% Percentage signs mark comments that will not appear in the printed version.
% Everything between % and the end of the line is ignored.

%  This document has the article specification. 
%  Some alternative specifications are `book' and `amsart'.
\documentclass[10pt,a4paper]{article}

%  These commands bring in all the nice fonts and symbols
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{german}

%  These settings mean we don't waste too much paper
%\setlength{\textheight}{23cm}
%\setlength{\textwidth}{15.5cm}
%\setlength{\topmargin}{-0.5cm}
%\setlength{\evensidemargin}{0.5mm}
%\setlength{\oddsidemargin}{0.5mm}

%  Some abbreviations
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\End}{\text{End}}

%  Usually journal style files will have their own theorem environments
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newenvironment{proof}{\noindent \textbf{Proof.}}

\begin{document}

\title{Ein paar Latex Beispiele}

\author{Christian Elsholtz\\
 (nach einer Vorlage von S.D. Galbraith)}

\date{M\"arz 2012}

\maketitle


\begin{abstract}
In diesem Dokument zeigen wir einige Beispiele, wie man das 
{\LaTeX} Paket verwendet.
\end{abstract}


\section{Introduction}
Oft lernt man Latex, indem  man sich ansieht, wie andere es machen,
zu diesem Zwecke muss man sich das Latex file (source code) ansehen!
Oft verwendet man erst mal ein template, 
und erste Abschnitte und Formeln werden einf\"ugt.
Es gibt nat\"urlich auch systematische Anleitungen.
Mit mehr \"Ubung will man sich dann die \glqq Pr\"aambel\grqq\ den 
eigenen Gewohnheiten anpassen.


Ich habe ein paar latex Links zusammengestellt, die hier
zu finden sind:
\noindent
\begin{verbatim}
http://www.math.tugraz.at/elsholtz/WWW/lectures/ss12/verfassen/vorlesung.html
\end{verbatim}


So schreibt man \textbf{fett/bold face} oder \emph{kursiv/italics (emphasised)}
oder \textsf{sans serif font} oder in \texttt{typewriter style}.

Man kann den Text {\large gro\ss\ }, {\Large gr\"o\ss er},
{\LARGE noch gr\"o\ss er } oder {\huge riesengro\ss\ } schreiben.
Analog {\small small},  {\scriptsize scriptsize} {\tiny tiny}.

\section{Formeln}
Der Hauptgrund Latex zu verwenden, ist nat\"urlich
die F\"ahigkeit, Formeln schnell und sch\"on setzen zu k\"onnen.

H\"aufig gebrauchte Hilfsmittel sind Exponenten, Index, Br\"uche:
\[
    x_{2}^{45} \qquad a_{1, 2}^{2^{5}} \qquad \frac{ 2 + x}{ x^2 + 1 }
    \qquad \tfrac{1}{2}.
\]

Man kann kurze Formeln in die Zeile setzen, 
wie z.B. $\int_0^2 e^x dx$, 
(geschrieben mit Dollarzeichen)
oder abgesetzt, im Diplay Modus:
\[
    \frac{\sin(x)}{x^2 + e^x + 23}.
\]
Man kann dies auch mit zwei Dollarzeichen schreiben:
$$    \frac{\sin(x)}{x^2 + e^x + 23}. $$

Wenn man viele Gleichungen hat, und sp\"ater auf eine zur\"uckgreifen will, 
verwendet man equation numbers.
Dazu gibt man der Gleichung ein Label, das man sp\"ater referenzieren kann.

Siehe z.B. Gleichung (\ref{eq-one}) unten:
\begin{equation}
  \label{eq-one}
   \sum_{i=0}^{N_3} \binom{N_4}{i} \frac{x^i}{i !}
\end{equation}

Gleichungen k\"onnen nat\"urlich auch gro\ss\ werden.
\begin{eqnarray}
   f(x) &=& (x + 1) (x + 2) (x + 3 ) \\
    &=& x^3 + 6x^2 + 11x + 6 
\end{eqnarray}
oder analog ohne Gleichungsnummern
\begin{eqnarray*}
   f(x) &=& (x + 1) (x + 2) (x + 3 ) \\
    &=& x^3 + 6x^2 + 11x + 6 .
\end{eqnarray*}


Referenzen zur Literatur macht man analog mit Label und Referenz
 \cite{cohen}.

Griechische Buchstaben sind einfach:
$\alpha, \beta, \gamma, \Gamma, \delta, \Delta, \dots$.
Andere Schrift-fonts z.B. das kalligraphische
$\mathcal{A}, \mathcal{B}$ und  blackboard bold $\mathbb{A}, \mathbb{R}$.
H\"aufig verwendete wie $\R$ und $\C$ bekommen in der Pr\"aambel eine 
Abk\"urzung.


Unterstreichen und \"Uberstreichen
\[
    \underline{x} \in \overline{\mathbb{Q}}.
\]
Es gibt zahlreiche Symbole wie 
$\Rightarrow, \rightarrow, \in, <, \le, \subset, \subseteq, \mid, 
\dagger, \star, \oplus, \times, \pounds, \S, \perp $.

F\"ur Kongruenzen verwendet man  
$a \equiv 23 \bmod{78}$ der $a \equiv 23 \pmod{78}$.

