Blatt 4 16.06.2003

Algebra II

SS 2003

Dr. habil. Elsholtz

Da die letzten Aufgaben etwas abstrakt waren, hier ein paar konkrete Aufgaben.

Aufgabe 1 Eine Körpererweiterung heißt galoissch, wenn sie endlich, normal und separabel ist.

(i) Ist die Körpererweiterung ℚ(\sqrt{2 + \sqrt{2}})/ℚ galoissch? Wenn ja, berechne man die Galois-Gruppe der Körpererweiterung.

(ii) Man untersuche analog die Körpererweiterung ℚ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}) /ℚ.

Aufgabe 2 Es sei K ein Körper, f ∈ K[X] ein irreduzibles und separables Polynom. L sei der Zerfällungskörper von f über K. Die Erweiterung L/K ist also galoissch. Man zeige: Ist Gal(L/K) abelsch, so gilt L = K(α) für jede Nullstelle α ∈ L von f.

Aufgabe 3 (i) Man berechne die Galois-Gruppen Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})/ℚ) bzw. Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})/ℚ) und gebe alle Untergruppen bzw. alle Zwischenkörper an. Weiterhin stelle man die Beziehungen der Untergruppen bzw. Zwischenkörper in einem Diagramm dar.

(ii) Seien p_{1}, …, p_{n} verschiedene Primzahlen. Man zeige, dass Gal(ℚ(\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{n}})/ℚ) eine Gruppe mit 2^{n} Elementen ist, wobei für jedes Element a gilt: a^{2} = id. Ist die Galois-Gruppe abelsch? (Es kann eine frühere Aufgabe verwendet werden.)

Aufgabe 4 Sei f = X^{5} − 6X + 3 ∈ ℚ[X].

(i) Man zeige: f ist irreduzibel und separabel. Wieviele reelle Nullstellen hat f?

(ii) Sei L der Zerfällungskörper von f über ℚ. Man zeige G = Gal(L/ℚ) ≅ S_{5}.

Ein möglicher Lösungsweg: Um Automorphismen zu finden, betrachte man die Nullstellen von f. Man zeige, dass G eine Transposition und einen 5-Zykel enthält. Man zeige weiter, daß eine Transposition und ein 5-Zykel bereits S_{5} erzeugen.

Aufgabe 5 (i) Sei p prim. Sei f ∈ ℚ[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad p mit genau p − 2 reellen Nullstellen. Man zeige, dass Gal(f, ℚ) = S_{p} ist. (Hierbei ist Gal(f, ℚ) := Gal(Lℚ), wobei L der Zerfällungskörper von f ist.)

(ii) Man konstruiere für jede Primzahl p ein Polynom mit den Eigenschaften aus (i). (Tip: Man denke an gerade Koeffizienten.)

(iii) Sei n ungerade und g ∈ ℚ[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Man beweise, daß alle Nullstellen reell sind, wenn die Galois-Gruppe Gal(g, ℚ) zyklisch ist.

Aufgabe 6 Sei K ein Körper mit char K ≠ 2, 3. Weiter sei f ∈ K[X] irreduzibel und vom Grad 3. L sei der Zerfällungskörper von f über K, α_{1}, α_{2}, α_{3} seien die Nullstellen von f in L und Δ = ∏_{1≤i<j≤3}(α_{i} − α_{j})^{2} die Diskriminante von f. Dann gilt Gal(L/K) ≅ S_{3}, falls Δ kein Quadrat in K ist; andernfalls ist Gal(L/K) ≅ A_{3}.

Die Aufgaben werden voraussichtlich in der Übung vom 7. Juli besprochen. Lösungen bitte bis Do. 3. Juli abgeben.