Behandelte Themen und Beispiele der großen Übung der 5. Woche

• Thema: Alte Aufgaben

(Blatt 1, H1b)

(Blatt 2, H1b)

(Blatt 2, H2b)

• Thema: Ableitung der Umkehrfunktion Gesucht ist die Ableitung von arctan x. Wir setzen f(x) = tan x und f^{−1}(x) = arctan x. Es gilt: (f^{−1})′(x) = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))}.

Man benötigt also auch die Ableitung des Tangens. Mit der Quotientenregel folgt f′(x) = 1 + tan^{2} x.

Daher folgt:

(arctan x)′ = \frac{1}{1 + tan(arctan x)} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

• Thema: Taylorreihen:

Allgemeines über Taylorreihen, Konvergenz usw.

Graphiken zum Beispiel sin x = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} ∓ · · ·.

Herleitung der Taylorreihe von cos x um x_{0} = 0 mit Diskussion des Restgliedes. Analog für sin x um x_{0} = 1 und x_{0} = 0.

Beispiel: Man möchte die Sinuswerte im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] durch ein endliches Taylorpolynom approximieren. Der Fehler soll kleiner als \frac{1}{1000} sein.

Es ist sin x = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+1}(x, 0).

Die Ableitungen sind vom Betrag alle ≤ 1. Weiter soll gelten |R_{2n+1}(x, 0)| ≤

\frac{( \frac{π}{2} )^{2k+2}}{(2k+2)!} ≤^{!} \frac{1}{1000}. Dies gilt für 2k + 2 ≥ 8.

Daher gilt

sin x ≈ x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{7}}{7!}

für x ∈ [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] mit einem Fehler, der kleiner als \frac{1}{1000} ist. So ist z.B. für x = \frac{π}{2} einerseits sin x = 1, andererseits ergibt die Näherung 0.99984.