[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 2]

Hinweis: Die LA II-Klausur wird voraussichtlich am Mittwoch, den 28.06.2000, während der Vorlesungszeit geschrieben.

1. Es seien die folgenden Punkte im ℝ^{3} gegeben. P_{1} = (3, −3, 0), P_{2} = (3, −7, −2), P_{3} = (3, −1, −2), P_{4} = (4, 0, −2) und P_{5} = (1, −1, 0). Sei g die Gerade durch P_{1} und P_{2} und sei E die Ebene durch P_{3}, P_{4} und P_{5}. Man bestimme den Schnittpunkt S von E und g.

2. Die Ebenen E_{1} und E_{2} seien durch ihre skalare Gleichung gegeben.

E_{1} : x + y + z = 4, E_{2} : 2x − y + 2z = 2.

Sei g die Schnittgerade g von E_{1} und E_{2}. Welchen Abstand hat g vom Nullpunkt?

3. Im ℝ^{3} seien die Ebenen E_{1} und E_{2} und der Punkt P gegeben.

E_{1} : 2x − y + 2z = −3, E_{2} : 2x − y + 2z = 9, P = (1, 2, 3).

Man bestimme die Abstände d(E_{1}, E_{2}) und d(P, E_{1}).

4. Im ℝ^{3} bestimme man den Abstand d und das gemeinsame Lot g der Geraden g_{1} und g_{2} mit

g_{1} = (1, 1, 1) + [(1, 0, 1)], g_{2} = (2, 1, 1) + [(1, 1, 2)] .

5. Gegeben sei das Dreieck ABC im ℝ^{3} mit

A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (4, 5, 4).

Wo trifft das Lot durch C auf L(A, B) die x, y-Ebene?