\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{geometry}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{booktabs} % fuer toprule/midrule/cmidrule/bottomrule
\usepackage{multirow}
\usepackage{parskip} % bei neuen Absaetzen ein Zeilenabstand statt Einrueckung des Folge-Absatzes

\title{Übungsbeispiel 2, 3}
\author{Ein Student}
\date{\today}

\pagestyle{fancy}
\makeatletter % to use the values of title and author below
\lhead{\textbf{\@title}}
\chead{\textbf{Computermathematik}}
\rhead{\textbf{\@author}}
\makeatother

% Makros fuer wahr/falsch in der Wahrheitstabelle:
\newcommand{\wahr}{\text{W}}
\newcommand{\falsch}{\text{F}}
% kann leicht geändert werden auf andere Darstellung, etwa mit 0 und 1:
%\newcommand{\wahr}{1}
%\newcommand{\falsch}{0}

\begin{document}

\section*{Experimente aus der Übungsstunde}

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\noindent % um Einzug zu Beginn eines Paragraphen zu unterdruecken. Nicht verwenden!!
% zum Testen \usepackage{parskip} entfernen
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Die Symbole $\to$ und $\rightarrow$ sehen gleich aus. Eine Funktion
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Eine logische Formel $A \rightarrow B \vee C$.

\textbf{Ein Test$^2$ f"ur (nicht) fette Mathematik $a \cdot b$ und Superscripts$^3$ und Fu"snoten\footnote{Eine Fu"snote}}

\begin{enumerate}
  \item Eine Aufzählung. 
  \item[5.] mit händischer Nummerierung
  \setcounter{enumi}{17}
  \item oder beginnend bei einem anderen Counter.
  \item und so weiter.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
 \item Eine Liste.
 \item[*] auch mit eigenen Symbolen.
   \begin{itemize}
   \item und Sublisten
   \end{itemize}
\end{itemize}

Ein vertikaler Abstand von 2cm:

\vspace*{2cm}

Verschiedene Möglichkeiten für Inline-Math:
\begin{math} ABC \end{math} oder $ABC$ oder \(ABC\) 
Und für abgesetzte Formeln:
\[\int_a^b x \,\mathrm{d} x\]
oder
\begin{equation*}\int_a^b x \,\mathrm{d} x\end{equation*}
Mehrzeilige Gleichung:
\begin{align*}
 \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x &= a \cdot b \div c \tag{erster Schritt}\\
 &= x \cdot y \cdot z \tag{zweiter Schritt}
\end{align*}

Tabelle im Math-Mode mit array:
\[
 \begin{array}{|c|c|c|}
 \hline
  A & B & A \rightarrow (\neg A \vee \neg B) \\ \hline
  \wahr & \wahr & \falsch \\ \hline
 \end{array}
\]



\setcounter{section}{1} % damit der Kapitelzaehler gleich bei 2 beginnt, passend zur Nummer des Uebungsbeispiels
\section{Formeln in \LaTeX}

\subsection*{Angabe} % der Stern * unterdrueckt die Nummerierung eines Kapitels, das dann auch nicht im Inhaltsverzeichnis auftaucht.

Eine Abbildung $A : X_1 \to X_2$ hei"st eineindeutig, falls
  \[\forall \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : x_1 \neq \overline{x}_1
    \rightarrow A(x_1) \neq A(\overline{x}_1).\]
Wie formuliert man dann die Aussage: $A$ ist nicht eineindeutig?
  
    
\subsection*{Lösung}

Eine Funktion $A$ ist nicht eineindeutig, wenn 
\[\neg(\forall \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : x_1 \neq \overline{x}_1
  \rightarrow A(x_1) \neq A(\overline{x}_1)).\]
Dieser Ausdruck kann noch weiter vereinfacht werden.
Unter Verwendung der Regel
\[\neg (\forall x : P(x)) \quad \Leftrightarrow \quad \exists x : \neg P(x)\]
erhalten wir den äquivalenten Ausdruck
\[\exists \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : \neg(x_1 \neq \overline{x}_1
  \rightarrow A(x_1) \neq A(\overline{x}_1)).\]
Da $A \rightarrow B \: \Leftrightarrow \: \neg A \vee B$ sowie mit Hilfe der Regeln von de Morgan lässt sich die negierte Implikation auflösen zu
\begin{align*}
& \exists \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : \neg(\neg(x_1 \neq \overline{x}_1)
  \vee (A(x_1) \neq A(\overline{x}_1))) \\
\Leftrightarrow \quad& \exists \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : \neg\neg(x_1 \neq \overline{x}_1)
  \wedge \neg(A(x_1) \neq A(\overline{x}_1)).
\end{align*}
Durch Vereinfachen der mehrfachen Verneinungen erhält man schlussendlich die folgende Formulierung von ``$A$ ist nicht eineindeutig'':
\[\exists \, x_1, \overline{x}_1 \in X_1 : x_1 \neq \overline{x}_1 \wedge A(x_1) = A(\overline{x}_1).\]
Das bedeutet, dass es zwei verschiedene Eingabewerte $x_1, \overline{x}_1$ für die Funktion $A$ gibt, die auf denselben Ergebniswert $A(x_1) = A(\overline{x}_1)$ abgebildet werden.
  
Eine Wahrheitstabelle:

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\toprule
$A$ & $B$ & $A \rightarrow (\neg A \vee \neg B)$ \\
\midrule
\wahr   & \wahr   & \falsch \\
\wahr   & \falsch & \wahr   \\
\falsch & \wahr   & \wahr   \\
\falsch & \falsch & \wahr   \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
  
Eine anders formatierte Wahrheitstabelle:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $A \rightarrow (\neg A \vee \neg B)$ \\ \hline
\wahr   & \wahr   & \falsch \\ \hline
\wahr   & \falsch & \wahr   \\ \hline
\falsch & \wahr   & \wahr   \\ \hline
\falsch & \falsch & \wahr   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
  
  
\section{Tabellen und Notebookpreise}

Nützliche Symbole: \EUR{5}, erfüllte Eigenschaften $\checkmark$

Eine Tabelle mit multicolumn: 
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\toprule
A & \multicolumn{2}{c}{BC} \\ % 2 Spalten zusammen, die Ergebnisspalte ist zentriert c, der Inhalt ist BC
 \midrule
 D & E & F \\
 \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}


Eine Tabelle mit multirow:
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\toprule
A & B & C \\
 \midrule
\multirow{2}{*}{Gemeinsam} & E & F \\ % 2 Zeilen zusammen
                           & G & H \\ % die entsprechende Spalte hier leer lassen
 \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Eine Tabelle mit multirow und cmidrule:
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\toprule
A & B & C \\
 \midrule
\multirow{2}{*}{Gemeinsam} & E & F \\ 
\cmidrule{2-3} % strich nur ueber Spalten 2 bis 3. Bringt die Zeilenabstaende etwas durcheinander!
                           & G & H \\
 \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}


\end{document}

