[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Übungsblatt 4]

1. Es sei

A = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & −1 − i & 0 & 1 − i \\ −1 − i & 0 & 1 − i & 0 \\ 0 & 1 − i & 0 & −1 − i \\ 1 − i & 0 & −1 − i & 0 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{4×4}.

Man bestimme die Eigenwerte von A, A^{2}, A^{3}, A^{4} und die Matrix A^{4}.

2. Sei

A = ( \begin{matrix}5 & −6 & −6 \\ −1 & 4 & 2 \\ 3 & −6 & −4 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3}.

Ist A diagonalisierbar? Wenn ja, gebe man eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D an, so dass D = S^{−1}AS gilt.

3. Man beweise den Satz von Schur: Jede komplexe n × n-Matrix A ist orthogonal ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix R, d.h. es gibt eine orthogonale Matrix S mit S^{−1}AS = R.

4. Es sei A ∈ 𝕂^{n×n}, f ∈ 𝕂[x]. Die Matrix A habe die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{r}. Man beweise:

a) Ax⃗ = λx⃗ ⟹ f(A)x⃗ = f(λ)x⃗, d.h. f(λ_{1}), …, f(λ_{r}) sind Eigenwerte von f(A).

b) Ist A zu einer Dreiecksmatrix ähnlich, dann hat f(A) nur die in a) angegebenen Eigenwerte.

5. Es sei A ∈ ℝ^{2×2}. Man beweise:

a) (A ≠ ± E ∧ A^{2} = E) ⟹ A ist ähnlich zu ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ),

b) A^{2} = −E ⟹ A ist ähnlich zu ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ).