1.2. - Group representations. Let G and G′ be discrete groups and denote their left regular representations by λ_{G} (resp. λ_{G′}). Then for any elements t_{i} ∈ G and t′_{i} ∈ G′ and α_{i} ≥ 0 we have

(II.1.1)  ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i}) ⊗ λ_{G′}(t′_{i})∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i}) ⊗ \overline{λ_{G}(t_{i})}∥_{min}.

Note that the representation λ_{G} ⊗ λ_{G′} can be considered as the left regular representation λ_{G×G′} of the direct product of the two groups and that both G and G′ are quotients of the direct product G × G′. The following results prove the claim. The following proposition is an extension of [30, Lemma 3.1].

Proposition II.1.3. Let G and H be discrete groups and q : G → H a group homomorphism. Then for every finite subset {t_{1}, t_{2}, …, t_{m}} of G and corresponding nonnegative real numbers α_{1}, α_{2}, …, α_{m} the inequality

∥∑_{i=1}^{m} α_{i} λ_{H}(q(t_{i}))∥_{C_{λ}^{∗}(H)} ≥ ∥∑_{i=1}^{m} α_{i} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} (II.1.2)

holds.

Proof. We will use the following well known fact about the noncommutative L^{p}- norms associated to τ_{G}:

∥X∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = sup_{1≤p<∞}(τ_{G}((X^{∗}X)^{p}))^{1/2p} (II.1.3)

It suffices to consider the integer values of p. Denote by W_{p}^{alt}(A) the set of all alternating words of length 2p in the letters A = {t_{1}, t_{2}, …, t_{m}}:

W_{p}^{alt}(A) = {t_{i_{1}}^{−1}t_{j_{1}}t_{i_{2}}^{−1}t_{j_{2}} ⋯ t_{i_{p}}^{−1}t_{j_{p}} : i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{p}, j_{p} ∈ {1, 2, …, m}} .

For v = t_{i_{1}}^{−1}t_{j_{1}}t_{i_{2}}^{−1}t_{j_{2}} ⋯ t_{i_{p}}^{−1}t_{j_{p}} ∈ W_{p}^{alt}(A) we use the following abbreviation:

α_{v} = α_{i_{1}}α_{j_{1}}α_{i_{2}}α_{j_{2}} ⋯ α_{i_{p}}α_{j_{p}}. (II.1.4)

Then we can write (note that we identify words in W_{p}^{alt}(A) with the corresponding elements in the group G):

∥∑_{i=1}^{m} α_{i} λ_{H}(q(t_{i}))∥_{C_{λ}^{∗}(H)} = sup_{p} (τ_{H} (∑_{i,j=1}^{m} α_{i}α_{j} λ_{H}(q(t_{i}^{−1}t_{j})))^{p})^{1/2p} =

= sup_{p} ( ∑_{v∈W_{p}^{alt}(A)} α_{v} τ_{H}(λ_{H}(q(v))))^{1/2p} = sup_{p} ( ∑_{\begin{matrix}v∈W_{p}^{alt}(A) \\ q(v)=e \end{matrix}} α_{v})^{1/2p}

≥ sup_{p} ( ∑_{\begin{matrix}v∈W_{p}^{alt}(A) \\ v=e \end{matrix}} α_{v})^{1/2p} = ∥∑_{i=1}^{m} α_{i} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)}

In [45] the following more general statement is proved:

Proposition II.1.4. Let H be a Hilbert space and U_{1}, U_{2}, …, U_{n} a finite sequence of unitary operators acting on H. Consider the representation π of F_{n} which is determined by the condition π(g_{i}) = U_{i} for all i ∈ {1, 2, …, n}. Then for every set of words {w_{1}, w_{2}, …, w_{m}} ∈ F_{n} and every sequence α_{1}, α_{2}, …, α_{m} of positive real numbers we have

∥∑_{i=1}^{m} α_{i} π(w_{i}) ⊗ \overline{π(w_{i})}∥_{min} ≥ ∥∑_{i=1}^{m} α_{i} λ(w_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(F_{n})}

For the next lemma we refer to [15, Lemma 2.1].

Lemma II.1.5 (Fell’s principle, [23]). Let (π, H) be a unitary representation of the discrete group G. Then there is a unitary operator W : ℓ_{2}(G) ⊗_{2} H → ℓ_{2}(G) ⊗_{2} H such that for all t ∈ G

W^{−1} λ_{G}(t) ⊗ π(t) W = λ_{G}(t) ⊗ I_{H}.

In particular we have the identity

∥∑ α_{i} λ_{G}(t_{i}) ⊗ \overline{λ_{G}(t_{i})}∥ = ∥∑ α_{i} λ_{G}(t_{i})∥

which finishes the poof of (II.1.1).

Example II.1.6. Unitary representations of the free group. The inequality (II.0.13) holds for v_{i} = λ(g_{i}) and arbitrary u_{i}.

Indeed, denoting g_{1}, g_{2}, …, g_{n} the generators of the free group F_{n} and λ its left regular representation, it follows from Fell’s principle and Pisier’s inequality [45, Theorem 1], that

∥∑ α_{i} λ(g_{i}) ⊗ u_{i}∥_{min} = ∥∑ α_{i} λ(g_{i}) ⊗ \overline{λ(g_{i})}∥ ≤ ∥∑ α_{i} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥ .

The latter is a consequence of the following apparently more general inequality.

Theorem II.1.7 ([55]). Let u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be unitaries in a C^{∗}-algebra A and suppose that there is a state φ on A such that for any choice of indices i_{1}, i_{2}, …, i_{p} and j_{1}, j_{2}, …, j_{p} we have

φ(u_{i_{1}}^{−1}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{−1}u_{j_{2}} … u_{i_{p}}^{−1}u_{j_{p}}) ≥ 0 (II.1.5)

Then for any sequence α_{1}, α_{2}, …, α_{n} of real positive numbers we have

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i}∥ ≥ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥.

Proof. Using (II.1.3) it suffices to estimate all the moments of the square of X = ∑ α_{i} λ(g_{i}) from above.

τ((X^{∗}X)^{p}) = ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \\ g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}}···g_{ip}^{−1}g_{jp}=e \end{matrix}} α_{i_{1}}α_{j_{1}}α_{i_{2}}α_{j_{2}} ⋯ α_{i_{p}}α_{j_{p}}

≤ ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},...i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} α_{i_{1}}α_{j_{1}}α_{i_{2}}α_{j_{2}} ⋯ α_{i_{p}}α_{j_{p}} φ(u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{p}}^{∗}u_{j_{p}})

= φ (((∑ α_{i} u_{i})^{∗}(∑ α_{j} u_{j}))^{p})

≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i}∥^{2p}.

Actually theorem II.2.3 together with Fell’s principle implies the following more general result.

Example II.1.8. Let G be a group and u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be some unitaries on a Hilbert space H. Then for all finite sequences t_{1}, t_{2}, …, t_{n} of elements in G and corresponding nonnegative coefficients α_{1}, α_{2}, …, α_{n} we have

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i}) ⊗ u_{i}∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i}) ⊗ \overline{λ_{G}(t_{i})}∥_{min}.

II.2. Families with nonnegative alternating mixed moments

In this section we will exhibit the common principle behind all the examples in the introduction. It can be considered as a variant of Perron-Frobenius theory with some non-commutative aspects. See also [53].

Definition II.2.1. Let A be a C^{∗}-algebra and φ a state on A. A family (a_{i})_{i∈I} of elements of A have nonnegative alternating mixed moments with respect to φ, if for any positive integer m and any choice of indices i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{m}, j_{m} ∈ I we have

φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{m}}^{∗}a_{j_{m}}) ≥ 0.

If all mixed moments with respect to φ are nonnegative, we call φ a jointly Perronian state for the family (a_{i})_{i∈I}, cf. [37]. A family of states S on A is said to be faithful, if for any nonzero x ∈ A there is a state φ ∈ S such that φ(x^{∗}x) > 0. In particular, denoting by π_{φ} the GNS representation associated to φ, this implies that the representation π_{S} = ⨁_{φ∈S} is faithful.

Remark II.2.2. Equivalently, we could consider families (a_{i}) in A together with a C^{∗}- algebra B and a faithful completely positive map Φ : A → B such that

Φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{m}}^{∗}a_{j_{m}}) ∈ B_{+}

for any choice of indices i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{m}, j_{m} ∈ I. Indeed, given such a map Φ, the family of states {ψ ∘ Φ : ψ ∈ S(B)} is faithful for A; conversely, given a faithful set of states S, the map

Φ : A → ℓ_{∞}(S)
a ↦ (φ(a))_{φ∈S}

is faithful and completely positive [58, Corollary 3.5].

For instance, the family (ω_{ξ⊗ξ̄})_{ξ∈B_{H}} is faithful for the algebra generated by the elements a ⊗ ā in A ⊗ Ā.

Theorem II.2.3. Let A be a unital C^{∗}-algebra with a faithful set of states S. Suppose that a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ A have nonnegative alternating mixed moments with respect to all φ ∈ S. Then for any Hilbert space H and any sequence of operators b_{1}, b_{2}, …, b_{n} in the unit ball of B(H) we have

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ b_{i}∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}∥.

Equivalently, denoting by U_{1}, U_{2}, …, U_{n} the images under the universal representation of the free group generators g_{1}, g_{2}, …, g_{n}, we can restate the claim as

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ U_{i}∥_{min} = sup_{u_{1},u_{2},... ,u_{n}unitary}∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ u_{i}∥_{min} = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}∥.

This implies in particular the following intermediate inequality between (II.1.5) and [45, Theorem 1]:

Corollary II.2.4. Let A and S be as in Theorem II.2.3 and assume that the alternating mixed moments of the unitaries u_{1}, u_{2}, …, u_{n} ∈ A with respect to S are nonnegative. Then we have for any sequence α_{1}, α_{2}, …, α_{n} of nonnegative real numbers

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥ ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i} ⊗ \overline{u_{i}}∥_{min} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} u_{i}∥.

In the same spirit we will prove the following extension of the remark after Theorem 1 in [45].

Theorem II.2.5. Let A and B be unital C^{∗}-algebras and S a faithful set of states for A. Let further a_{1}, a_{2}, …, a_{n} be some elements of A with nonnegative alternating mixed moments with respect to S and u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be some unitaries in B whose alternating mixed moments with respect to some state ψ on B are nonnegative. Then

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ u_{i}∥ ≥ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ λ(g_{i})∥.

For the proofs of Theorem II.2.3 and II.2.5 we use the following method to calculate norms.

