[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 7]

1. Es sei

ℝ_{s}^{n×n} = {A|A ∈ ℝ^{n×n}, A^{T} = −A}.

der Raum der schiefsymmetrischen, reellen n × n-Matrizen. Für A ∈ ℝ_{s}^{n×n} zeige man:

a) Alle Eigenwerte von A haben die Form iβ mit β ∈ ℝ.

b) A − E, A + E sind invertierbar.

c) (E − A) (E + A)^{−1} = (E + A)^{−1}(E − A).

d) (E + A) (E − A)^{−1} = B ist orthogonal.

e) det (B) = 1.

f) E + B ist invertierbar.

g) Die Abbildung F : ℝ_{s}^{n×n} → SO(n) mit F (A) = (E + A) (E − A)^{−1} ist injektiv, und Bild F besteht genau aus den Matrizen B ∈ SO(n), für die E + B invertierbar ist.

2. Es sei φ die Drehung des Raumes ℝ_{3} mit der Drehachse [( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )]

und dem Drehwinkel α = \frac{π}{2}. Dabei soll die Drehung so erfolgen, dass

bei Fortschreiten in Richtung ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) eine Rechtsschraube entsteht.

Man bestimme die Matrix M(φ, B_{s}) bzgl. der Standardbasis B_{s}.

3. Man zeige, dass die folgende Matrix A ∈ ℝ^{3×3} orthogonal ist.

A = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & \sqrt{2} & −\sqrt{2} \\ −\sqrt{2} & 1 & 1 \\ \sqrt{2} & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Man bestimme die reelle bzw. komplexe Normalform A_{1} bzw. A_{2} von A. Ferner gebe man eine orthogonale Matrix S ∈ ℝ^{3×3} an mit A_{1} = S^{−1}AS.