Anke Pohl  Hauptsatz der Galoistheorie

4.11 Der Hauptsatz der Galoistheorie^{1}

Zunächst machen wir eine kleine Wiederholung: Es sei eine Körpererweiterung L : K gegeben. Deren Galoisgruppe G besteht bekanntlich aus allen K-Automorphismen von L. Zu dieser Körpererweiterung haben wir zwischen der Menge F aller Zwischenkörper M und der Menge G aller Untergruppen H von G die beiden Abbildungen

∗ : \{ \begin{matrix}F & → & G \\ M & ↦ & M^{∗} \end{matrix}

und

† : \{ \begin{matrix}G & → & F \\ H & ↦ & H^{†} \end{matrix}

gemäß Definition 4.6.5 definiert. Sie erwies sich als ordnungsumkehrend und zeigte die Eigenschaft, dass immer M ⊂ M^{∗†} und H ⊂ H^{†∗} gilt.

Im Folgenden wird u.A. gezeigt, dass unter gewissen Bedingungen an die Körpererweiterung ^{∗} und ^{†} invers zueinander sind.

Dazu wird zunächst eine Definition und ein sehr einfaches Lemma benötigt.

Definition 4.11.1 (separable Elemente, separable Körpererweiterung). Es sei L : K eine Körpererweiterung. Dann heißt ein algebraisches Element α ∈ L separabel über K, wenn α Nullstelle eines separablen Polynoms aus K[X] ist oder, was hierzu äquivalent ist, wenn das Minimalpolynom von α über K separabel ist. Falls jedes Element aus L separabel über K ist, wird L : K separable Körpererweiterung genannt.

Lemma 4.11.2. Es sei L : K eine separable algebraische Körpererweiterung und M ein beliebiger Zwischenkörper. Dann sind M : K und L : M ebenfalls separabel.

Beweis. Trivialerweise ist M : K separabel. Sei also α ∈ L und seien m_{K} und m_{M} die zugehörigen Minimalpolynome über K bzw. M. Dann ist m_{M}|m_{K} in M[X]. Nun ist m_{K} separabel über K, also ist m_{M} separabel über M und L : M somit eine separable Körpererweiterung.

Nach diesen Vorbereitungen können wir einen der wichtigen Sätze der Algebra in Angriff nehmen.

Satz 4.11.3 (Hauptsatz der Galoistheorie). Es sei L : K eine endliche separable normale Körpererweiterung vom Grad n. Weiterhin sei G := Gal(L : K). Dann gilt:

1. Die Galoisgruppe G hat Ordnung n.

1Dieses Kapitel wurde ausgearbeitet, getippt und vorgetragen von Anke Pohl anhand des Kapitels 11 in Ian Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall/CRC, Second Edition 1989

Hauptsatz der Galoistheorie  Anke Pohl

2. Die Abbildungen ^{∗} und ^{†} sind gegenseitig invers und induzieren eine ordnungsumkehrende 1–1 Korrespondenz zwischen F und G.

3. Ist M ein Zwischenkörper, dann folgt

[L : M] = |M^{∗}|

und

[M : K] = \frac{|G|}{|M^{∗}|}.

4. Ein Zwischenkörper M ist genau dann eine normale Körpererweiterung von K, wenn M^{∗} ein Normalteiler von G ist.

5. Ist ein Zwischenkörper M eine normale Körpererweiterung von K, dann ist die Galoisgruppe Gal(M : K) isomorph zu G/M^{∗}.

Teil 1 des Beweises. Der erste Teil ist gerade die Aussage von Korollar 4.10.11.

Für 2. ist zu zeigen, dass für jeden Zwischenkörper M

M^{∗†} = M

gilt und ebenso für jede Untergruppe H von G

H^{†∗} = H

folgt.

Sei also M ein beliebiger Zwischenkörper. Nach Lemma 4.11.2 gilt dann, dass L : M separabel ist und Satz 4.7.10 weist L : M als normal nach. Somit ist M nach Satz 4.10.12 der Fixkörper von M^{∗}, was auch schon

M^{∗†} = M  (4.1)

zeigt. Der andere Teil ist etwas komplizierter. Für eine beliebige Untergruppe H von G haben wir schon festgestellt, dass immer H ⊂ H^{†∗} gilt. Die Feststellung (4.1) liefert

H^{†∗†} = (H^{†})^{∗†} = H^{†}.

