[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 1]

Hinweise: In der ersten Tutorenübung wird die Klausur besprochen. Die Übungsblätter sind auch unter http://www.math.tu-clausthal.de/˜ mace/ss00/la2/vorlesung.html (bzw. http://www.math.tu-clausthal.de/˜ mace/ws99/la1/vorlesung.html für das vergangene Semester) zu finden.

1. (Man vergleiche LA I, Übungsblatt 12, Aufgabe 3.)

Es sei V = C[0, 1] der Raum der stetigen reellen Funktionen mit dem Skalarprodukt

β(f, g) = ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx.

Es sei h ∈ V, h(x) = sin 2πx. Man fasse U = ℝ_{2}[x] als Unterraum von V auf und approximiere h “möglichst gut” durch ein Polynom u_{0} ∈ U, d.h. man bestimme u_{0} so, daß gilt:

d(h, U) = d(h, u_{0}).

Interpretieren Sie das Ergebnis.

2. Man zeige, dass die Definition der affinen Unabhängigkeit der Punkte P_{0}, …, P_{n} unabhängig von der Nummerierung der Punkte ist.

3. Es sei V ein Vektorraum über K. Ferner sei ein Viereck F mit den Punkten P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} gegeben. Man zeige:

(a)

\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = \overrightarrow{P_{4}P_{3}} ⟺ \overrightarrow{P_{2}P_{3}} = \overrightarrow{P_{1}P_{4}}
⟺ (L(P_{1}, P_{2}) ∥ L(P_{3}, P_{4}) ∧ L(P_{2}, P_{3}) ∥ L(P_{1}, P_{4})) .

Es sei F ein Parallelogramm mit \overrightarrow{P_{1}P_{2}} = \overrightarrow{P_{4}P_{3}}. Dann gilt:

(b) Die Diagonalen L(P_{1}, P_{3}) und L(P_{2}, P_{4}) schneiden sich im Schwerpunkt S von F.

(c) Der Schwerpunkt S ist der Mittelpunkt der Diagonalen, d.h. der Mittelpunkt von P_{1} und P_{3} bzw. von P_{2} und P_{4}.

(d) P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} liegen in einer Ebene.