Behandelte Themen und Beispiele der großen Übung der 6. Woche

Besprechung von Hausaufgaben (Blatt 3).

(H1b) Wo ist die reelle Funktion f mit

f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x−1}}}

definiert ? Wo ist sie stetig ? Lässt sie sich in den kritischen Punkten stetig ergänzen ?

(H2) (a) Folgern Sie aus e^{ix} = cos x + i sin x, dass sin x = \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{2i}

gilt.

(b) Folgern Sie aus (a) und der Exponentialreihe eine Reihendarstellung für die Sinusfunktion.

(c) Geben Sie analog eine Reihe für sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} an.

(d) Benutzen Sie Ihre Ergebnisse aus (b) und (c), um i sin x und sinh(ix) zu vergleichen.

1. Aus einem Draht der Länge L forme man einen Kreis und ein Quadrat so, dass die Summe der Flächeninhalte möglichst groß wird. (12.19)

2. Man entwickle y = \frac{e^{x}}{1 + cos(2x)} in eine Potenzreihe bis zum

Summanden c_{4}x^{4}. (14.32d)

3. Man entwickle \sqrt{1 − x} mittels der binomischen Reihe.

4. Berechnen Sie folgende Grenzwerte. (12.25/26)

(a) lim_{x→0} \frac{sin x}{x}

(b) lim_{x→∞} \frac{sinh x}{cosh x},

(c) lim_{x→0} \frac{cos x − \sqrt{1 − x^{2}}}{x^{4}} .