Blatt 2 28.04.2003

Algebra II

SS 2003

Dr. habil. Elsholtz

\begin{matrix}Aufgabe 1 \\ a) \end{matrix} (Satz 4.4.2): Es seien f und g vom Nullpolynom verschiedene Polynome über einem Körper K. Es sei d = ggT (f, g). Man zeige, dass es zwei Polynome a, b ∈ K[t] gibt, so dass d = af + bg gilt. (Hinweis: Euklidischer Algorithmus).

b) Man betrachte die beiden Polynome f(X) = X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X +1 und g(X) = X^{4} + X^{3} + X + 1 in (ℤ/2ℤ)[X], bestimme ihren GGT und drücke diesen als Linearkombination von f und g aus.

Aufgabe 2 a) Man zeige, dass ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} : a, b, c, d, ∈ ℚ\} gilt.

b) Kann man ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) als einfache Körpererweiterung über ℚ schreiben? (Mit Beweis).

c) Zeigen Sie, dass \sqrt{2} + \sqrt{3} irrational ist.

Aufgabe 3 Seien a und b teilerfremde natürliche Zahlen und x, y ∈ ℂ mit x^{a} = 2, y^{b} = 3. Man zeige ℚ(x, y) = ℚ(x · y) und bestimme das Minimalpolynom von x · y über ℚ.

Aufgabe 4 Man betrachte

A = {a ∈ ℝ : a ist algebraisch über ℚ}.

a) Man zeige, dass A abzählbar ist.

b) Folgern Sie, dass es transzendente relle Zahlen geben muss.

c) Man gebe eine unendliche Kette von (echten) Körpererweiterungen an, die man man zwischen die Körpererweiterung A : ℚ einfügen kann.