Proposition II.2.6. Let A and B be unital C^{∗}-algebras. Let Φ : A → B be a faithful unital completely positive contraction. Then we can calculate norms in A as follows: For any x ∈ A we have

∥x∥ = sup_{1≤p<∞} ∥Φ((x^{∗}x)^{p})∥^{\frac{1}{2p}} = lim_{p→∞} ∥Φ((x^{∗}x)^{p})∥^{\frac{1}{2p}} .

As an immediate consequence we get Corollary II.2.7. Let A, A′, B, B′ be C^{∗}-algebras and Φ : A → A′, Ψ : B → B′ faithful completely positive contractions. Suppose that for a ∈ A and b ∈ B we have for all nonnegative integers p

∥Φ((a^{∗}a)^{p})∥ ≥ ∥Ψ((b^{∗}b)^{p})∥

then ∥a∥ ≥ ∥b∥.

Proof of Proposition II.2.6. It suffices to show the claim for x ∈ A positive self-adjoint. The spectrum σ(x) of such an operator is contained in R^{+} and we define probability measures indexed by the unit ball of H and supported on σ(x) as follows. The C^{∗}-algebra generated by x and I in A is commutative and isomorphic to C(σ(x)). We can assume that B is acting on some Hilbert space H. The states on A induced by the unit vectors in H:

ω_{ξ}(a) = ⟨Φ(a)ξ, ξ⟩,

when restricted to C^{∗}(x, I), can be represented as probability measures on C(σ(x)), i.e. there is a measure μ_{ξ} whose support is contained in σ(x) such that

∫_{σ(x)} f dμ_{ξ} = ⟨Φ(f(x))ξ, ξ⟩

for any function f ∈ C(σ(x)) and we claim that

\overline{⋃_{ξ∈H} supp μ_{ξ}} = σ(x). (II.2.1)

Suppose t ∈ σ(x) \ \overline{⋃ supp μ_{ξ}}. Since the left hand side of (II.2.1) is closed, there is some ε > 0 such that S_{ε} = [t − ε, t + ε] ∩ σ(x) is still disjoint from it. Let f be a nonzero continuous positive function supported on S_{ε}. By functional calculus f(x) is a nonzero positive element of A and by definition of μ_{ξ} we have

⟨Φ(f(x))ξ, ξ⟩ = 0 ∀ξ ∈ H

in contradiction to the faithfulness of Φ. Fix ε > 0. We show that sup_{p} ∥Φ(x^{p})∥^{1/p} > (1 − ε) (∥x∥ − ε). To this end choose some ξ ∈ H such that supp μ_{ξ} ∩ [∥x∥ − ε, ∥x∥] is nonempty. Such a ξ exists by (II.2.1). Next choose some integer p such that μ_{ξ}([∥x∥ − ε, ∥x∥])^{\frac{1}{p}} ≥ 1 − ε. It follows that

∥Φ(x^{p})∥^{\frac{1}{p}} ≥ ⟨Φ(x^{p})ξ, ξ⟩^{\frac{1}{p}} = (∫_{σ(x)} t^{p} dμ_{ξ}(t))^{\frac{1}{p}} ≥

≥ (∥x∥ − ε)μ_{ξ}([∥x∥ − ε, ∥x∥])^{\frac{1}{p}} ≥ (∥x∥ − ε)(1 − ε).

Lemma II.2.8. Let A, B, C be C^{∗}-algebras and let Φ : A → B be a faithful completely positive map. Then Φ ⊗ I_{C} : A ⊗_{min} C → B ⊗_{min} C is faithful and completely positive. More generally, if in addition Ψ : C → D is a faithful completely positive map into a C^{∗}-algebra D, then the tensor product Φ ⊗ Ψ : A ⊗_{min} C → B ⊗_{min} D is still faithful.

Proof. We only have to show faithfulness. Let x ∈ A ⊗_{min} C be nonzero. We have to show that Φ ⊗ I_{C}(x^{∗}x) ≠ 0. By [24, Proposition 10] there are states φ ∈ S(A) and ψ ∈ S(C) such that φ ⊗ ψ(x^{∗}x) ≠ 0. In particular, I_{A} ⊗ ψ(x^{∗}x) ≠ 0 and since the latter is still a positive operator, it follows that

(I_{B} ⊗ ψ) ∘ (Φ ⊗ I_{C})(x^{∗}x) = Φ ∘ (I_{A} ⊗ ψ)(x^{∗}x) ≠ 0

and hence Φ ⊗ I_{C}(x^{∗}x) ≠ 0. The other part of the lemma is obvious by composing the faithful maps Φ ⊗ I_{C} and I_{B} ⊗ Ψ.

Proof of Theorem II.2.3: The map

Φ_{S} : A → ℓ_{∞}(S)
x ↦ (φ(x))_{φ∈S}

is completely positive and faithful (see remark II.2.2 and by lemma II.2.8 the same is true for Φ_{S} ⊗ I_{B}, where we write B for B(H), so that we can apply Proposition II.2.6 to compute the norms of the operators x = ∑_{i} a_{i} ⊗ b_{i} and y = ∑_{i} a_{i}. First we observe that

∥(Φ_{S} ⊗ I_{B})((x^{∗}x)^{p})∥ = sup_{φ∈S} ∥(φ ⊗ I_{B})((x^{∗}x)^{p})∥

and the latter can be estimated as follows

\begin{aligned}∥φ ⊗ I_{B}((x^{∗}x)^{p})∥ & = ∥ ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}}) b_{i_{1}}^{∗}b_{j_{1}}b_{i_{2}}^{∗}b_{j_{2}} ⋯ b_{i_{p}}^{∗}b_{j_{p}} ∥ \\ & ≤ ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}}) \\ & = φ (((∑_{i} a_{i})^{∗}(∑_{j} a_{j}))^{p}) \\ & ≤ ∥∑_{i} a_{i}∥^{2p} \end{aligned} (II.2.2)

where we used the assumption that the alternating mixed moments of the a_{i}’s are nonnegative and that the norm of the b_{i}’s is bounded by 1. Since this holds for all positive integers p and for all φ ∈ S, we are done.

Proof of Theorem II.2.5. Let Φ_{S} be as in the proof of theorem II.2.3 x = ∑ a_{i}⊗u_{i} and y = ∑ a_{i} ⊗ λ(g_{i}). Then for any positive integer p we have

∥Φ_{S} ⊗ I_{B}((x^{∗}x)^{p})∥ ≥ ∥Φ_{S} ⊗ ψ((x^{∗}x)^{p})∥ = sup_{φ∈S} |φ ⊗ ψ((x^{∗}x)^{p})| =

= sup_{φ∈S} ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}}) ψ(u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{p}}^{∗}u_{j_{p}})

≥ sup_{φ∈S} ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}}) τ(λ(g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{p}}^{−1}g_{j_{p}}))

= ∥Φ_{S} ⊗ τ((y^{∗}y)^{p})∥

and we can apply corollary II.2.7.

Actually the second part of theorem II.2.3 can be derived from the following more general result.

Theorem II.2.9. Let A be a unital C^{∗}-algebra with a faithful set of states S. Suppose that the operators a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ A have nonnegative alternating mixed moments with respect to all φ ∈ S. Suppose further that u_{1}, u_{2}, …, u_{n} are unitaries such that ∥∑_{i=1}^{n} u_{i}∥ = n. Then

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ u_{i}∥_{min} = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}∥.

We need the following folklore fact.

Lemma II.2.10. If u_{1}, u_{2}, …, u_{n} are unitaries in a C^{∗}-algebra A for which there exist positive real numbers β_{1}, β_{2}, …, β_{n} satisfying

∥∑_{i=1}^{n} β_{i} u_{i}∥ = ∑_{i=1}^{n} β_{i}

then there exists a state φ of A such that for every m ∈ N

φ(u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{m}}^{∗}u_{j_{m}}) = 1 ∀i_{k}, j_{k} = 1, 2, …, n.

Proof. By a compactness argument, there is a state on A such that φ(∑ β_{i}β_{j} u_{i}^{∗}u_{j}) = ∥ ∑ β_{i}β_{j} u_{i}^{∗}u_{j}∥ = ∑ β_{i}β_{j} It follows that φ(u_{i}^{∗}u_{j}) = 1 for all i, j = 1, 2, …, n and by induction on m we have φ(u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{m}}^{∗}u_{j_{m}}) = 1 for any choice of indices i_{k}, j_{k}. Indeed,

|φ(u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{m}}^{∗}u_{j_{m}} − u_{i}^{∗}u_{j}u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{m}}^{∗}u_{j_{m}})| ≤

≤ φ((I − u_{i}^{∗}u_{j})^{∗}(I − u_{i}^{∗}u_{j}))^{1/2} = 0.

Now in the case where u_{i} = λ_{G}(t_{i}) this implies that the trivial representation of the group generated by t_{i}^{−1}t_{j} extends to a representation of the reduced group C^{∗}-algebra, which implies that it is amenable.

Proof of theorem II.2.9. Replacing b_{i} by u_{i}, we can use the same notation as in the proof of theorem II.2.3. Then we apply the preceding lemma and instead of the inequality in (II.2.2) there is equality:

∥φ ⊗ I_{B}((x^{∗}x)^{p})∥ = ∥ ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}}) u_{i_{1}}^{∗}u_{j_{1}}u_{i_{2}}^{∗}u_{j_{2}} ⋯ u_{i_{p}}^{∗}u_{j_{p}} ∥

= ∑_{\begin{matrix}i_{1},i_{2},... ,i_{p} \\ j_{1},j_{2},... ,j_{p} \end{matrix}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}}a_{i_{2}}^{∗}a_{j_{2}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}})

= φ (((∑_{i} a_{i})^{∗}(∑_{j} a_{j}))^{p})

II.3. A Characterization of the Leinert Property

Notation II.3.1. Throughout in this section G will denote a discrete group with unit element e and C_{λ}^{∗}(G) the sub-C^{∗}-algebra of B(ℓ_{2}(G)) generated by its left regular representation λ_{G}. This algebra is equipped with the trace state τ_{G}(X) = ⟨Xδ_{e}, δ_{e}⟩. A subset {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} of G is called free if it generates a copy of F_{n}, the free group on n generators. We shall denote the canonical generators of the free group by {g_{1}, g_{2}, …, g_{n}}. When considering the free group we shall omit the subscript in λ_{F_{n}}. We shall almost exclusively deal with finitely generated groups and repeatedly use the fact that given a generating set {h_{1}, h_{2}, …, h_{n}} for the group G there is a (unique) quotient mapping q : F_{n} → G with q(g_{i}) = h_{i} ∀i ∈ {1, 2, …, n}.

