[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Tutorenübung 9]

1. Es sei

A = \frac{1}{16} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & −3\sqrt{3} \\ 0 & −3\sqrt{3} & 13 \end{matrix} ) .

Welche Figur beschreibt x^{t}Ax = 1 ? Bestimmen Sie die Hauptachsen (Lage und Länge).

2. Welche quadratische Form ax^{2} + 2bxy + cy^{2} = 1 hat als Lösungsmenge die Ellipse mit den Hauptachsen

v⃗_{1} = \frac{1}{\sqrt{13}} ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) und v⃗_{2} = \frac{1}{\sqrt{13}} ( \begin{matrix}−3 \\ 2 \end{matrix} )

und den Längen 3 und 1 der Hauptachsenabschnitte?

3. Es sei f(x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1. Bestimmen Sie die Primpotenzdarstellung von f

a) in ℂ[x], b) in ℝ[x], c) in ℤ[x], d) in ℚ[x], e) in ℤ_{2}[x], f) in ℤ_{3}[x].

4. Es sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass das Polynom f mit f(x) = x^{p−1}+x^{p−2}+⋯+ x + 1 über ℚ irreduzibel ist. Hinweise: a) Gaußsches Lemma. b) Substituieren Sie x = t + 1. Zeigen Sie, dass die Koeffizienten das Kriterium von Eisenstein erfüllen.

5. Entscheiden Sie, ob die folgenden Polynome über ℚ irreduzibel sind, oder nicht. a) f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 4x + 2

b) f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 4x + 4

c) f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 2x + 4

d) f(x) = x^{4} + 15x^{3} + 7.

Hinweise:

• Die LA II-Klausur wird am Mittwoch den 28. Juni, 10.00 (pünktlich!)-12.00 geschrieben.

• Am 11. September 10.00-12.00 wird eine Wiederholungsklausur zur LA I und II geschrieben. Studenten nichtmathematischer Studiengänge (z.B. Physik) wird die Gelegenheit geboten, den LA I zu Schein zu erwerben. Studenten mathematischer Studiengänge werden über LA I und LA II geprüft.

• Für die mündlichen Vordiplomsprüfungen bieten wir Ihnen zu Beginn und zum Ende des Prüfungszeitraumes im Herbst Termine an. Voraussichtlich am 13./14. September bzw. 11./12. Oktober. Für Vordiplomsprüfungen müssen Sie sich (rechtzeitig !) im Prüfungsamt anmelden und mit uns einen Termin vereinbaren.