Behandelte Themen und Beispiele der großen Übung der 8. Woche

Thema Differentialgleichungen: Diskussion von y′′′ + y = x^{2}e^{x}. Schritt 1: Homegene Dgl. y′′′ + y = 0 lösen. Polynom λ^{3} + 1 = 0 hat die Nullstellen

λ_{1} = −1, λ_{2} = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3}), λ_{3} = \frac{1}{2}(1 − i\sqrt{3}).

Eine allgemeine Lösung ist also:

y_{hom}(x) = C_{1}e^{−x} + C_{2}e^{\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3})x} + C_{3}e^{\frac{1}{2} (1−i\sqrt{3})x}.

Oft sucht man aber eine REELLE Lösung: Wir haben ausführlich nachgerechnet, dass der reelle Teil der obigen Lösungsmenge identisch ist mit

y_{hom}(x) = C_{1}e^{−x}+C_{4}e^{\frac{x}{2}} cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{4}e^{\frac{x}{2}} sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x) C_{1}, C_{4}, C_{5} ∈ ℝ.

Schritt 2: Eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl. finden. Ansatz: y = (Ax^{2}+Bx+C)e^{x}, da rechts eine Funktion der Form e^{x} mal Polynom vom Grad zwei steht, ist dies der richtige Ansatz. (Falls rechts z.B. steht, e^{3x} sin(2x), so wäre der Ansatz: Ae^{3x} sin(2x)+ Be^{3x} cos(2x).) Also obiges y dreimal ableiten und in die Dgl. einsetzen ergibt:

e^{x}(Ax^{2} + (B + 6A)x + 6A + 3b + C) + e^{x}(Ax^{2} + Bx + C) = x^{2}e^{x}.

Koeffizientenvergleich liefert: für x^{2}e^{x} : A+A = 1, für xe^{x} : B+6A+ B = 0 und für x^{0}e^{x} : 6A+3BC+C = 0, also A = \frac{1}{2}, B = −\frac{3}{2}, C = \frac{3}{4}. y_{S} = (\frac{x^{2}}{2} − \frac{3}{2}x + \frac{3}{4})e^{x}. Schritt 3:

y_{allgemein} = y_{s} + y_{hom}.

4) In der Praxis ist oft durch Zusatzbedingungen die Lösung eindeutig. Beispiel ein Pendel wird um a ausgelenkt und zum Zeitpunkt x = 0 losgelassen. Dann ist y(0) = a die Geschwindigkeit ist y′(0) = 0, die Beschleunigung ist der Anteil der Erdbeschleunigung, der in Richtung der Pendelschwingung geht, also ist y′′(0) durch den Auslenkungswinkel, abhängig von der Fadenlänge, auch festgelegt. Eine derartige Bedingung ergibt eine Gleichung, z.B. y(0) = a ergibt: \frac{3}{4} + C_{1} + C_{4} + 0 = a. Bei einer Dgl. mit drei freien Parametern (C_{1}, C_{4}, C_{5}) führen drei derartige Bedingungen dann (meistens) zu einer eindeutigen Lösung.

Integralrechnung Man berechne ∫ \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx. Wir integrieren zunächst und setzen am Ende die Grenzen ein. Man kann eine Partialbruchzerlegung vornehmen, oder zuerst etwas vereinfachen. u = x^{2}, also du = 2x dx führt auf ∫ \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx = ∫ \frac{2}{(u+4)(u+1)} du. Jetzt eine Partialbruchzerlegung: der Ansatz \frac{2}{(u+4)(u+1)} = \frac{A}{u+4} + \frac{B}{u+1} liefert \frac{2}{(u+4)(u+1)} = \frac{2}{3} \frac{1}{u+1} − \frac{2}{3} \frac{1}{u+1}. Also: ∫ \frac{2}{(u+4)(u+1)} du = \frac{2}{3} ln(u + 1) − \frac{2}{3} ln(u + 4) = \frac{2}{3} ln \frac{u+4}{u+1}. Zurücksubstituieren liefert: schließlich: ∫ \frac{4x}{(x^{2}+4)}(x^{2} + 1) dx = \frac{2}{3} ln \frac{x^{2}+4}{x^{2}+1}. Falls man ∫_{−∞}^{∞} \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx berechnen soll: Man sieht: da der Nennergrad um drei grösser als der Zählergrad ist, existiert das Integral,

da ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{3}} existiert. Ausserdem ist diese Funktion ungerade, so dass aus Symmetriegründen ∫_{−∞}^{∞} \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx = 0 gilt. Berechnen wir es zur Übung dennoch normal mit der Stammfunktion, so folgt:

∫_{−∞}^{∞} \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx = lim_{R→∞} ∫_{−R}^{R} \frac{4x}{(x^{2}+4)(x^{2}+1)} dx
= lim_{R→∞} (\frac{2}{3} ln \frac{R^{2}+4}{R^{2}+1} − \frac{2}{3} ln \frac{(−R)^{2}+4}{(−R)^{2}+1}) = 0.