[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 4]

1. Man zeige, dass die folgende Matrix A ∈ ℝ^{5×5} diagonalisierbar ist und gebe eine Basis B von ℝ_{5} aus Eigenvektoren von A an.

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & −2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

2. Ein Endomorphismus f von V heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n mit f^{n} = 0 gibt. (Entsprechend definiert man nilpotente Matrizen.) Man zeige:

a) (f nilpotent, λ Eigenwert von f) ⟹ λ = 0.

b) (f nilpotent, V reell oder komplex, dim V = n) ⟹ χ_{A}(x) = (−x)^{n}.

c) (f nilpotent ∧ f ≠ 0 (Nullabbildung)) ⟹ f nicht diagonalisierbar.

3. Es sei φ eine Projektion von V, d.h. φ^{2} = φ. Man zeige:

φ ist diagonalisierbar, und zwar ist V = E_{0} ⊕ E_{1}. Hierbei sind E_{0}, E_{1} Eigenräume zu den Eigenwerten 0, 1 bzw. gleich {0}.

4. a) Es seien f ein Automorphismus und U_{1}, …, U_{r} Unterräume des Vektorraumes V. Man zeige: f(U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{r}) = f(U_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ f(U_{r}).

b) Weiter zeige man, dass dieselbe Aussage für beliebige Endomorphismen f gilt, die die Unterräume invariant lassen, d.h. für die f(U_{i}) ⊆ U_{i} gilt. (Man spricht von f-invarianten Unterräumen.)