[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 3]

1. Es seien A, B ∈ 𝕂^{n×n}, f ∈ 𝕂[x]. Man beweise:

a) A ähnlich B ⟹ f(A) ähnlich f(B).

b) A diagonalisierbar ⟹ f(A) diagonalisierbar.

2. Man prüfe, ob die folgenden Matrizen A_{j} ∈ ℝ^{n×n} diagonalisierbar sind und bestimme gegebenenfalls eine reguläre Matrix S, so daß S^{−1}A_{j}S eine Diagonalmatrix ist.

A_{1} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & −1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

3. Die n × n-Matrix A habe alle n komplexen n-ten Einheitswurzeln als Eigenwerte. Beweisen Sie, dass dann A^{n} = E gilt.

4. Sei ζ = e^{2πi/3} und

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & ζ & 1 \\ 0 & 0 & ζ^{2} \end{matrix} ) .

Berechnen Sie B^{2} und B^{3}. Berechnen Sie die Eigenwerte von B, B^{2} und B^{3}. Vergleichen Sie dies mit der vorherigen Aufgabe.

5. Es sei B = {b_{1}, …, b_{n}} eine Basis des reellen Vektorraumes V, n ≥ 2. Ferner sei φ ∈ Hom V definiert durch

φ(b_{1}) = b_{2}, φ(b_{2}) = b_{3}, …, φ(b_{n}) = b_{1}.

Man bestimme die (reellen) Eigenwerte von φ und gebe einen zugehörigen Eigenvektor an. Ist φ diagonalisierbar?