[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Übungsblatt 2]

1. In einem unitären (euklidischen) Raum beweise man für ein rechtwinkliges Dreieck ABC

a) den Kathetensatz: b^{2} = pc,

b) den Höhensatz: h^{2} = pq,

c) den Satz des Thales: Genau dann ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, wenn C auf dem Halbkreis über AB liegt.

2. Gegeben seien vier Punkte im Raum, P_{1} = (1, 1, 1), P_{2} = (2, 1, 1), P_{3} = (1, 2, 2), P_{4} = (1, 1, 2). Liegen P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} in einer Ebene?

3. A = (−1, 1, 2), B = (1, 1, 2), C = (3, 3, 2).

Man bestimme den Radius r des Umkreises des Dreiecks ABC.

4. Wie viele Kanten hat ein n-dimensionaler Spat?

5. Man bestimme den Radius r der 3-dimensionalen Sphäre durch die folgenden Punkte des ℝ^{3}: P_{1} = (8, 0, 0), P_{2} = (0, 4, 0), P_{3} = (0, −4, 0), P_{4} = (4, 7, 5).