[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Übungsblatt 5]

1. Man beweise:

a) SO(2) ist abelsch.

b) O(2) ist nicht abelsch.

c) SO(3) ist nicht abelsch.

2. Ist A ∈ ℝ^{n×n} symmetrisch und positiv definit, dann gibt es eine Matrix B ∈ ℝ^{n×n} mit A = B^{2}.

3. Man bestimme Extremwerte und Extremalstellen der folgenden quadratischen Form q auf der Einheitssphäre des ℝ^{3}.

q(x⃗) = 4x_{1}^{2} + 4x_{2}^{2} − 8x_{3}^{2} − 10x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} − 4x_{2}x_{3}.

4. Es sei V ein euklidischer Raum. Eine Abbildung f : V → V heißt eine Bewegung oder Kongruenz von V, wenn f abstandserhaltend ist, d.h., wenn für alle x⃗, y⃗ ∈ V gilt:

∥ f(x⃗) − f(y⃗) ∥=∥ x⃗ − y⃗ ∥ .

Man beweise:

a) Jede Bewegung f von V hat eine eindeutige Darstellung f = ta⃗ ∘ φ mit einer Translation ta⃗ und einer Isometrie φ. (Ist φ ∈ SO (V), dann heißt f eine eigentliche Bewegung.)

b) Die Bewegungen von V bilden eine Gruppe Bw(V) ⊆ Af(V).