[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 6]

1. Es sei V = ℝ_{n}[x]. Der Endomorphismus φ sei definiert durch

φ(f(x)) = f(x + 1).

Ist φ diagonalisierbar?

2. Es sei V der in ℝ^{ℝ} von den Funktionen

x^{0}, sin x, cos x

aufgespannte Unterraum. V werde ausgestattet mit dem Skalarprodukt

β(f, g) = ∫_{0}^{2π} f(x)g(x)dx.

Die Abbildung φ_{α} : V ⟶ ℝ^{ℝ} sei definiert durch

φ_{α}(f(x)) = f(x + α).

a) Man zeige, dass φ_{α} ein normaler Endomorphismus von V ist.

b) Man beschreibe die komplexe Erweiterung V̂ und die komplexen Fortsetzungen β̂ und φ̂_{α}.

c) Bestimmen Sie eine ONB aus lauter Eigenvektoren von φ̂_{α}.

3. Es seien V ein reeller Vektorraum, φ ∈ Hom V, V̂ die komplexe Erweiterung von V und φ̂ die komplexe Fortsetzung von φ. Man zeige:

a) Ist U ein φ-invarianter Unterraum von V, dann ist Û ein φ̂-invarianter Unterraum von V̂.

b) Sei U′ ein Unterraum von V̂. Gibt es dann einen Unterraum U ⊆ V mit U′ = Û ?