Die Verneinung von Operationen:
\[
   a \not= b , \; \; a \not\equiv b \bmod{c}.
\]

Wenn man Klammern mit
\verb|\left| und \verb|\right| 
schreibt, passen sie sich in der Gr\"o\ss e automatisch an:
\[
   \left\{ 0, \frac{1}{2}, 1 \right\}, \;
   \left( \sum_{i=1}^3 (i^2 + 2) \right), \;
   \left[ 1 + \frac{1}{2 + \frac{2}{4 + \frac{1}{5}}} \right].
\]

Tabellen:


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
  $N$ & Information \"uber die Zahlen $N$ \\
 \hline
  2 & ist prim \\
  3 & ist prim \\
  4 & ist ein Quadrat \\
  5 & ist eine Primzahl \\
  6 & ist aus zwei Primfaktoren zusammengesetzt. \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vskip 2.2cm

{\begin{verbatim} \vskip 2cm \end{verbatim} }
verschafft Platz. Es ist aber eigentlich schlechter Stil, viel
mit solchen Befehlen zu justieren. Latex formiert recht gut!


Auf S\"atze, Lemmata usw. kann man auch mit \verb \ref  verweisen.
\ref{main-thm}.


Eine Matrix 
\[\begin{matrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{matrix}\qquad 
\begin{pmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{pmatrix}
\]
\section{Ein Satz}

\begin{theorem}
\label{main-thm}
Let $E/F$ be an elliptic curve defined over a number field $F$.
Let $\End(E) = \OO$ be an order of discriminant $D$.
Let $p$ be a prime for which $E$ has good and supersingular reduction.
Let $\wp $ be a prime ideal of $F$ above $p$. Let $\tilde E$ 
over $k=\F_{p^m}$ be the reduction mod $\wp $ of $E$.
Let $\pi$ be the $p^m$-Frobenius map on $\tilde{E}$.
Suppose $r \mid \# \tilde{E}( \F_{p^m} )$ is a prime
such that $r > 3$ and $r \nmid pD$.

Let $d\in \N$ be such that $\sqrt{-d} \in \OO$.
Let $\Psi \in \End (E)$ satisfy  $\Psi^2=-d$.
Let $\psi \in \End_{\F_p}(\tilde E)$ be the 
reduction mod $\wp$ of $\Psi$.
Then $\psi$ is a suitable distortion map for points $P \in \tilde{E}[r]$
which lie in a $\pi$-eigenspace.
\end{theorem}


\begin{proof} 
Naja, keiner von uns w\"urde die Details verstehen. \hfill $\Box$
\end{proof}

\section{Weiteres}

\subsection{Unterabschnitte/Subsections}
\label{sub-sec}

Dies ist Unterabschnitt \ref{sub-sec}.




\subsection{Kleine Unterschiede}

Im Laufe der Zeit lernt man auch feinere Unterschiede.
\begin{itemize}
%\item Englische Anf\"uhrungszeichen ``quotes'' statt "quotes".
%(Kann vom Editor abh\"angen.)

\item ``quotes'' verschafft englische Anf\"uhrungszeichen.
F\"ur deutsche: \glqq verwende man \verb \glqq\  und \verb \grqq \grqq .
(Um ein Leerzeichen danch zu bekommen verwendet man
\begin{verbatim*}\ \end{verbatim*}

Eine neue Seite kann man mit \verb \newpage \  erzwingen.

\newpage

\item $a \mid b$ und  $a \nmid b$ statt
$a | b$ and $a \not| b$.
\item
Umlaute:
In der German Option sollten Umlaute funktionieren.
Das h\"angt nat\"urlich auch von der Tastatur ab, und
wenn man files mit anderen Systemen austauscht, ist es nicht immer optimal.
Auf jeden Fall funktionieren Umlaute auch so: \"{a}, oder einfacher \"o.
\end{itemize}



\section{Latex \"ubersetzen}
In Linux:
die Datei sei file.tex\\
latex file.tex erzeugt (wenn alles glatt geht) eine Datei file.dvi.
Diese kann man ansehen, zB mit xdvi file.dvi \& (oder kdvi...).
Es wird auch eine Datei file.log erzeugt, mit diversen Informationen,
Warnungen, Fehlermeldungen usw.

F\"ur die Referenzen und Bibliographie wird auch file.aux angelegt, um das
man sich meist nicht k\"ummern braucht.


Mit pdflatex file.dvi erzeugt man direkt ein pdf file.

Man muss normalerweise (bei einem neuen File) 2-3 mal \"ubersetzen, um die
internen Referenzen korrekt zu bekommen.

\section{Hausaufgaben}
\begin{enumerate}
\item
Schreiben Sie ein kleines Latex file und konvertieren Sie es zu dvi und 
wichtiger zu pdf. (Das latex Template darf verwendet werden).
\item
\"Uberlegen Sie sich, wie man eine Satz-Umgebung erzeugt.
analog f\"ur Definition und Lemma. Und probieren, wie die Numerierung von
mehreren davon ist.
\item
Analg: eine Beweis-Umgebung. Vielleicht finden Sie im Internet L\"osungen?
\item Wie schreibt man Integrale sch\"on?
\end{enumerate}


\begin{thebibliography}{}

\bibitem{boneh} D. Boneh,
The decision Diffie-Hellman problem,
in J. Buhler (ed.), ANTS III, Springer LNCS 1423
(1998) 48--63.

\bibitem{cohen} H. Cohen,
{\it A course in computational algebraic number theory},
Springer GTM 138 (1993).

\bibitem{gross} B. H. Gross,
Heights and special values of $L$-series, 
CMS proceedings, \textbf{7}, AMS (1986), 115--187.

\bibitem{velu} J. V\'elu,
Isog{\'e}nies entre courbes elliptiques,
C. R. Acad.\ Sci.\ Paris,
S{\'e}rie A, 273 (1971) 238--241.

\end{thebibliography}

\end{document}