The following proposition collects some results from [30, Lemma 3.1 and Theorem 3]:

Proposition II.3.2. Let {h_{1}, h_{2}, …, h_{n}} be a generating set of the group G and denote by α_{1}, α_{2}, …, α_{n} positive real numbers. Then

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} (λ_{G}(h_{i}) + λ_{G}(h_{i})^{∗})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} ≥ ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} (λ(g_{i}) + λ(g_{i})^{∗})∥_{C_{λ}^{∗}(F_{n})}

Moreover in the case of equal coefficients,

∥∑_{i=1}^{n}(λ_{G}(h_{i}) + λ_{G}(h_{i})^{∗})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = ∥∑_{i=1}^{n}(λ(g_{i}) + λ(g_{i})^{∗})∥_{C_{λ}^{∗}(F_{n})} = 2\sqrt{2n − 1}

if and only if {h_{1}, h_{2}, …, h_{n}} is a free set.

This result has a graph-theoretical interpretation, where the operator in consideration corresponds to the combinatorial Laplacian on the Cayley graph of the group G, see [39] in particular for a generalization of the second statement. However it remained unclear whether the free group can be characterized by the norms of non-selfadjoint operators, and this question will be the subject of this section. The set {g_{1}, g_{1}^{−1}, g_{2}, g_{2}^{−1}, …, g_{n}, g_{n}^{−1}} is only a special case of a Leinert set, a concept which appeared first in [31].

Definition II.3.3 ( [1, Definition III B and Theorem III D]). A subset A = {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} of a discrete group G with unit element e is called Leinert set if it satisfies one of the following equivalent conditions:

• Every sequence t_{i_{1}}, t_{j_{1}}, t_{i_{2}}, t_{j_{2}}, …, t_{i_{m}}, t_{j_{m}} with i_{k}, j_{k} ∈ {1, 2, …, n} such that i_{1} ≠ j_{1} ≠ i_{2} ≠ j_{2} ≠ ⋯ ≠ i_{m} ≠ j_{m} satisfies

t_{i_{1}}^{−1}t_{j_{1}}t_{i_{2}}^{−1}t_{j_{2}} ⋯ t_{i_{m}}^{−1}t_{j_{m}} ≠ e

• The set A can be written as y(B ∪ {e}), where B is a free subset of G and y ∈ G.

The next proposition extends Kesten’s formula for the norm (See also [7] for a weaker version). Simplified proofs can be found in [44] and [60]. For recent examples of Leinert sets in one-relator groups see [10].

Proposition II.3.4 ([1, Theorem IV J]). Let n ≥ 2 and {t_{1}, …, t_{n}} be a Leinert set in a discrete group G. Then

∥∑_{i=1}^{n} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = 2\sqrt{n − 1}

The following lemma and its corollary will play a key rôle in the generalization of Kesten’s result.

Lemma II.3.5 ([16, Lemma 8]). Let μ be a probability measure on R with compact support and suppose

−m = min supp μ < max supp μ = M
μ_{n} = ∫_{R} t^{n} dμ(t) ≥ 0 for all n ∈ N

Then

lim sup_{n→∞}(μ_{n})^{1/n} = M = max(m, M)

Corollary II.3.6 ([30, Lemma 3.2]). For every subset {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} of G and every sequence of positive real numbers α_{0}, α_{1}, …, α_{n} we have

∥α_{0}I + ∑_{i=1}^{n} α_{i} (λ_{G}(t_{i}) + λ_{G}(t_{i})^{∗})∥ = α_{0} + ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} (λ_{G}(t_{i}) + λ_{G}(t_{i})^{∗})∥

and a similar result holds for general unitaries:

∥α_{0}I + ∑_{i=1}^{n} α_{i} (U_{i} ⊗ \overline{U_{i}} + U_{i}^{∗} ⊗ \overline{U_{i}^{∗}})∥ = α_{0} + ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} (U_{i} ⊗ \overline{U_{i}} + U_{i}^{∗} ⊗ \overline{U_{i}^{∗}})∥

Proof. This follows from lemma II.3.5 applied to the probability measure μ on the spectrum of the self-adjoint operator

T = ∑_{i=1}^{n} α_{i} (λ(t_{i}) + λ(t_{i})^{∗})

which is determined by the moments

μ_{n} = τ_{G}(T^{n}).

For the case of general unitaries Û_{i} = U_{i} ⊗ \overline{U_{i}} we refer to [50, Example 5.6] where the following formula is proved: For any finite sequence of operators x_{1}, x_{2}, …, x_{n} on some Hilbert space H we have

(II.3.1)  ∥∑ x_{i} ⊗ \overline{x_{i}}∥_{min} = sup_{y,z∈(S_{2}^{+})_{1}} ∑ tr(x_{i}yx_{i}^{∗}z)

where (S_{2}^{+})_{1} is the intersection of the unit ball of the Hilbert-Schmidt class operators on H with the cone of positive operators. In our case the operator is self-adjoint and we can restrict (II.3.1) to the symmetric part:

∥α_{0} I + ∑_{i=1}^{n} α_{i} (Û_{i} + Û_{i}^{∗})∥_{min} = sup_{y∈(S_{2}^{+})_{1}} tr (α_{0} y^{2} + 2 ∑_{i=1}^{n} Û_{i}yÛ_{i}^{∗}y)

= α_{0} + ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} (Û_{i} + Û_{i}^{∗})∥_{min}

Now we are ready to prove the main result.

Theorem II.3.7. Let G be a discrete group, n ≥ 3 an integer and let t_{1}, t_{2}, …, t_{n} be some elements in G. Then for any sequence α_{1}, α_{2}, …, α_{n} of strictly positive numbers we have

∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(F_{n})}

if and only if {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} is a Leinert set. In particular, this is equivalent to the identity

∥∑_{i=1}^{n} λ_{G}(t_{i})∥_{C_{λ}^{∗}(G)} = 2\sqrt{n − 1}.

Proof. We only have to show the “only if” part and we shall use the method introduced in [30, Theorem 3] (see also [7], where similar methods are used. We are grateful to A. Valette for bringing this article to our attention). Let us compare the norms of the operators

T̃ = ∑_{i=1}^{n} α_{i} λ_{G}(t_{i}) and T = ∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i}).

We can assume that G is generated by the subset {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}}. Suppose that the set {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}} does not have the Leinert property. This means that there is an integer m and a sequence of indices i_{1} ≠ j_{1} ≠ i_{2} ≠ j_{2} ≠ ⋯ ≠ i_{m} ≠ j_{m}, with i_{k}, j_{k} ∈ {1, 2, …, n} and such that

t_{i_{1}}^{−1}t_{j_{1}}t_{i_{2}}^{−1}t_{j_{2}} ⋯ t_{i_{m}}^{−1}t_{j_{m}} = e.

Let g_{1}, g_{2}, …, g_{n} be the generators of the free group F_{n} and let q : F_{n} → G be the quotient mapping associated to the generating set {t_{1}, t_{2}, …, t_{n}}. Taking the same indices as above, set

w := g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{m}}^{−1}g_{j_{m}}.

Since {g_{1}, g_{2}, …, g_{n}} is a Leinert set, the word w does not reduce to the identity in F_{n} but it is in the kernel of q. We can assume without loss of generality that w is cyclically reduced, i.e. j_{m} ≠ i_{1}. For if this is not the case, we can consider the word

g_{i_{m}}^{−1}g_{i_{1}}w g_{i_{1}}^{−1}g_{i_{m}} = g_{i_{m}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{m−1}}^{−1}g_{j_{m−1}}

which is cyclically reduced and still in the kernel of q. Note that it cannot be reduced to the empty word in this way, since the conjugacy class of the latter in F_{n} is trivial. So we can assume for the sake of clarity that i_{1} = 1 and j_{m} = 2. Now consider the elements

w′ = g_{1}^{−1}g_{3} w g_{3}^{−1}g_{1}
w′′ = g_{2}^{−1}g_{3} w g_{3}^{−1}g_{2}

which are both in the kernel of q and have infinite order, because w has, being cyclically reduced. Moreover, they form a free set, since there are no possible cancellations in non-trivial reduced words built out of them. Thus we can apply lemma II.2.10 to the operator

T_{1} = α_{w′} (λ(w′) + λ(w′)^{∗}) + α_{w′′} (λ(w′′) + λ(w′′))^{∗}

and we get

∥T_{1}∥ < 2(α_{w′} + α_{w′′}) (II.3.2)

because the group generated by {w′^{−1}w′′, w′^{2}, w′′^{2}} is not amenable. To compare the norms of T and T̃ we use the identity

∥X∥^{2} = ∥X^{∗}X∥ = ∥(X^{∗}X)^{p}∥^{1/p},

which is a consequence of Gel’fand’s theorem. Thus it suffices to show that for some p

∥(T^{∗}T)^{p}∥ < ∥(T̃^{∗}T̃)^{p}∥

We consider p = m + 2 so that 2p = |w′| = |w′′|. Denote by W_{p}^{alt}(n) the set of all alternating words of length 2p in n generators:

W_{p}^{alt}(n) = {g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{p}}^{−1}g_{j_{p}} : i_{1}, j_{1}, i_{2}, j_{2}, …, i_{p}, j_{p} ∈ {1, 2, …, n}}

Using the notation of (II.1.4) we can write

(T^{∗}T)^{m+2} = ∑_{v∈W_{m+2}^{alt}(n)} α_{v}λ(v)
= T_{0} + T_{1}

where

T_{0} = ∑_{v∈W_{m+2}^{alt}(n)\{w′,w′^{−1},w′′,w′′^{−1}}} α_{v}λ(v)

and T_{1} is the same as above. Obviously, setting

T̃_{0} = ∑_{v∈W_{m+2}^{alt}(n)\{w′,w′^{−1},w′′,w′′^{−1}}} α_{v}λ_{G}(q(v))

we have

(T̃^{∗}T̃)^{m+2} = T̃_{0} + 2(α_{w′} + α_{w′′})I

Observe that T_{0} (and hence T̃_{0}) is selfadjoint with positive coefficients so that we can apply (II.1.2) and Corollary II.3.6 and we get

∥(T^{∗}T)^{m+2}∥ ≤ ∥T_{0}∥ + ∥T_{1}∥ < ∥T̃_{0}∥ + 2(α_{w′} + α_{w′′}) =

= ∥T̃_{0} + 2(α_{w′} + α_{w′′})I∥ = ∥(T̃^{∗}T̃)^{m+2}∥.

Remark II.3.8. Actually in the case of equal coefficients the above proof gives the following quantitative estimate (cf. [30, (4.15)] and [39, Theorem 3.2]): With the notation as in the proof, let m denote the minimal length of a nontrivial word in the kernel of the quotient mapping q. Then

∥T̃∥ ≥ ∥T ∥ + \frac{2(n − 1) − 2\sqrt{2n − 3}}{(2m + 4) n^{2m+3}}.

