TU CLAUSTHAL INSTITUT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. W. Klotz  Lineare Algebra II SS 2000 Klausur 28.06.2000
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Aufgabe  1 2 3 4 5 6 ∑ Note
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Es wird nicht nur das Ergebnis, sondern insbesondere auch der Rechenweg bewertet. Begründen Sie Ihre Schritte ausreichend. Wenn Sie bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, z.B. weil bereits ein Rechenfehler vorliegt, beschreiben Sie bitte möglichst genau das prinzipielle Vorgehen, mit dem Sie die Aufgabe angehen wollten.

Viel Erfolg!

1. Es seien P_{1} = (5, 0, 0) und P_{2} = (0, 0, c) ∈ ℝ^{3}. Die Kugel K ⊆ ℝ^{3} habe die Gleichung

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16.

Wie muss c > 0 gewählt werden, damit die Gerade g durch P_{1} und P_{2} die Kugel K berührt?

2. Gegeben sei

A = \frac{1}{4} (\begin{matrix}−2 & 0 & 2\sqrt{3} \\ 3 & −2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2\sqrt{3} & 1 \end{matrix}) .

a) Zeigen Sie, dass A eine orthogonale Matrix ist.

b) Zeigen Sie: Die zu A gehörende Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} ist eine Drehung.

c) Geben Sie Drehachse und (ungefähren!) Drehwinkel mit Drehrichtung an. Siehe Tabelle von Cosinus-werten am Ende des Aufgabenblattes.

3. Die Quadrik Q ⊆ ℝ^{3} habe die Gleichung

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xz + 2(x − y + z) + 1 = 0.

a) Bestimmen Sie den Typ von Q.

b) Geben Sie ein kartesisches Koordinatensystem (x⃗_{0}, B) an, so dass die Gleichung von Q Normalform bekommt.

c) Falls es eine Gerade g ⊆ Q gibt, gebe man die Gleichung einer solchen Geraden an.

4. Es sei

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}) , A_{2} = (\begin{matrix}1 & −4 & 8 \\ −4 & 7 & 4 \\ 8 & 4 & 1 \end{matrix}) .

a) (2 Punkte) Man untersuche, ob die obigen Matrizen A_{i} über ℝ diagonalisierbar sind.

b) (4 Punkte) Im Falle der Diagonalisierbarkeit gebe man eine Diagonalmatrix D_{i} und eine reguläre Matrix S_{i} ∈ ℝ^{n×n} an mit S_{i}^{−1}A_{i}S_{i} = D_{i}.

c) (2 Punkte) Bestimmen Sie zu den Matrizen jeweils das Minimalpolynom.

5. Man zerlege die folgenden Polynome über ℤ in irreduzible Faktoren bzw. begründe, warum sie irreduzibel sind.

a) f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8,

b) f(x) = x^{4} + 2x^{2} + 9,

c) f(x) = x^{1000} + 111.

6. a) Es sei T ∈ ℂ^{3×3} eine obere Dreiecksmatrix mit Eigenwerten λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}. Zeigen Sie (ohne Anwendung des Satzes von Cayley-Hamilton), dass

(T − λ_{1}I)(T − λ_{2}I)(T − λ_{3}I) = 0,

wobei I ∈ ℂ^{3×3} die Einheitsmatrix und 0 die Nullmatrix sei.

b) Folgern Sie hieraus für alle Matrizen A ∈ ℂ^{3×3} den Satz von Cayley-Hamilton.

Tabelle von Cosinuswerten

Winkel in Grad (abgeschnittener)

Cosinus-wert

5 0.996
10 0.984
15 0.965
20 0.939
25 0.906
30 0.866
35 0.819
40 0.766
45 0.707
50 0.642
55 0.573
60 0.5
65 0.422
70 0.342
75 0.258
80 0.173
85 0.087
90 0

Winkel Cosinus-wert
95 −0.087
100 −0.173
105 −0.258
110 −0.342
115 −0.422
120 −0.5
125 −0.573
130 −0.642
135 −0.707
140 −0.766
145 −0.819
150 −0.866
155 −0.906
160 −0.939
165 −0.965
170 −0.984
175 −0.996
180 −1

Winkel Cosinus-wert
185 −0.996
190 −0.984
195 −0.965
200 −0.939
205 −0.906
210 −0.866
215 −0.819
220 −0.766
225 −0.707
230 −0.642
235 −0.573
240 −0.5
245 −0.422
250 −0.342
255 −0.258
260 −0.173
265 −0.087
270 0

Winkel Cosinus-wert
275 0.087
280 0.173
285 0.258
290 0.342
295 0.422
300 0.5
305 0.573
310 0.642
315 0.707
320 0.766
325 0.819
330 0.866
335 0.906
340 0.939
345 0.965
350 0.984
355 0.996
360 1

Hinweis:

Am 11. September 10.00-12.00 wird eine Wiederholungsklausur zur LA I und II geschrieben. Studenten, die laut Prüfungsordnung im Vordiplom nur über LA I geprüft werden (z.B. Physikalische Technologie), wird die Gelegenheit geboten, den LA I Schein zu erwerben. Studenten mathematischer Studiengänge werden über LA I und LA II geprüft.