TU CLAUSTHAL INSTITUT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. W. Klotz  Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I und II SS 2000 11.09.2000

Aufgabe 1)[1+1+1 Punkte]

a) Was versteht man unter der Charakteristik einen Körpers?

b) Ist die Menge aller invertierbaren 3 × 3 Matrizen über ℝ ein Vektorraum?

c) Es sei 𝕂 = ℤ_{11} der Körper mit 11 Elementen. Geben Sie ein nichtkonstantes Polynom f ∈ 𝕂[x] an, das keine Nullstelle in 𝕂 hat.

Aufgabe 2)[3+1+2 Punkte] Es sei a ∈ ℕ. Weiter sei

B = {(x, y, z) ∈ ℕ^{3} mit a = x^{2} + 2yz und x/2 < y < x + z/2}.

Sei f : B → B mit (x, y, z) ↦ (2y − x, y, z + 2x − 2y).

a) Zeigen Sie, dass es sich dabei um eine wohldefinierte Abbildung handelt.

b) Stellen Sie die Matrix von f bezüglich der Standardbasis dar.

c) Berechnen Sie die Matrix von f^{−1} bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe 3)[4 Punkte] Es sei

D_{n} = | \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ & 1 & 1 & 1 \\ & & … & … & … \\ & & & 1 & 1 & 1 \\ & & & & 1 & 1 \end{matrix} | , n = 1, 2, 3, · · · .

Durch Entwicklung zeige man D_{n+2} = D_{n+1} − D_{n} und folgere daraus D_{n} = D_{n+6}. Für welche n gilt D_{n} = 0? Aufgabe 4)[4 Punkte] Es sei q die kleinste ganze Zahl, so dass die Matrix

A_{q} = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & q \end{matrix} )

positiv definit ist.

a) Bestimmen Sie q.

b) Es sei β das durch die Matrix A_{q} bezüglich der Standardbasis gegebene Skalarprodukt. Man bestimme die Länge des Vektors x⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) bezüglich β.

Aufgabe 5)[4 Punkte] Der Raum ℝ_{2}[x], d.h. der Raum der reellen Polynome bis zum Grad 2, werde ausgestattet mit dem Skalarprodukt

β(f, g) = f ∘ g = ∫_{0}^{1} f(x)g(x) dx.

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion ψ(x) des Polynoms φ(x) = x^{2} auf den Unterraum ℝ_{1}[x].

Aufgabe 6)[2+2 Punkte] Es seien P_{0} = (0, 0, 0), P_{1} = (1, 0, 0), P_{2} = (0, 1, 0), P_{3} = (0, 0, 1) vier Punkte des ℝ^{3}.

a) Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P_{0} von der Ebene durch die Punkte P_{1}, P_{2} und P_{3}.

b) Bestimmen Sie den Radius r der Kugel durch P_{0}, P_{1}, P_{2} und P_{3}.

Aufgabe 7)[4 Punkte] Für welche Zahlen p ∈ ℝ ist die Matrix

A_{p} = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ p & 2 & 0 \end{matrix} )

über ℝ diagonalisierbar? (Hinweis: Zeigen Sie, dass λ = 2 ein Eigenwert ist.)

Aufgabe 8)[3 Punkte] Es sei N eine normale Matrix und U eine unitäre Matrix mit N, U ∈ ℂ^{n×n}. Folgern Sie, dass auch U^{−1} N U eine normale Matrix ist.

Aufgabe 9)[3 Punkte] Bestimmen Sie den Typ der folgenden Quadrik im ℝ^{3}. (Die

genaue Lage muss nicht bestimmt werden.) z = \frac{1}{x + y}.

Aufgabe 10)[5 Punkte] Es sei f eine Drehung des ℝ^{3} um 45^{o}. Die Drehachse gehe

durch den Ursprung und habe die Richtung a⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ). Die Drehung erfolge so, dass bei

Fortschreiten in Richtung der Drehachse eine Rechtsschraube entsteht.

Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der Standardbasis B_{S}.

Hinweis: sin 45^{o} = cos 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}.

Aufgabe 11)[2+2+2 Punkte] Es sei

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4×4}.

Man bestimme

a) das charakteristische Polynom χ_{A}.

b) das Minimalpolynom m_{A} (man beachte m_{A}|χ_{A}).

c) eine Jordansche Normalform von A.