Indeed, when there are n free generators, we can build a free set {w_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}} in F_{n} by setting w_{i} = g_{i}^{−1}g_{n} w g_{n}^{−1}g_{i} for i ∈ {1, 2, …, n − 1}. Then

∥∑_{i=1}^{n−1} (λ(w_{i}) + λ(w_{i})^{∗})∥ = 2\sqrt{2n − 3}

and by modifying T_{0} and T_{1} (resp. T̃_{0} and T̃_{1} appropriately, we have the inequality

∥T̃∥^{2(m+2)} ≥ ∥T ∥^{2(m+2)} + 2(n − 1) − 2\sqrt{2n − 3}.

Now a simple convexity argument and the fact that ∥T̃∥ ≤ n yields the claim.

The following corollary gives a characterization of the free group in terms of the norms operators in the reduced C^{∗}-algebra. Note that the free group cannot be characterized by the spectrum of the sum of the generators, as shown in [17, sect.4].

Corollary II.3.9. Let G be a discrete group and S = {t_{0} = e, t_{1}, …, t_{n}} be a generating subset with n ≥ 2. Then

2\sqrt{n} ≤ ∥∑_{i=0}^{n} λ_{G}(t_{i})∥

with equality if and only if G is the free group on n generators.

A similar proof yields the following result about unitaries which do not necessarily arise from a regular representation of a discrete group, as for example in [33].

Theorem II.3.10. Let U_{1}, …, U_{n} be unitary operators acting on some Hilbert space H and suppose

∥∑_{i=1}^{n} U_{i} ⊗ \overline{U_{i}}∥_{min} = 2\sqrt{n − 1}

Then for all products of the form V = U_{i_{1}}^{−1}U_{j_{1}}U_{i_{2}}^{−1}U_{j_{2}} ⋯ U_{i_{m}}^{−1}U_{j_{m}} with i_{1} ≠ j_{1} ≠ i_{2} ≠ j_{2} ≠ … ≠ i_{m} ≠ j_{m} we have

∥V ⊗ \overline{V} − I∥ ≥ 1

Proof. To simplify notation we use the unitary representation

π̂ = π ⊗ \overline{π} : F_{n} → B(H ⊗_{2} \overline{H})

which we already introduced in proposition II.1.4 and which maps the generators g_{i} to the corresponding unitaries Û_{i} = U_{i} ⊗ \overline{U_{i}}. Now let

v_{0} = g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{m}}^{−1}g_{j_{m}}

be a word as in the claim and set V̂ = π̂(v_{0}) = V ⊗ \overline{V}. We can assume v_{0} to be cyclically reduced, because ∥V̂ − I∥ = ∥W V̂ W^{−1} − I∥ for any unitary W and in the case v_{0} is not cyclically reduced, we can take a cyclically reduced one in its conjugacy class. We can of course assume that i_{1} = 1 and j_{m} = 2. Now for the cyclically reduced word v_{0} the set

F_{k} = {(g_{1}^{−1}g_{3})^{r} v_{0} (g_{1}^{−1}g_{3})^{−r} : r = 1, 2, …, k}

is a free set and we can do the same estimate as in the above proof. Setting T = ∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) as above and T̂ = ∑_{i=1}^{n} Û_{i} we can identify F_{k} with some subset of the set of unreduced words W_{m+2k}^{alt}(n), e.g. the set {(g_{1}^{−1}g_{3})^{r}v_{0}(g_{1}^{−1}g_{3})^{−r}(g_{1}^{−1}g_{1})^{k−r} : r = 1, 2, …, k}, and we get

∥(T^{∗}T)^{m+2k}∥ = ∥ ∑_{v∈W_{m+2k}^{alt}(n)} λ(v)∥

≤ ∥ ∑_{v∈W_{m+2k}^{alt}(n)\(F_{k}∪F_{k}^{−1})} λ(v)∥ + ∥∑_{v∈F_{k}} λ(v) + λ(v)^{∗}∥

≤ ∥ ∑_{v∈W_{m+2k}^{alt}(n)\(F_{k}∪F_{k}^{−1})} π̂(v)∥ + 2 \sqrt{2k − 1}.

The last inequality follows from (II.1.2) and proposition II.3.4. We can now apply Corollary II.3.6 to the first term on the right hand side and we obtain

∥(T^{∗}T)^{m+2k}∥ ≤ ∥  ∑_{v∈W_{m+2k}^{alt}(n)\(F_{k}∪F_{k}^{−1})} π̂(v) + ∑_{v∈F_{k}} 2I∥ + 2 \sqrt{2k − 1} − 2k

≤ ∥ ∑_{v∈W_{m+2k}^{alt}(n)} π̂(v)∥ + ∥∑_{v∈F_{k}} 2I − π̂(v) − π̂(v)^{∗}∥ + 2 \sqrt{2k − 1} − 2k

≤ ∥(T̂^{∗}T̂)^{m+2k}∥ + 2k ∥π̂(v_{0}) − I∥ + 2 \sqrt{2k − 1} − 2k

This together with the assumption ∥T ∥ = ∥T̂∥ yields

∥V̂ − I∥ ≥ 1 − \frac{\sqrt{2k − 1}}{k}

and since this holds for all k, the proof is complete.

Remark II.3.11. There is a connection to the paper of V. Flory, “Estimating norms in C^{∗}-algebras of discrete groups”, Math. Ann. 224 (1976) 41–52. Using our results, Theorem 8 in the latter paper can be sharpened for finite sets as follows. Let G be a discrete group and E ⊂ G a finite subset. Theorem 8 can be sharpened for finite subsets as follows. Define for K ⊂ G the Leptin constant ω(K) = inf \{\frac{#(KU)}{#(U)} : ∅ ≠ U ⊂ G finite\}. Then the following are equivalent.

1. E has the Leinert property.

2. For every y ∈ E the set {y^{−1}x : x ∈ E and x ≠ y} is a free subset of G.

3. ω(E) = #(E) − 1.

II.4. A Counterexample.

In this section we exhibit an example showing that there actually can occur strict inequality in Corollary II.2.4 and that Conjectures II.0.23 and II.0.24 are false.

Theorem II.4.1. For every positive integer r there are unitaries u_{1}, u_{2}, …, u_{r} such that

∥∑_{i=1}^{r}(u_{i} ⊗ \overline{u_{i}} + u_{i}^{∗} ⊗ \overline{u_{i}^{∗}})∥ = 2\sqrt{2r − 1}

and

∥∑_{i=1}^{r}(u_{i} + u_{i}^{∗})∥ > 2\sqrt{2r − 1}

Remark II.4.2. Note that this is a nontrivial example of equality in Haagerup’s Cauchy-Schwarz inequality for operators (cf. [25, Lemma 2.4]), which reads

∥∑_{i} a_{i} ⊗ \overline{b_{i}}∥ ≤ ∥∑_{i} a_{i} ⊗ \overline{a_{i}}∥^{1/2}∥∑_{i} b_{i} ⊗ \overline{b_{i}}∥^{1/2}.

Indeed, taking a_{i} = u_{i} from theorem II.4.1 and b_{i} = λ(g_{i}) there is equality.

Proof. We shall consider the unitary representations of the free group on r generators associated to the Haagerup functions x ↦ t^{|x|} as realized in [52]. We need the series of unitary representations π_{t} presented there which is indexed by t ∈]0, 1[ and which is defined on the canonical basis of ℓ_{2}(F_{r}) as follows. Every x ∈ F_{r} different from the neutral element e can be represented as a reduced word in the generators g_{1}, g_{2}, …, g_{r} and their inverses. Denote by x̄ the word obtained by removing the last letter, so that |x̄| = |x| − 1 and define the operator P on ℓ_{2}(F_{r}) by P δ_{x} = δx̄ and P δ_{e} = 0. Then the Pytlik-Szwarc representations act as follows on ℓ_{2}(F_{r}). First we consider the unit vector δ_{e}, where we define

π_{t}(x)δ_{e} = t^{|x|} δ_{e} + ∑_{k=0}^{|x|−1} t^{k} \sqrt{1 − t^{2}} P^{k}δ_{x} (II.4.1)

This implicitly defines π_{t}(x) on the other basis vectors δ_{y} = \frac{1}{\sqrt{1−t^{2}}} (π_{t}(y)δ_{e} − t π_{t}(ȳ)δ_{e}) for y ≠ e, namely

π_{t}(x)δ_{y} = \frac{1}{\sqrt{1 − t^{2}}} (π_{t}(xy)δ_{e} − t π_{t}(xȳ)δ_{e}).

In particular, δ_{e} is a cyclic vector and the matrix coefficients

⟨π_{t}(x)δ_{y}, δ_{z}⟩ = \frac{1}{1 − t^{2}} ⟨(π(z^{−1}) − tπ(z̄^{−1}))(π(xy) − tπ(xȳ))δ_{e}, δ_{e}⟩
= \frac{t^{|z^{−1}xy|} − t^{1+|z̄^{−1}xy|} − t^{1+|z^{−1}xȳ|} + t^{2+|z̄^{−1}xȳ|}}{1 − t^{2}}

are all of the order ψ_{t}(x) = t^{|x|}. We can calculate the ℓ_{p}-norm of the latter as follows. It is easy to see that the number of words of length n in F_{r} is 2r (2r − 1)^{n−1} for n ≥ 1, so that

∥ψ_{t}∥_{p}^{p} = ∑_{x∈F_{r}} t^{p|x|} = 1 + ∑_{n=1}^{∞} 2r (2r − 1)^{n−1}t^{np} = 1 + \frac{2r}{2r − 1} ∑_{n=1}^{∞} (t^{p} (2r − 1))^{n} , (II.4.2)

which is finite if and only if t < (2r −1)^{−1/p}. Now the proof of [13, Theorem 1] shows that any unitary representation π of a discrete group G whose matrix coefficients with respect to a cyclic subset of vectors are in ℓ_{2+ε}(G) for arbitrary positive ε is weakly contained in the left regular representation λ. This means that for any function f of finite support the inequality

∥π(f)∥ ≤ ∥λ(f)∥ (II.4.3)

holds. Formula (II.4.2) shows that for t ≤ \frac{1}{\sqrt{2r−1}} the representation π_{t} is weakly contained in the left regular representation of the F_{r}. However, this is not true for t > \frac{1}{\sqrt{2r−1}}. In [57, Theorem 5] it is shown that the spectrum of the operator π_{t}(χ_{1}) = ∑(π_{t}(g_{i}) + π_{t}(g_{i}^{−1})) is the set [−2\sqrt{2r − 1}, 2\sqrt{2r − 1}] ∪ \{(2r − 1)t + \frac{1}{t}\}, which for t > \frac{1}{\sqrt{2r−1}} is different from spec(λ(χ_{1})) = [−2\sqrt{2r − 1}, 2\sqrt{2r − 1}]. For completeness we shall give an elementary proof of the inequality

∥π_{t}(χ_{1})∥ ≥ (2r − 1)t + \frac{1}{t}

using the method of [44]. We shall exhibit a family of vectors (ξ_{t,α})_{α<α_{0}} ⊆ ℓ_{2}(F_{r}) such that

lim_{α→α_{0}} \frac{∥π_{t}(χ_{1})ξ_{t,α}∥}{∥ξ_{t,α}∥} = (2r − 1)t + \frac{1}{t}

for t > \frac{1}{\sqrt{2r−1}}. Denote by χ_{n} the characteristic function of the words of length n on F_{r}. We define

ξ_{t,α} = ∑_{n=0}^{∞} α^{n}π_{t}(χ_{n})δ_{e}

or equivalently, using formula (II.4.1),

ξ_{t,α}(e) = \frac{2r}{(2r − 1)(1 − (2r − 1)αt)}
ξ_{t,α}(x) = \frac{\sqrt{1 − z^{2}}}{1 − (2r − 1)αt} α^{|x|} for x ≠ e.

