[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra II; SS 2000; Übungsblatt 7]

1. Für f ∈ Hom V sei m_{f} = x^{2} + x + 1. Man bestimme m_{f^{2}}.

Alte Klausuraufgaben

2. Es sei

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom m_{A}(x).

b) Entscheiden Sie anhand des Minimalpolynoms, ob A b1) im Rellen, bzw. b2) im Komplexen diagonalisierbar ist.

3. Bestimmen Sie zur Matrix

A = (\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

eine Diagonalmatrix D und eine orthogonale Matrix S mit D = S^{−1}AS.

4. Zeigen Sie, dass die Matrix A eine Isometrie definiert.

A = (\begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} − \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{−1}{4}]{2} \\ \frac{1}{4} \sqrt{3} − \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \sqrt[\frac{−1}{4}]{2} \\ \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} \end{matrix}) .

Bestätigen Sie, dass (1, −1, 0) die Drehachse ist. Welcher Drehwinkel liegt vor? (cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos 45^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos 60^{o} = \frac{1}{2}.) Deuten Sie in einer Skizze Drehachse und Drehrichtung an.