Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

SS 2001 25.06.2001

Ingenieurmathematik II

9. Übungsblatt

(P1) Es sei f(x, y) = \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} für (x, y) ≠ (0, 0). Berechnen Sie die drei Grenzwerte, sofern

sie existieren.

(a) lim_{x→0}(lim_{y→0} f(x, y)),

(b) lim_{y→0}(lim_{x→0} f(x, y)),

(c) lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y).

Kann die Funktion f im Punkt (0, 0) stetig ergänzt werden?

(P2) Gegeben sei f mit f(x, y) = arctan \frac{y}{x} für x ≠ 0 und v = (1, \sqrt{3}). Bestimmen Sie die Jacobimatrix, die Hessematrix, die Richtungsableitung f′_{v} und Δf.

(P3) Gegeben seien

f_{1}(x, y) = c + x^{2} + 4y^{2}, f_{2}(x, y) = c + x^{2} − 2y^{2},
f_{3}(x, y) = c + x^{2} + 3y^{4}, f_{4}(x, y) = x^{2} + 3xy + y^{2}.

Berechnen Sie jeweils die Hessematrix und untersuchen Sie die Funktionen an den stationären Punkten (Extremstellen, Sattelpunkte). Skizzieren Sie die Funktionen jeweils, (z.B. für c = 0).

(P4) Untersuchen Sie die Funktion f : ℝ^{2} → ℝ mit f(x, y) = −(x^{2} + y^{2})^{2} + x^{2} − y^{2} auf Extremstellen und Sattelpunkte.

(H1) (Nicht zum Abgeben!) Geben Sie alle stationären Stellen (Sattelpunkte, Extremstellen) von f(x, y, z) = (x^{2} − 4)y auf K = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 16} an und untersuchen Sie, ob ein Sattelpunkt, Minimum oder Maximum vorliegt. Geben Sie die absoluten Extrema an. (Hinweis: Untersuchen Sie das Innere und den Rand getrennt!)

Diese Aufgabe wird in der nächsten kleinen Übung besprochen!