[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 10]

Hinweis: In der letzten Vorlesungswoche finden am Donnerstag und Freitag Übungen statt. Studenten der Montagsübung gehen bitte in einen der Termine am Donnerstag 15 Uhr, bzw. Freitag 8 Uhr.

1. Geben Sie die Jordan-Normalform zu den folgenden Matrizen an, (ohne lange zu rechnen!)

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

2. Es sei

A = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix})

Bestimmen Sie Jordansche Normalform J von A und eine Matrix S mit J = S^{−1}AS.

3. Es sei φ ein Endomorphismus des endlich dimensionalen Vektorraumes V. Weiter sei m_{φ} = x^{k} + a_{k−1}x^{k−1} + ⋯ + a_{0} das Minimalpolynom. Beweisen Sie:

a_{0} ≠ 0 ⟺ φ bijektiv.

4. Es sei φ eine Drehung des ℝ^{3}. Man bestimme das Minimalpolynom von φ.

Wir wünschen Ihnen erholsame Ferien und viel Erfolg bei der Prüfung!