Behandelte Themen und Beispiele der 1. großen Übung

• Definition von Konvergenz bzw. Grenzwert.

• Quantorenschreibweise (für alle, es gibt)

• Veranschaulichung des Begriffes der Konvergenz (reell, komplex)

• Beispiele Beispiel 1: a_{n} = a Beispiel 2: a_{n} = \frac{1}{n} (Grenzwert a = 0 raten. Zum Beweis wähle ε beliebig. Kann man N(ε) so angeben, so dass für alle n ≥ N(ε) gilt: |a_{n} − 0| < ε ?) Beispiel 3: a_{n} = (−1)^{n}. Beweis, dass diese Folge keinen Grenzwert hat. Beispiel 4: Zu Satz 1.2 der Vorlesung:

Sei (a_{n}) konvergent gegen a und sei (b_{n}) konvergent gegen b, so konvergiert (a_{n}b_{n}) gegen ab. Mit Beweis. (Standardtricks wie Dreiecksungleichung, konvergente Folge ist beschränkt, d.h. es gibt ein K mit |a_{n}| ≤ K für alle n ∈ ℕ.)

Diskussion des Beispieles für +, −, · und /. Division nur, falls b ≠ 0.

• Definition von Häufungspunkt. Bsp. a_{n} = (−1)^{n}.

• Satz von Bolzano Weierstraß: Jede beschränkte Folge reeller (oder komplexer) Zahlen hat mindestens einen Häufungspunkt. Beweisidee: Sei −K ≤ |a_{n}| ≤ K. d.h. in dem Intervall [−K, K] liegen unendlich viele Folgenglieder. Wenn man das Intervall halbiert, liegen in mindestens einer der beiden Hälften unendlich viele Folgenglieder. Das macht man mehrfach. In mindestens einem Intervall der Länge \frac{2K}{2^{n}} liegen unendlich viele Folgenglieder. Daher gibt es einen Punkt, der in jeder noch so kleinen ε Umgebung unendlich viele Folgenglieder hat.

• Beispiel 5 a_{n} = \frac{7n^{3}−3n+1}{5n^{3}+1} hat Grenzwert \frac{7}{5}.

|\frac{7n^{3} − 3n + 1}{5n^{3} + 1} − \frac{7}{5}| = ⋯ = |\frac{15n + 2}{5(5n^{3} + 1)}| ≤ \frac{17n}{5(5n^{3})} = \frac{17}{25n^{2}} .

(Für n ≥ 1 gilt 15n + 2 ≤ 17n und es gilt \frac{1}{5n^{3}+1} < \frac{1}{5n^{3}} usw.)

Man möchte, dass dieses kleiner als jedes positive ε wird. Aus \frac{17}{25n^{2}} < ε bzw. \frac{17}{25ε} < n^{2}

folgt, dass dies auf jeden Fall für n ≥ N(ε) = [\sqrt{\frac{17}{25ε}}] + 1 erfüllt ist.

Man kann also für jedes ε ein N(ε) wählen, so dass für alle n ≥ N(ε) gilt |a_{n} − \frac{7}{5}| < ε.

Hätte man einen falschen Grenzwert geraten, hätte man nicht so schliessen können. Dann hätte sich schon der Term 35n^{3} nicht weggehoben, und man hätte

|\frac{7n^{3} − 3n + 1}{5n^{3} + 1} − c| = ⋯ = |\frac{c′n^{3} + ⋯}{5n^{3} + 1}|

erhalten.

Alternativer Beweis: a_{n} = \frac{7n^{3}−3n+1}{5n^{3}+1} = \frac{n^{3}(7− \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} )}{n^{3}(5+ \frac{1}{n^{3}} )} = \frac{7− \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{5+ \frac{1}{n^{3}}} . Nach den Grenzwertsätzen gilt

lim a_{n} = lim \frac{7 − \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{5 + \frac{1}{n^{3}}} = \begin{matrix}lim & (7 − \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} ) \\ lim & (5 + \frac{1}{n^{3}} ) \end{matrix} = \frac{lim 7 − lim \frac{3}{n^{2}} + lim \frac{1}{n^{3}}}{lim 5 + lim \frac{1}{n^{3}}} = \frac{7 − 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{7}{5}.