Behandelte Themen und Beispiele der großen Übung der 9. Woche

Thema: Extremwertaufgaben in mehreren Variablen: Am Beispiel f(x, y) = x^{2} + y^{2} (Rotationsparaboloid) lernen wir, wie man Extrema ausrechnet: Notwendige Bedingung: Ableitung ∇f = (f′_{x}, f′_{y}) =^{!} (0, 0). Hier also 2x = 0 und 2y = 0. Also x = y = 0. Es gibt also einen stationären Punkt. Hessematrix aufstellen. Hier

H_{f} = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ). 2 positive Eigenwerte (det H > 0 und f′′_{xx} > 0).

Also Minimum. Analog kann man die Funktionen f(x, y) = −x^{2} − y^{2} (Maximum), f(x, y) = x^{2} − y^{2} (Sattelpunkt) betrachten. Weiter besprochen wurden: f(x, y) = −x^{2}+y^{3}, f(x, y) = x^{2}+y^{4} und f(x, y) = x^{2}+7xy+y^{2}. Zwei weitere berechnete (umfangreichere) Beispiele: f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{16}{3}x^{3} + \frac{16}{3}y^{3}. 4 stationäre Punkte, darunter ein Maximum, ein Minimum , zwei Sattelpunkte. Die Extrema sind relative bzw. lokale Extrema. Globale Extremwerte gibt es nicht. f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2x^{2} + 4xy − 2y^{2}. Berechnen der partiellen Ableitungen ergibt: f′_{x} = 4x^{3} −4x+4y = 0 und f′_{y} = 4y^{3}+4x−4y = 0. Addition ergibt 4(x^{3}+y^{3}) = 0 und daraus y = −x. Wenn man dies widerum einsetzt, erhält man 4x^{3} −8x = 0, also x = 0 bzw. x = ±\sqrt{2}. Da durch den x-Wert hier y eindeutig festgelegt ist, hat man drei stationäre Punkte. 2 davon sind lokale Minima. (Dies folgt aus der Hessematrix). Bei (0, 0) liegt aber ein Sattelpunkt vor: Da die Determinante der Hessematrix 0 ist, muss man aber schon etwas genauer hinsehen, um dies zu sehen. Hier erkennt man den Sattelpunkt, wenn man sich z.B. einerseits entlang der x-Achse dem Nullpunkt nähert: f(x, 0) = x^{4}−2x^{2} = x^{2}(x^{2}−2) ist für kleine x negativ. Wenn man sich andererseits entlang der Winkelhalbierenden y = x nähert, sind die Werte alle positiv: f(x, x) = 2x^{4}. So etwas kann es bei Extremwerten nicht geben! Bemerkung: Es gibt zwei Minima, aber kein Maximum. Bei stetigen Funktionen einer Variablen kann es das nicht geben!