In particular, setting α_{0} = min \{\frac{1}{\sqrt{2r−1}}, \frac{1}{(2r−1)t}\} , we have

∥ξ_{t,α}∥_{2} < ∞ for α < α_{0}
(II.4.4)  lim_{α→α_{0}} ∥ξ_{t,α}∥_{2} = ∞,

and the relations

π_{t}(χ_{1}) π_{t}(χ_{1}) = π_{t}(χ_{2}) + 2r I
π_{t}(χ_{1}) π_{t}(χ_{n}) = π_{t}(χ_{n+1}) + (2r − 1) π_{t}(χ_{n−1})

imply

π_{t}(χ_{1}) ξ_{t,α} = ((2r − 1)α + \frac{1}{α}) ξ_{t,α} + (α − \frac{1}{α}) δ_{e},

i.e. ξ_{t,α} is almost an eigenvector. Hence by (II.4.4)

lim_{α→α_{0}} \frac{∥π_{t}(χ_{1}) ξ_{t,α}∥_{2}}{∥ξ_{t,α}∥_{2}} = (2r − 1)α_{0} + \frac{1}{α_{0}} .

Now observe that the function α ↦ (2r − 1)α + \frac{1}{α} defined on the positive real axis attains its unique minimum at \frac{1}{\sqrt{2r−1}}, taking the value 2\sqrt{2r − 1} there, and that for t > \frac{1}{\sqrt{2r−1}} the radius of convergence of ξ_{t,α} becomes α_{0} = \frac{1}{(2r−1)t}, and thus

∥π_{t}(χ_{1})∥ ≥ \frac{1}{t} + (2r − 1) t > 2\sqrt{2r − 1}.

This will actually yield our counterexample. Consider the representation π_{t} ⊗ \overline{π_{t}}. The elementary matrix coefficients

⟨(π_{t}(x) ⊗ \overline{π_{t}(x)}) δ_{y} ⊗ \overline{δ_{y′}}, δ_{z} ⊗ \overline{δ_{z′}}⟩

are of the order t^{2|x|} and hence π_{t} ⊗\overline{π_{t}} is weakly contained in λ for t ≤ \frac{1}{\sqrt[4]{2r−1}}. Thus taking t = \frac{1}{\sqrt[4]{2r−1}} we get

∥π_{t}(χ_{1})∥ = \sqrt{2r − 1} (\frac{1}{\sqrt[4]{2r − 1}} + \sqrt[4]{2r − 1}) > 2\sqrt{2r − 1} = ∥(π_{t} ⊗ \overline{π_{t}}) (χ_{1})∥ .

II.5. Unitaries with nonnegative alternating mixed moments

In this section we derive some estimates for norms of sums of operators with nonnegative mixed moments, in particular unitaries. The methods are combinatorial. There is still hope to prove the following conjecture.

Conjecture II.5.1. Let u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be some unitaries with nonnegative alternating mixed moments with respect to a faithful set of states and such that

∥∑_{i=1}^{n} u_{i}∥ = 2\sqrt{n − 1}

then the linear space spanned by u_{1}, u_{2}, …, u_{n} is (completely) isometric to the space spanned by λ(g_{1}), λ(g_{2}), …, λ(g_{n}).

We begin with an elementary Perron-Frobenius type proposition.

Proposition II.5.2. Let A be a C^{∗}-algebra with a faithful set of states S and let a and b be elements of A.

1. If a and b have nonnegative alternating mixed moments with respect to S, then ∥a + b∥ ≥ ∥a∥.

2. If a is self-adjoint and has nonnegative moments with respect to S, then ∥a∥ ∈ σ(a).

Proof. The first assertion follows from Corollary II.2.7 applied to the faithful completely positive map Φ_{S} : A → l_{∞}(S) which sends x to (φ(x))_{x∈S}. For the second assertion note that a slight modification of the argument of the proof of Proposition II.2.6 yields the following result. Denote for each φ ∈ S the unique measure on σ(a) satisfying

φ(f(a)) = ∫_{σ(a)} f dμ_{φ}

for every f ∈ C(σ(a)). Then by the faithfulness of the family S we have

\overline{⋃_{φ∈S} supp μ_{φ}} = σ(a)

and applying lemma II.3.5 to each μ_{φ} yields

∥a∥ = sup_{φ∈S} max{| min supp μ_{φ}|, | max supp μ_{φ}|} = sup_{φ∈S} max supp μ_{φ} ∈ σ(a).

Taking a and b orthogonal projections shows that we cannot have strict inequality in general; however, if b in the last proposition is unitary, we can get a quantitative estimate.

Theorem II.5.3. Let A be a C^{∗}-algebra. Suppose that a, u ∈ A have nonnegative alternating mixed moments with respect to a faithful set of states and that u is unitary. Then

∥a + u∥ ≥ \frac{1}{2} (∥a∥ + \sqrt{∥a∥^{2} + 4}) . (II.5.1)

Remark II.5.4. Observe that the inequality ∥a + u∥ ≥ \sqrt{∥a∥^{2} + 4} would imply with the assumptions of Conjecture II.5.1 (by induction) that ∥ ∑_{1}^{m} u_{i}∥ = 2\sqrt{m − 1} for all 2 ≤ m ≤ n; however, inequality (II.5.1) is asymptotically best possible as a → 0.

We will need a combinatorial lemma.

Lemma II.5.5. Let β(p, k) = the number of possibilities to pick k disjoint pairs of consecutive numbers out of \{1, 2, …, 2p\}. Then β(p, k) = \binom{2p−k}{k} for 1 ≤ k ≤ p and the generating function is given by the formula

F (x, y) = ∑_{p=1}^{∞} ∑_{k=1}^{p} β(p, k) x^{p} y^{k} = \frac{xy(xy − x − 1)}{(x − 1)(x^{2}y^{2} − 2xy − x + 1)}.

Proof. There is a one to one correspondence between choices of k pairs out of a line 2p points and choices of k points out of a line of 2p − k points. Hence β(p, k) = \binom{2p−k}{k}. To get a recursion for these numbers we use the following notation.

β^{0}(p, k) = # choices such that the first point is part of a pair.

β^{1}(p, k) = # choices such that the first point is free. Then after prepending two more points we obtain the following recursion:

β^{0}(p + 1, k) = β(p, k − 1)
β^{1}(p + 1, k) = β(p, k) + β^{1}(p, k − 1).

Setting

F^{i}(x, y) = ∑_{p=1}^{∞} ∑_{k=1}^{p} β^{i}(p, k) x^{p} y^{k}

for i = 1, 2 we have F (x, y) = F^{0}(x, y) + F^{1}(x, y) and the claim follows after solving the equations

F^{0}(x, y) = xy (\frac{1}{1 − x} + F (x, y))
F^{1}(x, y) = x (\frac{xy}{1 − x} + F (x, y) + y F^{1}(x, y)) .

Proof of Theorem II.5.3. We use Proposition II.2.6 to calculate the norm. To this end for each state φ in the faithful family we estimate

m_{p} = φ (((a + u)^{∗}(a + u))^{p})

in terms of the moments

α_{p} = φ((a^{∗}a)^{p})

as follows. Set a_{1} = a and a_{2} = u, then

m_{p} = ∑_{i_{1},j_{1},... ,i_{p},j_{p}∈{1,2}} φ(a_{i_{1}}^{∗}a_{j_{1}} ⋯ a_{i_{p}}^{∗}a_{j_{p}})

Now we collect all the terms where no u remains after cancelling out uu^{∗} and u^{∗}u wherever possible. There are exactly β(p, p−k) terms such that (a^{∗}a)^{k} remains. By the positiveness of the remaining moments we get

m_{p} ≥ α_{p} + ∑_{k=1}^{p} β(p, k) α_{p−k}.

We define the moment generating functions

G_{a}(z) = ∑_{p=0}^{∞} α_{p} z^{2p} G_{a+u}(z) = ∑_{p=0}^{∞} m_{p} z^{2p}

and

G̃_{a+u}(z) = ∑_{p=0}^{∞} (α_{p} + ∑_{k=1}^{p} β(p, k) α_{p−k}) z^{2p}.

The radius of convergence of G_{a+u} is \frac{1}{∥a+u∥}, and by Pringsheim’s theorem [34, Theorem 17.13] it is smaller than r̃, the radius of convergence of G̃_{a+u}, which we shall estimate from above in terms of ∥a∥. This will yield a lower bound for ∥a + u∥. Now we have

G̃_{a+u}(z) = G_{a}(z) + ∑_{k=0}^{∞} ∑_{p=k+1}^{∞} β(p, p − k) α_{k} z^{2p}.

