[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 8]

1. Die Funktion f : ℝ^{3} → ℝ sei definiert durch

f(x, y, z) = e^{(x−y+z)(x+y−z)}.

Man zeige, dass alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von f in (0, 0, 0) verschwinden. Liegt ein Extremum im Nullpunkt vor? Man bearbeite die Aufgabe analog für f(x, y, z) = e^{−(x^{2}+y^{2}+z^{2})}.

2. Die quadratischen Formen q_{1}, q_{2} seien für x⃗ = (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} definiert durch:

q_{1}(x⃗) = 5x_{1}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 8x_{2}^{2}, q_{2}(x⃗) = 15x_{1}^{2} + 60x_{1}x_{2}.

Man bestimme eine Basis, so dass q_{1} und q_{2} gleichzeitig Hauptachsenform erhalten.

3. Die Quadrik Q des ℝ^{3} sei gegeben durch die Gleichung

x^{2} + y^{2} − z^{2} + 2pxz + 2pyz − 2x − 4y + 2z = 0.

Wie muß der reelle Parameter p gewählt werden, damit Q ein Kegel wird?

4. Wie müssen die positiven Zahlen p und q gewählt werden, damit die

Gleichung

x^{2} − y^{2} + 3z^{2} + (px + qy)^{2} − 1 = 0

einen Kreiszylinder darstellt?

5. Man bestimme den Typ der folgenden Quadrik im ℝ^{2}:

x^{2} + 4xy + 4y^{2} + 2x + 4y + 5 = 0.