Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

SS 2001 08.05.2001

Ingenieurmathematik II

3. Übungsblatt

(P1) Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der reellen Funktionen

(a) y = x − [x],  (b) y = \frac{1 + |x|}{1 − x^{2}} ,  (c) y = \sqrt{|\frac{1 − x}{1 + x}| − 2} .

Skizzieren Sie jeweils den Funktionsverlauf.

(P2) Es sei

E(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} (z ∈ ℂ).

Rechnen Sie nach

(a) die absolute Konvergenz der E(z) definierenden Reihe für alle z ∈ ℂ,

(b) die Funktionalgleichung E(z_{1}) E(z_{2}) = E(z_{1} + z_{2}) für alle z_{1}, z_{2} ∈ ℂ,

(c) die Stetigkeit von E(z) für alle z ∈ ℂ.

(P3) Es sei f auf D = [0, 1] definiert durch

f(x) = \{ \begin{matrix}x & für x ∈ ℚ \\ 1 − x & für x ∉ ℚ . \end{matrix}

Untersuchen Sie f auf Stetigkeit.

(H1) Wo sind die reellen Funktionen f mit

(a) f(x) = \frac{\sqrt{2 + x} − \sqrt{2 − x}}{x} , (b) f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x−1}}}

definiert ? Wo sind sie stetig ? Lassen sie sich in den kritischen Punkten stetig ergänzen ?

(H2) (a) Folgern Sie aus e^{ix} = cos x + i sin x, dass sin x = \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{2i} gilt.

(b) Folgern Sie aus (a) und der Exponentialreihe eine Reihendarstellung für die Sinusfunktion.

(c) Geben Sie analog eine Reihe für sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} an.

(d) Benutzen Sie Ihre Ergebnisse aus (b) und (c), um i sin x und sinh(ix) zu vergleichen.

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

SS 2001 08.05.2001

Ingenieurmathematik II

3. Hausübungsblatt

(H1) Wo sind die reellen Funktionen f mit

(a) f(x) = \frac{\sqrt{2 + x} − \sqrt{2 − x}}{x} , (b) f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x−1}}}

definiert ? Wo sind sie stetig ? Lassen sie sich in den kritischen Punkten stetig ergänzen ?

(H2) (a) Folgern Sie aus e^{ix} = cos x + i sin x, dass sin x = \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{2i} gilt.

(b) Folgern Sie aus (a) und der Exponentialreihe eine Reihendarstellung für die Sinusfunktion.

(c) Geben Sie analog eine Reihe für sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} an.

(d) Benutzen Sie Ihre Ergebnisse aus (b) und (c), um i sin x und sinh(ix) zu vergleichen.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor \underline{Ihrer} kleinen Übung in der Woche vom 14. bis 18.05.2001

Wichtiger Hinweis:

Die Klausur zur Ingenieurmathematik II im Sommersemester 2001 wird voraussichtlich in der letzten Vorlesungswoche (also in der ersten Julihälfte) geschrieben. Dies betrifft ALLE Teilnehmer der Vorlesung (nicht nur die Studenten des Intensivstudienganges Maschinenbau). Im September 2001 wird daher keine Klausur stattfinden. Nähere Details werden noch bekanntgegeben. Der Anmeldezeitraum zu der Prüfung ist: 07.05.2001 - 25.05.2001. Anmeldung im Prüfungsamt.