The sum ∑_{k=1}^{∞} β(p, p − k) z^{2p} can actually be calculated. Putting

F_{q}(ζ, z) = \frac{1}{ζ^{q}} F (ζ z^{2}, \frac{1}{ζ}) = ∑_{p=1}^{∞} ∑_{k=1}^{p} β(p, k) ζ^{p−k−q} z^{2p}

and applying Cauchy’s integral formula we have

\frac{1}{2πi} ∮ F_{q}(ζ, z)\frac{dζ}{ζ} = ∑_{p=1}^{∞} ∑_{\begin{matrix}k \\ p−k−q=0 \end{matrix}} β(p, k) z^{2p} = ∑_{p=1}^{∞} β(p, p − q) z^{2p};

on the other hand,

F_{k}(ζ, z) = \frac{1}{ζ^{k}} \frac{z^{2}(z^{2} − z^{2}ζ − 1)}{(z^{2}ζ − 1)(z^{4} − 2z^{2} − z^{2}ζ + 1)}

= \frac{1}{ζ^{k}} (\frac{1 − z^{2}}{(1 − z^{2})^{2} − z^{2}ζ} − \frac{1}{1 − z^{2}ζ} )

= \frac{1}{ζ^{k}} (\frac{1}{1 − z^{2}} ∑_{m=0}^{∞} (\frac{z^{2}}{(1 − z^{2})^{2}} ζ)^{m} − ∑_{m=0}^{∞}(z^{2}ζ)^{m})

and hence

\frac{1}{2πi} ∮ F_{k}(ζ, z)\frac{dζ}{ζ} = \frac{1}{1 − z^{2}} (\frac{z^{2}}{(1 − z^{2})^{2}} ζ)^{k} − z^{2k} = z^{2k} (\frac{1}{(1 − z^{2})^{2k+1} − 1} − 1) .

Now the radius of convergence of second summand in

G̃_{a+u}(z) = G_{a}(z) + ∑_{k=0}^{∞} α_{k} z^{2k} (\frac{1}{(1 − z^{2})^{2k+1}} − 1)

is determined by

lim sup_{k→∞} (α_{k} |z|^{2k} (\frac{1}{(1 − z^{2})^{2k+1}} − 1))^{1/2k} ≤ 1

i.e.

∥a∥ |z| ≤ 1 − |z|^{2}

and hence

r̃ ≤ min \{\frac{1}{∥a∥}, \frac{\sqrt{∥a∥^{2} + 4} − ∥a∥}{2}\};

this implies

∥a + u∥ ≥ max \{∥a∥, \frac{1}{2} (∥a∥ + \sqrt{∥a∥^{2} + 4})\} .

Remark II.5.6. Assuming that the states in consideration are tracial does not improve the estimate; indeed, the combinatorics in this case are given by the numbers β̃(p, k) of possibilities to choose k pairs out of a circle of 2p points. Similar to Lemma II.5.5 one can see that β̃(p, k) = \binom{2p−k}{k} + \binom{2p−k−1}{k−1} ≤ 2\binom{2p−k}{k} and asymptotically this is of the same order.

If a is the sum of unitaries there are far more cancellations and we can get a better estimate. In order to do this we will do an analysis of radial functions associated to the operator ∑ λ(g_{i}) which is quite similar to the theory of radial functions on free groups (cf. [11], [12] and [51]). Instead of calculating the norm of T = ∑ u_{i} directly, we shall consider the operator T^{∗}T − nI = ∑_{i≠j} u_{i}^{∗}u_{j}. This leads to the following definition.

Definition II.5.7. On the free group F_{n} we set for k > 0

Ẽ_{k}^{(n)} = {g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{k}}^{−1}g_{j_{k}} : i_{1} ≠ j_{1} ≠ i_{2} ≠ … ≠ i_{k} ≠ j_{k}}

and Ẽ_{0}^{(n)} = {e}; we denote by

χ̃_{k}^{(n)} = χẼ_{k}^{(n)}

its characteristic function.

The next proposition is the analogue of [11, Theorem 1].

Proposition II.5.8. The functions χ̃_{k}^{(n)} satisfy the following convolution identities.

(II.5.2a)  χ̃_{0}^{(n)} ∗ χ̃_{k}^{(n)} = χ̃_{k}^{(n)}
(II.5.2b)  χ̃_{1}^{(n)} ∗ χ̃_{1}^{(n)} = χ̃_{2}^{(n)} + (n − 2)χ̃_{1}^{(n)} + n(n − 1)χ̃_{0}^{(n)}
(II.5.2c)  χ̃_{1}^{(n)} ∗ χ̃_{k}^{(n)} = χ̃_{k+1}^{(n)} + (n − 2)χ̃_{k}^{(n)} + (n − 1)^{2}χ̃_{k−1}^{(n)} for k ≥ 2

Proof. Since (II.5.2a) is trivial we begin by showing (II.5.2b). We expand the product and split it as follows:

χ̃_{1}^{(n)} ∗ χ̃_{1}^{(n)} = ∑_{i_{1}≠j_{1}} ∑_{i_{2}≠j_{2}} g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}}

= ∑_{i_{1}≠j_{1}≠i_{2}≠j_{2}} g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} + ∑_{i_{1}≠j_{1}≠j_{2}} g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{2}}

(the sums run over all indices appearing under the ∑ sign which satisfy the indicated relations; sums of group elements are performed in the group algebra CG). In the second sum, for fixed i_{1}, j_{2}, g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{2}} appears once for every j_{1} ∉ {i_{1}, j_{2}}, that is (n − 2) times if i_{1} ≠ j_{2} and (n − 1) times if i_{1} = j_{2}. In the latter case there is one more cancellation and we get n(n − 1)χ̃_{0}^{(n)} and hence (II.5.2b). We can treat (II.5.2c) similarly; namely,

χ̃_{1}^{(n)} ∗ χ̃_{k}^{(n)} = ∑_{i≠j} ∑_{\begin{matrix}i_{1}≠j_{1}≠... \\ ...≠i_{k}≠j_{k} \end{matrix}} g_{i}^{−1}g_{j}g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{k}}^{−1}g_{j_{k}}

= ∑_{\begin{matrix}i≠j≠i_{1}≠j_{1}≠... \\ ...≠i_{k}≠j_{k} \end{matrix}} g_{i}^{−1}g_{j}g_{i_{1}}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{k}}^{−1}g_{j_{k}} + ∑_{\begin{matrix}i≠j≠j_{1}≠... \\ ...≠i_{k}≠j_{k} \end{matrix}} g_{i}^{−1}g_{j_{1}}g_{i_{2}}^{−1}g_{j_{2}} ⋯ g_{i_{k}}^{−1}g_{j_{k}}.

In the last summand for g_{i}^{−1}g_{j_{1}} appears (n − 2) times if i ≠ j_{1} and (n − 1) times if i = j_{j}. Contrary to the case k = 2, there is the additional condition j_{1} ≠ i_{2}, thus (II.5.2c) holds.

Similar to [11] the following corollary is an immediate consequence of the relations (II.5.2a) – (II.5.2c).

Corollary II.5.9. 1. There are polynomials P_{k}^{(n)} of degree k such that

P_{k}^{(n)}(χ̃_{1}^{(n)}) = χ̃_{k}^{(n)}; (II.5.3a)

they satisfy the relations

P_{0}^{(n)}(x) = 1 P_{1}^{(n)}(x) = x P_{2}^{(n)}(x) = x^{2} − (n − 2)x − n(n − 1) (II.5.3b)

P_{k+1}^{(n)}(x) = (x − n + 2)P_{k}^{(n)}(x) − (n − 1)^{2}P_{k−1}^{(n)}(x) for k ≥ 2. (II.5.3c)

2. Conversely there are coefficients b_{k,p}^{(n)} such that

(χ̃_{1}^{(n)})^{p} = ∑_{k=0}^{p} b_{k,p}^{(n)}χ̃_{k}^{(n)}; (II.5.4a)

they satisfy the relations

(II.5.4b)  b_{0,p+1}^{(n)} = n(n − 1)b_{1,p}^{(n)}
(II.5.4c)  b_{k,p+1}^{(n)} = b_{k−1,p}^{(n)} + (n − 2)b_{k,p}^{(n)} + (n − 1)^{2}b_{k+1,p}^{(n)}

and their generating function is given by

F̃^{(n)}(x, z) = ∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{k,p}^{(n)} x^{k}z^{p} = \frac{(\frac{(n−1)^{2}z}{x} − (n − 2)z + \frac{1}{n}) F̃_{0}^{(n)}(z) + 1 − \frac{1}{n}}{1 − (x + n − 2 + \frac{(n−1)^{2}}{x} ) z} (II.5.5)

where

F̃_{0}^{(n)}(z) = ∑_{p=0}^{∞} b_{0,p}^{(n)}z^{p} = \frac{2 − n + n\sqrt{\frac{1−(3n−4)z}{1+nz}}}{2(1 − n(n − 1)z)}

Proof. The recursions (II.5.3b-c) and (II.5.4b-c) follow readily from (II.5.2). As for the generating function, note that b_{0,p}^{(n)} = τ(λ(χ̃_{1}^{(n)})^{p}). The generating function of this sequence can be easily deduced from the computations of [60]. Denoting the moment generating function of an operator T in a finite von Neumann algebra with respect to a trace τ by F_{T} (z) = ∑_{k=0}^{∞} τ(T^{k})z^{k} = τ((I − zT)^{−1}), it is easy to deduce from [60, Theorem 2] that the moment generating function of ∑_{i,j=1}^{n} λ(g_{i}^{−1}g_{j}) = nI + χ̃_{1}^{(n)} is

F_{nI+λ(χ̃_{1}^{(n)})} = \frac{2 − n + n\sqrt{1 + 4z − 4nz}}{2(1 − n^{2}z)} . (II.5.6)

Now considering the moment generating function of a translation of T by a multiple of the identity:

F_{T +αI}(z) = τ(((1 − zα)I − zT )^{−1}) = \frac{1}{1 − zα}F_{T} (\frac{z}{1−zα})

formula (II.5.5) is an immediate consequence of (II.5.6).

Actually it will be convenient to work with translations of the polynomials P_{k}^{(n)} by a fixed difference.

Proposition II.5.10. The polynomials Q_{k}^{(n)}(x) = P_{k}^{(n)}(x + n − 2) fulfill the following properties.