Nach Satz 4.9.2 gilt

|H| = [L : H^{†}],

also

|H| = [L : H^{†∗†}]

und wiederum nach Satz 4.9.2

|H^{†∗}| = [L : H^{†∗†}].

Insgesamt haben wir somit

|H| = |H^{†∗}|

erreicht, was wegen der Endlichkeit der Gruppen zu

H = H^{†∗}

führt. Die 1–1 Korrespondenz zwischen F und G ist also

F ↔ Gal(L : F).

Nach früheren Ergebnissen ist sie ordnungsumkehrend.

Der dritte Punkt ist eine einfache Konsequenz des Turmgesetzes: Oben haben wir schon gesehen, dass L : M separabel und normal ist. Nach Korollar 4.10.11 gilt

[L : M] = |M^{∗}|.

Mit dem Turmgesetz 4.5.4 folgt wegen der Endlichkeit der Grade

[M : K] = \frac{[L : K]}{[L : M]} = \frac{|G|}{|M^{∗}|}.

Für den Beweis der letzten beiden Punkte des Hauptsatzes beweisen wir zunächst ein hilfreiches Lemma.

Lemma 4.11.4. Sei L : K eine Körpererweiterung, M ein Zwischenkörper und τ ein K-Automorphismus von L. Dann gilt

(τ(M))^{∗} = τM^{∗}τ^{−1}.

Beweis. Wir setzen N := τ(M). Dann ist zu zeigen

1. τM^{∗}τ^{−1} ⊂ N^{∗}

2. τ^{−1}N^{∗}τ ⊂ M^{∗}.

Sei y ∈ N. Also existiert ein x ∈ M mit τ(x) = y. Dann gilt für jedes γ ∈ M^{∗}

τγτ^{−1}(y) = τγτ^{−1}τ(x) = τγ(x) = τ(x) = y,

also gilt 1. Umgekehrt seien x ∈ M und η ∈ N^{∗} beliebig. Dann setzen wir

τ^{−1}ητ(x) = τ^{−1}τ(x) = x,

somit folgt 2.

Damit können wir jetzt den Rest vom Hauptsatz beweisen.

Teil 2 des Beweises von Satz 4.11.3. Für den vierten Teil sei zunächst M : K normal und τ ∈ G beliebig. Dann ist τ|_{M} : M → L ein K-Monomorphismus. Nach Satz 4.10.9 ist τ|_{M} ein K-Automorphismus von M. Also gilt

τ(M) = M.

Nach obigem Lemma 4.11.4 folgt

τM^{∗}τ^{−1} = M^{∗},

was bedeutet, dass M^{∗} ein Normalteil von G ist.

Sei umgekehrt M^{∗} ein Normalteiler von G. Weiterhin sei σ : M → L ein K-Monomorphismus. Nach Satz 4.10.3 existiert ein K-Automorphismus τ von L mit τ|_{M} = σ. Weil M^{∗} ◁ G ist, haben wir τM^{∗}τ^{−1} = M^{∗} und somit nach Lemma 4.11.4 (τ(M))^{∗} = M^{∗}. Nach 2. heißt dieses aber τ(M) = M, also σ(M) = M, was zeigt, dass σ ein K-Automorphismus von M ist. Nach Satz 4.10.9 ist M : K normal.

Jetzt fehlt nur noch der fünfte Teil: Mit H sei die Galoisgruppe Gal(M : K) bezeichnet. Wir betrachten die Abbildung

φ : \{ \begin{matrix}G & → & H \\ τ & ↦ & τ|_{M}. \end{matrix}

Nach Satz 4.10.9 ist τ|_{M} ein K-Automorphismus von M, also bildet φ überhaupt in H ab. Weiterhin ist φ offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Nach Satz 4.10.3 ist φ surjektiv. Nun ist ker φ = M^{∗} und der Homomorphiesatz 1.8.7 für Gruppen liefert

H = Im φ ≅ G/ ker φ = G/M^{∗}.