Blatt 3 15.05.2003

Algebra II

SS 2003

Dr. habil. Elsholtz

Aufgabe 1 Beweisen Sie: Ein Polynom f ∈ K[t] (wobei f ≢ 0) hat eine mehrfache Nullstelle in dem Zerfällungskörper genau dann wenn f und die formale Ableitung Df einen gemeinsamen Faktor vom Grad ≥ 1 haben.

Aufgabe 2 Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L algebraisch. Der Grad des Minimalpolynoms von a sei r. Weiter sei n eine beliebige natürliche Zahl. Man überlege sich, ob es eine Formel für [K(a^{n}) : K] gibt, die nur von r und n abhängt.

Aufgabe 3 a) Sei L/K eine Körpererweiterung, und seien α, β ∈ L, so dass α + β und α · β algebraisch über K sind. Man zeige: Dann sind auch α und β algebraisch über K.

b) Suchen Sie in einem geeigneten Algebrabuch die Definition von elementarsymmetrischen Funktionen.

c) Sei L/K eine Körpererweiterung, n ∈ ℕ und α_{1}, …, α_{n} ∈ L, so dass

σ_{1}(α_{1}, …, α_{n}), …, σ_{n}(α_{1}, …, α_{n})

algebraisch über K sind. Dabei sind σ_{i} (1 ≤ i ≤ n) die elementarsymmetrischen Funktionen in n Variablen. Man zeige: Unter diesen Voraussetzungen sind auch α_{1}, …, α_{n} algebraisch über K.

Aufgabe 4 Sei K Körper, p ∈ K[X] irreduzibel und F = K[X]/(p). Weiter sei L/K eine Körpererweiterung. Man zeige:

(i) Die Anzahl der K-Einbettungen von F in L ist höchstens deg p.

(ii) Seien a, b ∈ L mit p(a) = p(b) = 0. Dann gibt es einen Isomorphismus φ : K(a) → K(b) mit φ_{|K} = id.

Aufgabe 5 Seien p_{1}, …, p_{n} verschiedene Primzahlen aus ℕ. Man zeige

[ℚ(\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{n}}) : ℚ] = 2^{n}

und folgere

[A : ℚ] = ∞;

dabei bezeichnet A die algebraischen Zahlen über ℚ.

Aufgabe 6 Es seien K/L und L/M jeweils normale Körpererweiterungen. Folgt dann, dass auch K/M normal sein muß?

Aufgabe 7 Es sei f = X^{4} − 2.

(i) Man gebe den Zerfällungskörper L von f über ℚ, den Grad der Körpererweiterung L : ℚ und ein primitives Element, also ein α mit L = ℚ(α).

(ii) Man bestimme die Automorphismen von L und berechne die Galois-Gruppe G = Gal L/ℚ.

(iii) Man gebe alle Untergruppen der Galois-Gruppe G und alle Unterkörper des Zerfällungskörpers L in einem Diagramm an.

(iv) Welche der Untergruppen sind Normalteiler von G und welche Zwischenkörper sind normal über ℚ?