Blatt 1 14.04.2003

Algebra II

SS 2003

Dr. habil. Elsholtz

Ein paar Formalia zur Vorlesung. Die Vorlesung wird als 3+1 Veranstaltung gehalten. Es besteht die Möglichkeit, Hausaufgaben abzugeben. Die Hausaufgaben werden von Alexander Herzog korrigiert.

Aufgabe 1 Beweis von Satz 3.1.2

Aufgabe 2 Beweis von Satz 3.1.4

Aufgabe 3 Man zerlege die folgenden Polynome in irreduzible Faktoren, oder beweise, daß das betreffende Polynom bereits irreduzibel ist.

(a) X^{2} + 5X + 1 in ℤ[X],

(b) X^{2} + 1 in (ℤ/5ℤ)[X] und (ℤ/7ℤ)[X],

(c) X^{5} − kX + 1 (k ∈ ℤ ein Parameter) in ℚ[X],

(d) X^{3} − 3 in K[X] mit K = \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\},

(e) X^{2} + Y^{2} − 1 in ℂ[X, Y],

(f) X^{4} + 4Y^{4} in ℤ[i][X, Y] und in ℤ[X, Y].

Aufgabe 4 Man untersuche folgende Polynome in ℚ[X] auf Irreduzibilität:

a) f = X^{5} + 3X^{2} + 3

b) f = X^{2} + X + 1

c) f = X^{5} + 3X^{2} + 1

Aufgabe 5 Man untersuche folgende Polynome in ℚ[X] auf Irreduzibilität:

(a) f = \frac{2}{15}X^{5} + \frac{4}{5}X^{4} − X^{3} + \frac{6}{5}X^{2} − 3X + \frac{1}{5} (b) f = X^{3} + 2X^{2} + 4X + 4

(c) f = X^{3} + 2X^{2} + 2X + 4

(d) f = 4X^{3} + 4X^{2} + 2X + 1

(e) f = X^{4} + 6X^{3} + 12X^{2} + 12X + 7

(f) f = X^{4} + 6X^{3} + 12X^{2} + 12X + 5

(g) f = X^{4} + 15X^{3} + 7

(h) f = 2X^{4} + 11X^{3} + 20X^{2} + 14X + 3

(i) f = X^{500} + X^{375} + X^{250} + X^{125} + 1

Aufgabe 6 (Eisenstein rückwärts) (a) Man beweise: Sei f ∈ ℤ[X] mit f(x) = a_{n}X^{n} +a_{n−1}X^{n−1} +⋯+a_{1}X + a_{0}. Sei p ∤ a_{0}, p|a_{1}, …, p|a_{n} aber p^{2} ∤ a_{n}, dann ist f irreduzibel über ℚ[X].

(b) Man beweise oder widerlege: Sei f ∈ ℤ[x]. Wenn es keine Primzahl p gibt, so daß die Koeffizienten von f die Eisensteinbedingungen für p erfüllen, dann ist f reduzibel.

Aufgabe 7 Sei p eine Primzahl. Man bestimme die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Grad 2 und Grad 3 in (ℤ/pℤ)[X]. Wer über Ostern eine richtige Nuss braucht, kann sich an 3f) und 5i) versuchen.