1. The recursion

Q_{0}^{(n)}(x) = 1 Q_{1}^{(n)}(x) = x + n − 2 Q_{2}^{(n)}(x) = x^{2} + (n − 2)x − n(n − 1) (II.5.7a)

Q_{k+1}^{(n)}(x) = xQ_{k}^{(n)}(x) − (n − 1)^{2}Q_{k−1}^{(n)}(x) for k ≥ 2; (II.5.7b)

2. the inequalities

Q_{k+1}^{(n)}(x) ≥ (n − 1)Q_{k}^{(n)}(x) ≥ 0 for x ≥ 2(n − 1) (II.5.8a)

Q_{k+1}^{(n)′}(x) ≥ (n − 1)Q_{k}^{(n)′}(x) for x ≥ 2(n − 1); (II.5.8b)

3. there is a constant C depending only on n such that for 2(n − 1) ≤ x ≤ n^{2} − 2n + 2 we have

\begin{aligned}Q_{k}^{(n)}(x) & = \frac{n + 2 − \frac{x}{n−1}}{\sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}} ((\frac{x + \sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}}{2} )^{k} − (\frac{x − \sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}}{2} )^{k}) \\ & + \frac{n}{n − 1} ((\frac{x + \sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}}{2} )^{k+1} − (\frac{x − \sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}}{2} )^{k+1}) \\ & ≥ C (\frac{x + \sqrt{x^{2} − 4(n − 1)^{2}}}{2} )^{k} . \end{aligned} (II.5.9)

Proof. The recursions (II.5.7a) and (II.5.7b) are immediate consequences of (II.5.3b) and (II.5.3c). The inequalities (II.5.8a) and (II.5.8b) follow by induction. We only prove (II.5.8a), which for k = 0 is obvious; we even have Q_{1}^{(n)}(x) ≥ n for x in the indicated range. The case k = 2 now follows easily:

Q_{2}^{(n)}(x) = xQ_{1}^{(n)}(x) − n(n − 1)
= (n − 1)Q_{1}^{(n)}(x) + (x − (n − 1))Q_{1}^{(n)}(x) − n(n − 1)
≥ (n − 1)Q_{1}^{(n)}(x) + (n − 1)(Q_{1}^{(n)}(x) − n)
≥ (n − 1)Q_{1}^{(n)}(x);

similarly, for k ≥ 2, using (II.5.7b), we get

Q_{k+1}^{(n)}(x) = xQ_{k}^{(n)}(x) − (n − 1)^{2}Q_{k−1}^{(n)}(x)
= 2(n − 1)Q_{k}^{(n)}(x) + (n − 1)^{2}Q_{k−1}^{(n)}(x)
≥ (n − 1)Q_{k}^{(n)}(x) + (n − 1)(Q_{k}^{(n)}(x) − (n − 1)Q_{k−1}^{(n)}(x)
≥ (n − 1)Q_{k}^{(n)}(x)

Similarly one can prove (II.5.8b). The general formula for the solution of the recurrence relation

a_{n+1} = αa_{n} − βa_{n−1}, (II.5.10)

has the form (cf. [11, Proposition 2])

a_{n} = λA_{n} + μA_{n+1}

where λ, μ ∈ C and A_{n} = a_{+}^{n} − a_{−}^{n} with

a_{±} = \frac{α ± \sqrt{α^{2} − 4β}}{2}

is the basic solution of (II.5.10) for α^{2} − 4β ≠ 0. The formula (II.5.9) follows from this by determining λ and μ from Q_{1}^{(n)} and Q_{2}^{(n)}.

Now we are ready to prove a strengthened version of Theorem II.5.3 for sums of unitaries.

Theorem II.5.11. Let u_{1}, u_{2}, …, u_{n} be unitaries in a C^{∗}-algebra A with nonnegative alternating mixed moments with respect to a faithful set of states. For 2 ≤ m ≤ n we denote T_{m} = ∑_{1}^{m} u_{i}, y_{m} = ∥T_{m}∥^{2} − 2(m − 1), and

w_{m} = y_{m} + \sqrt{y_{m}^{2} − 4(m − 1)^{2}} = ∥T_{m}∥^{2} − 2(m − 1) + ∥T_{m}∥\sqrt{∥T_{m}∥^{2} − 4(m − 1)}

60 II. FREE GROUP

Then

w_{m} ≤ w_{n}

Remark II.5.12. In particular, if u_{1}, u_{2}, …, u_{n} are as above and ∥∑_{1}^{n} u_{i}∥ = 2\sqrt{n − 1} then ∥∑_{1}^{m} u_{i}∥ ≤ 2\sqrt{m − 1 + \frac{(n−m)^{2}}{4(n−1)}} .

Proof. We introduce some additional notation. Denote π the representation of the free group F_{n} which is uniquely determined by the requirement π(g_{i}) = u_{i}. Further for 1 ≤ m ≤ n denote α_{m} = ∥T_{m}∥, x_{m} = ∥π(χ̃_{1}^{(m)})∥ = ∥T_{m}^{∗}T_{m} − mI∥ = α_{m}^{2} − m and y_{m} = x_{m} − m + 2 = α_{m}^{2} − 2(m − 1). Then the radius of convergence of the power series

∑_{p=0}^{∞} π(χ̃_{1}^{(n)})^{p} z^{p}

with values in A is _{\frac{1}{∥π(χ̃_{1}^{(n)})∥}}. We will obtain a lower bound for this in terms of ∥π(χ̃_{1}^{(n)})∥. Indeed, for t > 0 we get

∥∑_{p=0}^{∞} π(χ̃_{1}^{(n)})^{p} t^{p}∥ = ∥∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} π(χ̃_{k}^{(n)}) t^{p}∥  by (II.5.4a)
≥ ∥∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} π(χ̃_{k}^{(m)}) t^{p}∥  by Proposition II.5.2 (1.)
= ∥∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} P_{k}^{(m)}(π(χ̃_{1}^{(m)})) t^{p}∥  by (II.5.3a)
≥ ∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} P_{k}^{(m)}(x_{m}) t^{p}  by Proposition II.5.2 (2.)

= ∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} Q_{k}^{(m)}(y_{m}) t^{p}

≥ C ∑_{p=0}^{∞} ∑_{k=0}^{p} b_{kp}^{(n)} (\frac{w_{m}}{2} )^{k} t^{p}  by (II.5.9)
= CF̃^{(n)} (\frac{w_{m}}{2} , t)  by (II.5.5)

Since the power series expansion of F̃ has only nonnegative coefficients, the rational function F̃(\frac{w_{m}}{2} , . ) cannot explode for t < _{\frac{1}{∥π(χ̃_{1}^{(n)}∥}}, i.e. the denominator in formula (II.5.5) must be nonnegative at x = \frac{w_{m}}{2} and z = _{\frac{1}{∥π(χ̃_{1}^{(n)}∥}}. It follows that

\frac{w_{m}}{2} + \frac{2(n − 1)^{2}}{w_{m}} ≤ y_{n}

and consequently

\frac{4(n − 1)^{2}}{w_{n}} = y_{n} − \sqrt{y_{n}^{2} − 4(n − 1)^{2}} ≤ w_{m} ≤ y_{n} + \sqrt{y_{n}^{2} − 4(n − 1)^{2}} = w_{n}

II.6. Free operators with operator coefficients^{1}

Let g_{1}, g_{2}, …, g_{n} be the generators of the free group F_{n}. C. Akemann and P. Ostrand proved in [1] a formula for the norm of free operators, i.e. operators of the form ∑ α_{i}λ(g_{i}). This formula improved estimates of M. Leinert [31] and M. Bożejko [7]. It was previously known in the case of equal coefficients [30] and simpler proofs were found in [60] and [44]. In this section we show how a part of the proof of [44] can be generalized to obtain estimates for the operator valued case, which improve the bounds in [26, Proposition 1.1] (see also [9] for related recent results).

Theorem II.6.1. Let n ≥ 2 and g_{1}, …, g_{n} be the generators of the free group F_{n} and let further a_{1}, a_{2}, …, a_{n} be some operators on a Hilbert space H which can be approximated by invertible operators, then

\begin{aligned}∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥_{min} & ≤ inf_{s>0} ∥∑_{i=1}^{n} (s^{2}I + a_{i}a_{i}^{∗})^{1/2} − (n − 2)sI∥^{1/2} × \\ & × ∥∑_{i=1}^{n} (s^{2}I + a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} − (n − 2)sI∥^{1/2} \end{aligned} (II.6.1)

Remark: If the Hilbert space H is finite dimensional, any operator can be approximated with invertible ones. In the infinite dimensional case this is not generally true, see [27, Problem 140]. However, we have

Corollary II.6.2. For an arbitrary family of operators a_{1}, a_{2}, …, a_{n} on a Hilbert space H we have

\begin{aligned}∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥_{min} & ≤ 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} (\frac{∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥ + ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥}{2})^{1/2} \\ & ≤ 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} max \{ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥^{1/2}, ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥^{1/2} \} \end{aligned} (II.6.2)

The proof of (II.6.1) is an adaptation to the non-commutative situation of the first part of [44]. Denote by HS(H) the space of Hilbert-Schmidt operators on the Hilbert space H and by tr the usual (unbounded) trace. We need the following version of the Cauchy-Schwarz inequality.

Lemma II.6.3. For any x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ B(H) and y_{1}, y_{2}, …, y_{n} ∈ HS(H) we have the inequality

∥∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}∥_{HS} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} x_{i}x_{i}^{∗}∥^{1/2} tr (∑_{i=1}^{n} y_{i}^{∗}y_{i})^{1/2} (II.6.3)

Proof. After writing the sum as

[\begin{matrix}∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix}x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix}y_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ y_{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ y_{n} & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix}]

the claim follows from the operator ideal property of HS(H^{n}).

1 voir la note p. xii.

Proof of Theorem. We consider first the case where all the operators a_{i} are invertible. The general case follows then by a topological argument. Let T = ∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i} act on the Hilbert space ℓ_{2}(F_{n}; HS(H)). For every word y ∈ F_{n}, i ∈ { 1, 2, … n } and any positive real number s we define the following operator:

p_{i}(y, s) = a_{i}^{−1}((s^{2} + a_{i}a_{i}^{∗})^{1/2} ∓ s) = ((s^{2} + a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} ∓ s) a_{i}^{−1}

with “−” if there is no cancellation in the word g_{i}^{−1}y, i.e. the first letter of y is different from

g_{i}. “+” if the first letter of y is g_{i} and there is cancellation. Here and in the following scalars appearing in operator expressions mean the corresponding multiple of the identity operator and the square root of a positive operator is always the unique positive square root. Then one can easily check that p_{i}(y, s) is invertible and that its inverse is

p_{i}(y, s)^{−1} = ((s^{2} + a_{i}a_{i}^{∗})^{1/2} ± s) a_{i}^{∗}^{−1}
= a_{i}^{∗}^{−1} ((s^{2} + a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} ± s)

(note the change of sign). Now pick h ∈ ℓ_{2}(F_{n}; HS(H)) with finite support. In order to get the upper bound for ∥T h∥_{2}^{2} = ∑_{y} ∥T h(y)∥_{HS}^{2} we first give an estimate of

∥T h(y)∥_{HS}^{2} = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i} p_{i}(y, s) p_{i}(y, s)^{−1} h(g_{i}^{−1}y)∥_{HS}^{2}

for fixed y. Now the operator a_{i} p_{i}(y, s) is positive and we can apply the above lemma by setting x_{i} = (a_{i} p_{i}(y, s))^{1/2} its (positive) square root and denoting the rest by y_{i} = (a_{i} p_{i}(y, s))^{1/2} p_{i}(y, s)^{−1} h(g_{i}^{−1}y):

∥T h(y)∥_{HS}^{2} ≤ ∥∑_{i=1}^{n} a_{i} p_{i}(y, s)∥ tr (∑_{i=1}^{n} h(g_{i}^{−1}y)^{∗} p_{i}(y, s)^{∗}^{−1} a_{i} h(g_{i}^{−1}y))

Note that among the words { g_{1}^{−1}y, g_{2}^{−1}y, … g_{n}^{−1}y } there is at most one cancellation so that there is always the “−” sign in p_{i}(y, s) except maybe one case and since all the summands a_{i} p_{i}(y, s) are positive operators, we have the operator inequality

∑_{i=1}^{n} a_{i} p_{i}(y, s) ≤ 2s + ∑_{i=1}^{n} ((s^{2} + a_{i}a_{i}^{∗})^{1/2} − s) =: c_{0}(s)

This upper bound does not depend on the word y and we can estimate the norm of T h as follows.

