[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 5]

1. Man zeige, dass φ ∈ Hom V genau dann normal ist, wenn für alle

a⃗, b⃗ ∈ V gilt:

φ(a⃗) · φ(b⃗) = φ^{∗}(a⃗) · φ^{∗}(b⃗).

2. Bilden die selbstadjungierten Automorphismen (φ = φ^{∗}) von ℝ^{2} eine Gruppe bezüglich des Produktes von Abbildungen?

3. Es sei φ ∈ Hom V und V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{r} die direkte Summe φinvarianter Unterräume. Man zeige:

χ_{φ}(x) = ∏_{i=1}^{r} χ_{φ↾_{U_{i}}} (x).

4. f ∈ Hom ℝ^{3} sei definiert durch

f(1, 0, 1) = (0, 2, 4), f(0, 1, 1) = (4, 2, 0), f(1, 1, 0) = (2, 4, 2).

Man bestimme f^{∗}(1, 1, 1).

5. Man bestimme eine Orthonormalbasis von ℝ^{3} aus lauter Eigenvektoren der Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .