Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

SS 2001 24.04.2001

Ingenieurmathematik II

1. Übungsblatt

(P1) Geben Sie zu jeder der Folgen (a_{n}) mit

(a) a_{n} = \sqrt[n]{1 − (−1)^{n}}, (b) a_{n} = \frac{b_{n+1}}{b_{n}} mit b_{n} = \binom{2n}{n},

(c) a_{n} = \sqrt[n]{n!} , (d) a_{n} = \sqrt[2^{n}]{n!} ,

(e) a_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}, (f) a_{n} = \frac{n}{q} − [\frac{n}{q}] mit festem q ∈ ℕ

an, ob sie beschränkt ist, und bestimmen Sie ggf. die Häufungspunkte. Welche der Folgen sind konvergent? ([x] bezeichnet die größte ganze Zahl ≤ x.)

(P2) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a_{n}) auf Konvergenz und ermitteln Sie den Grenzwert.

(a) a_{2} = \frac{3}{4} , a_{n} = (1 − \frac{1}{n^{2}} )a_{n−1} (n ∈ ℕ , n ≥ 3),

(b) a_{n} = n(1 − \sqrt{(1 − \frac{a}{n})(1 − \frac{b}{n})} ) (n ∈ ℕ).

(P3) Zeigen Sie: Ist (a_{n}) eine konvergente Folge positiver Zahlen mit lim(a_{n}) = a, so konvergiert auch die Folge (b_{n}) mit b_{n} = \sqrt{a_{n}}, und es gilt lim(b_{n}) = \sqrt{a}.

(H1) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a_{n}) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(a) a_{n} = \frac{3n^{2} − 2n + 1}{4n^{2} − 1} , (b) a_{0} = 5 , a_{n} = 3 − \frac{3}{1 + a_{n−1}} (n ∈ ℕ).

(H2) Untersuchen Sie die Folgen (a_{n}) mit

(a) a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}, (b) a_{n} = (1 + \frac{k}{n})^{n} (k ∈ ℕ).

auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

SS 2001 24.04.2001

Ingenieurmathematik II

1. Hausübungsblatt

(H1) Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a_{n}) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(a) a_{n} = \frac{3n^{2} − 2n + 1}{4n^{2} − 1} , (b) a_{0} = 5 , a_{n} = 3 − \frac{3}{1 + a_{n−1}} (n ∈ ℕ).

(H2) Untersuchen Sie die Folgen (a_{n}) mit

(a) a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}, (b) a_{n} = (1 + \frac{k}{n})^{n} (k ∈ ℕ).

auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor \underline{Ihrer} kleinen Übung in der Woche vom 30.04. bis 04.05.2001

Aktuelle Informationen zur Vorlesung finden Sie unter

http://www.math.tu-clausthal.de/_{}˜ workshop/ss01/

Wichtiger Hinweis:

Die Klausur zur Ingenieurmathematik II im Sommersemester 2001 wird voraussichtlich in der letzten Vorlesungswoche (also in der ersten Julihälfte) geschrieben. Dies betrifft ALLE Teilnehmer der Vorlesung (nicht nur die Studenten des Intensivstudienganges Maschinenbau). Im September 2001 wird daher keine Klausur stattfinden. Nähere Details werden noch bekanntgegeben. Der Anmeldezeitraum zu der Prüfung ist: 07.05.2001 - 25.05.2001. Anmeldung im Prüfungsamt.