∥T h∥_{2}^{2} ≤ ∥c_{0}(s)∥ ∑_{y} tr (∑_{i=1}^{n} p_{i}(g_{i}y, s)^{∗}^{−1} a_{i} h(y) h(y)^{∗})

≤ ∥c_{0}(s)∥ ∑_{y}∥∑_{i=1}^{n} p_{i}(g_{i}y, s)^{∗}^{−1} a_{i}∥ ∥h(y)∥_{HS}^{2}

Now p_{i}(g_{i}y, s) has always the “+” sign with at most one exception possible in the case when there is already cancellation in g_{i}y. Thus p_{i}(g_{i}y, s)^{−1} has the “−” signs and with the formula for the inverse we get

∑_{i=1}^{n} p_{i}(g_{i}y, s)^{∗}^{−1} a_{i} ≤ 2s + ∑_{i=1}^{n} ((s^{2} + a_{i}^{∗}a_{i})^{1/2} − s) =: c_{1}(s)

The bound c_{1}(s) is again independent of y and finally we get the inequality we wanted: For all positive real numbers s

∥T h∥_{2}^{2} ≤ ∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥.

Let us now consider the case where the a_{i}’s are not invertible but approximable by invertible operators. Consider the topological space B(H)^{n} equipped with the product topology and define the functions

B(H)^{n} → R
g : x = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) ↦ inf_{s≥0} (∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥)^{1/2}
f : x = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) ↦ ∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥.

g is upper semicontinuous, i.e. the set

{ x ∈ B(H)^{n} | g(x) < t }

is open for any t ∈ R. Since f is continuous, the set

{ x ∈ B(H)^{n} | g(x) − f(x) ≥ 0 }

is closed and hence contains the closure of all the n-tuples of invertible operators.

Note that the infimum over all positive scalars s could be replaced by an infimum over all positive operators S which commute with the a_{i}’s. However in view of the examples below this does not seem to improve the inequality very much.

Proof of Corollary. We will prove first the case where the a_{i}’s are approximable by invertibles. In fact we will show that the bound (II.6.1) is sharper than (II.6.2) just as in the commutative case, cf. [1]. We recall the following facts from non-commutative analysis. A function f is called operator-monotone if for any positive selfadjoint operators a, b the implication

a ≥ b ⇒ f(a) ≥ f(b)

holds. It is operator-concave, if the operator inequality

f(λa + (1 − λ)b) ≥ λf(a) + (1 − λ)f(b)

holds for all positive operators a, b and any 0 < λ < 1. By Löwner’s theorem [35, p.464], the function t ↦ t^{α} is operator-monotone for 0 ≤ α ≤ 1 (see also [43]). Ando showed in [2] (see also [36]) that any operator-monotone function is necessarily operator-concave. We can now apply this to the function t ↦ \sqrt{t} and any sequence of positive operators x_{i} = a_{i}^{∗}a_{i}

\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{1/2} ≤ (\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i})^{1/2}

and our bound becomes

(∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥)^{1/2} ≤ ((2 − n)s + n\sqrt{s^{2} + \frac{1}{n}∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥})^{1/2} ×

× ((2 − n)s + n\sqrt{s^{2} + \frac{1}{n}∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥})^{1/2}

≤ (2 − n)s + \frac{n}{2} (\sqrt{s^{2} + \frac{1}{n}∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥}+

+ \sqrt{s^{2} + \frac{1}{n}∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥})

≤ (2 − n)s + n\sqrt{s^{2} + \frac{1}{2n} (∥ ∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥ + ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥)}.

The infimum of the last expression over all s ≥ 0 is the expression in the claim. Let us now consider general operators a_{1}, a_{2}, …, a_{n} which are not necessarily approximable by invertible ones. Denote by P_{f}(H) the set of all finite dimensional projections on H. It is easy to see that the embedding

Φ : B(H) → ⨁_{p∈P_{f} (H)} pB(H)p
a ↦(pap)_{p∈P_{f} (H)}

is a complete isometry, i.e. for any operators b_{1}, b_{2}, …, b_{n} acting on some Hilbert space K we have

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ b_{i}∥_{min} = ∥∑_{i=1}^{n} Φ(a_{i}) ⊗ b_{i}∥_{min}

Now Φ(a_{i}) lying in a direct sum of matrix algebras can be approximated by invertibles, so that inequality (II.6.2) holds when we replace a_{i} by Φ(a_{i}). Now we use the fact that the right hand side of (II.6.2) comes from an operator space structure. Indeed, denoting e_{ij} the canonical basis of M_{n}, it is easy to see that

∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ e_{1i}∥ = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}a_{i}^{∗}∥^{\frac{1}{2}} and ∥∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ e_{i1}∥ = ∥∑_{i=1}^{n} a_{i}^{∗}a_{i}∥^{\frac{1}{2}} ;

hence we have

∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ a_{i}∥_{min} = ∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ Φ(a_{i})∥_{min}

≤ 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} (\frac{∥∑ Φ(a_{i}) ⊗ e_{1i}∥ + ∥∑ Φ(a_{i}) ⊗ e_{i1}∥}{2})^{\frac{1}{2}}

= 2\sqrt{1 − \frac{1}{n}} (\frac{∥∑ a_{i} ⊗ e_{1i}∥ + ∥∑ a_{i} ⊗ e_{i1}∥}{2})^{\frac{1}{2}}

and this proves the claim. We do not see how to generalize (II.6.1) to non-approximable operators with a similar trick, since the assignment (a_{i}) ↦ ∥∑ |a_{i}|∥ fails to be a norm and hence is not a complete invariant.

Examples. There is actually equality not only for scalar coefficients and it would be interesting to characterize such families of operators.

Example II.6.4. Commuting normal operators.

If the operators a_{1}, a_{2}, …, a_{n} generate a commutative C^{∗}-algebra, the scalar formula of Akemann-Ostrand is applicable as a simple consequence of Gel’fand’s theorem.

Example II.6.5. For unitaries u_{1}, u_{2}, …, u_{n} there is equality:

∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ α_{i}u_{i}∥ = ∥∑_{i=1}^{n} α_{i} λ(g_{i})∥

= min_{s≥0} 2s + ∑_{i=1}^{n} (\sqrt{s^{2} + |α_{i}|^{2}} − s)
= min_{s≥0} (∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥)^{1/2}

The first identity is Fell’s lemma [23] applied to the left regular representation and the unitary representation which is uniquely determined by π(g_{i}) = u_{i}. The following example uses the following simple identity. For any projection p and positive real numbers σ, α

(σI + (\sqrt{σ^{2} + α^{2}} − σ)p)^{2} = σ^{2}I + α^{2}p (II.6.4)

Example II.6.6. For the basis of the row-space R_{n} and equal coefficients there is equality:

∥∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ e_{1i}∥ = \sqrt{n} = min_{s≥0} (∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥)^{1/2} (II.6.5)

However if the coefficients are different there may be strict inequality, e.g.

\begin{aligned}∥λ(g_{1}) ⊗ e_{11} + λ(g_{2}) ⊗ e_{12} + 2λ(g_{3}) ⊗ e_{13}∥ & = \sqrt{6} \\ & < \sqrt{8} = min_{s≥0} (∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥)^{1/2} \end{aligned} (II.6.6)

The bound for the general operator ∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ α_{i}e_{1i} is determined by the norms

∥c_{0}(s)∥ = ∥2s + ∑_{i=1}^{n} ((s^{2} + |α_{i}|^{2}e_{11})^{1/2} − s)∥

= 2s + ∑_{i=1}^{n}(\sqrt{s^{2} + |α_{i}|^{2}} − s)

∥c_{1}(s)∥ = ∥2s + ∑_{i=1}^{n} ((s^{2} + |α_{i}|^{2}e_{ii})^{1/2} − s)∥

= ∥2s + ∑_{i=1}^{n} ((s^{2} + |α_{i}|^{2})^{1/2} − s) e_{ii}∥
= s + \sqrt{s^{2} + max_{i} |α_{i}|^{2}}

We must find the minimum of the function

g : s ↦ ∥c_{0}(s)∥ ∥c_{1}(s)∥

If α_{1} = α_{2} = … = α_{n} = 1 this is

g(s) = (s + \sqrt{s^{2} + 1}) (2 s + n (\sqrt{s^{2} + 1} − s))

with strictly positive derivative

g′(s) = \frac{2 (s + \sqrt{s^{2} + 1})^{2}}{\sqrt{s^{2} + 1}}

and thus the minimum is attained at s = 0, which yields (II.6.5). For (II.6.6) where α_{1} = α_{2} = 1 and α_{3} = 2 we consider

g(s) = (2 \sqrt{s^{2} + 1} + \sqrt{s^{2} + 4} − s) (s + \sqrt{s^{2} + 4})

which has the derivative

g′(s) = \begin{matrix}(2 s + 2 \sqrt{s^{2} + 4}) & (s\sqrt{s^{2} + 4} + s^{2} + 1) \\ \sqrt{s^{2} + 1} & \sqrt{s^{2} + 4} \end{matrix}

This is again strictly positive and the infimum of g is g(0) = 8.

Example II.6.7. The Cuntz algebra.

In [27, Problem 140] it is shown that the unilateral shift S on ℓ_{2} cannot be approximated by invertible operators. Consider the Cuntz algebra, which is generated by n “free” copies of the shift. A priori we cannot apply theorem II.6.1 to the sum

∑_{i=1}^{n} λ(g_{i}) ⊗ α_{i}S_{i}.

However since this norm is trivially equal to (∑ |α_{i}|^{2})^{1/2} , the inequality holds even in this case.

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