Behandelte Themen und Beispiele der großen Übung der 4. Woche (3. Woche wegen 1. Mai ausgefallen)

• Thema: Bedingt konvergente Reihen. Konvergente Reihen darf man Umklammern, (a + b) + c = a + (b + c), aber im allgemeinen nicht Umordnen. Ist die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolut konvergent, d.h. konvergiert sogar ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|, so darf man umsortieren, sonst nicht. Es ist sogar möglich, durch Umsortieren jeden möglichen Wert zu erreichen, (Riemannscher Umordnungssatz). Das behandeln wir nicht im Detail aber betrachten zwei konkrete Beispiele.

Beispiel 1:

1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± ⋯ = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} = S.

Die Konvergenz der Reihe folgt aus dem Leibnizkriterium, (alternierende und monoton fallende Nullfolge als Folgenglieder).

Wir betrachten die folgende Umsortierung (zwei positive, ein negativer Summand) und berechnen die Summe:

1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} ± ⋯ = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{4k − 3} + \frac{1}{4k − 1} − \frac{1}{2k} ) .

Da man Klammern setzen darf:

∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{2k−1} − \frac{1}{2k}) = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{4k−3} − \frac{1}{4k−2} + \frac{1}{4k−1} − \frac{1}{4k}) = S
mal zwei nehmen ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{4k−2} − \frac{1}{4k}) = \frac{S}{2}
addieren ⇒ ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{4k−3} + \frac{1}{4k−1} − \frac{1}{2k})  = \frac{3}{2}S.

Daher die Warnung: BEDINGT KONVERGENTE REIHEN NICHT UMSORTIEREN.

Beispiel 2:

1 − \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} − \frac{1}{\sqrt{4}} ± ⋯ = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{\sqrt{n}} .

Die Konvergenz der Reihe folgt wie oben aus dem Leibnizkriterium.

Wir betrachten die folgende Umsortierung (zwei positive, ein negativer Summand) und berechnen die Summe:

1+\frac{1}{\sqrt{3}}−\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}−\frac{1}{\sqrt{4}}±⋯ = ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{4k − 3}} + \frac{1}{\sqrt{4k − 1}} − \frac{1}{\sqrt{2k}} ) .

Für den Summanden (\frac{1}{\sqrt{4k−3}} + \frac{1}{\sqrt{4k−1}} − \frac{1}{\sqrt{2k}}) folgt (nach einer Zwischenrechnung)

lim_{k→∞} (\frac{1}{\sqrt{4k − 3}} + \frac{1}{\sqrt{4k − 1}} − \frac{1}{\sqrt{2k}} ) \sqrt{k} > \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8} − \sqrt{16}}{\sqrt{32}} = c_{1}.

Die umsortierte Reihe divergiert also nach dem Minorantenkriterium, da für endliches n

∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{\sqrt{4k − 3}} + \frac{1}{\sqrt{4k − 1}} − \frac{1}{\sqrt{2k}} ) > c_{2} + (c_{1} − ε) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

mit festen positiven Konstanten c_{1} und c_{2} gilt und da ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} divergiert (siehe letzte große Übung).

ERNEUT: DIE UMSORTIERUNG FÜHRT ZU EINEM VÖLLIG VER-SCHIEDENEN ERGEBNIS.

• Thema: Stetigkeit von Funktionen Beispiel 3: y = f(x) = x^{2} ist auf ganz ℝ stetig. Beweis mit Definition 3.1: Zu zeigen: Für eine beliebige Folge (x_{n}) mit lim(x_{n}) = x^{∗} gilt

lim f(x_{n}) = f(x^{∗}).

Hier ist

lim f(x_{n}) = lim(x_{n})^{2} = lim(x_{n} · x_{n}) = lim x_{n} lim x_{n} = x^{∗} · x^{∗} = f(x^{∗}).

Verkettung von Funktionen h = g ∘ f, d.h. h(x) = g(f(x)) ist stetig.

Satz: Sei f : D ∈ ℝ und g : E ∈ ℝ mit f(D) ⊆ E. Sei f stetig in a ∈ D und g stetig in b = f(a) ∈ E, dann ist h = g ∘ f : D ∈ ℝ mit h(x) = g(f(x)) in a stetig.

Mit Beweis.

Beispiel 4:

h(x) = sin(\sqrt{x}).

Mit f(x) = \sqrt{x}, g(y) = sin y. Die Definitions- und Wertebereiche sind: f : ℝ_{≥0} → ℝ_{≥0} und g : ℝ → [−1, 1], also h : ℝ_{≥0} → [−1, 1].

h ist stetig, denn:

– Die Sinusfunktion ist stetig, (dies wiederum folgt, da die Exponentialfunktion stetig ist, aus sin x = \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{2i}).

– Die Wurzelfunktion ist stetig, (das geht so ähnlich wie oben bei f(x) = x^{2}).

– Nach dem obigen Satz ist h stetig.

• Thema: Differentialrechnung (bzw. nach Rechtschreibreform Differenzial...)

Beispiele zu den Ableitungsregeln Beispiel 5: y = f(x) = x^{1/2}.

f′(x^{∗}) = lim_{x→x^{∗}} \frac{f(x)−f(x^{∗})}{x−x^{∗}} = lim_{x→x^{∗}} ^{\frac{\sqrt{x}−\sqrt{x^{∗}}}{x−x^{∗}}}

Standardtrick mit 3. binomischen Formel

= lim_{x→x^{∗}} ^{\frac{\sqrt{x}−\sqrt{x^{∗}}}{x−x^{∗}}} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x^{∗}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{∗}}}
= lim_{x→x^{∗}} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x^{∗}}} = \frac{1}{2\sqrt{x^{∗}}} .

Kettenregel in Leibnizschreibweise: Ist y = f(u) und u = g(x), also y = f(g(x)), so ist y′ = f′(g(x))g′(x), bzw.

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.

Die sogenannte Leibnizschreibweise mit den dy und dx usw. ist nützlich.

Beispiel 6: Es sei y = f(x) = (\frac{1+x}{1−x})^{3} also y′ = f′(x) = 3 (\frac{1+x}{1−x})^{2} (\frac{1+x}{1−x})′. Nebenrechnung mit Quotientenregel ergibt: (\frac{1+x}{1−x})′ = \frac{2}{(1−x)^{2}} , also

y′ = f′(x) = 6\frac{(1 + x)^{2}}{(1 − x)^{4}} .

Beispiel 7: Wir rechnen einige der Grundregeln nach. Wir setzen (e^{x})′ = e^{x} und für die Umkehrfunktion (ln x)′ = \frac{1}{x} voraus.

– f(x) = a^{x} = e^{(ln a)x}. Wegen (e^{x})′ = e^{x} und mit der Kettenregel folgt f′(x) = (ln a)e^{(ln a)x} = (ln a)a^{x}.

– Wie kann man die Regel für f(x) = x^{a} herleiten? (a eine reelle Zahl). f(x) = x^{a} = e^{a ln x}. Daher ist für x > 0:

f′(x) = (a ln x)′e^{a ln x} = \frac{a}{x}x^{a} = ax^{a−1}.

Der Trick z = e^{ln z} ist allgemein nützlich, z.B. für Funktionen vom Typ y = f(x)^{g(x)} = e^{(ln f(x))g(x)}. (Hierbei ist f(x) > 0 vorausgesetzt.)