[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Übungsblatt 1]

1. (LA I, Übungsblatt 12, Aufgabe 4.)

Seien a_{1}, ⋯, a_{n} reelle Zahlen. Man beweise:

(a_{1} + ⋯ a_{n})^{2} ≤ n(a_{1}^{2} + ⋯ a_{n}^{2}).

2. (LA I, Übungsblatt 12, Aufgabe 5.)

Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, A = {a⃗_{1}, …, a⃗_{m}} ⊆ V. Die Gramsche Determinante von A wird definiert durch: G_{r}(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = det(a⃗_{i} · a⃗_{j}). Man zeige:

(a) Sei B eine ONB von [A]. Die Matrix S habe in den Spalten die Koordinatenvektoren von A bzgl. B. Dann ist (a⃗_{i} · a⃗_{j}) = S^{T} \overline{S}.

(b) G_{r}(a⃗_{i}, …, a⃗_{m}) = | det S|^{2} > 0, wenn A linear unabhängig ist.

(c) G_{r}(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = 0 ⇔ a⃗_{1}, …, a⃗_{m} ist linear abhängig.

3. Es sei P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} ein Viereck in einem Vektorraum. Es sei M_{1} der Mittelpunkt von \overrightarrow{P_{1} P_{2}}, M_{2} der Mittelpunkt von \overrightarrow{P_{2} P_{3}}, M_{3} der Mittelpunkt von \overrightarrow{P_{3} P_{4}} und M_{4} der Mittelpunkt von \overrightarrow{P_{4} P_{1}}. Man zeige, dass M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} ein Parallelogramm bilden.

4. Man zeige, dass sich die Höhen eines Dreieckes in einem Punkt schneiden.

5. Es sei H der Schnittpunkt der Höhen, M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und S der Schwerpunkt eines Dreieckes. (Zeichnen Sie dies für ein nicht gleichseitiges Dreieck!) Zeigen Sie, dass diese drei Punkte auf einer Geraden liegen, der sogenannten Eulergeraden.