13. Determinanten

13.1. Determinantenformen

Definition 13.1: Die Abbildung Δ : M_{n,n} → ℝ habe die Eigenschaften

(a) Δ(…, x⃗_{ν} + x⃗′_{ν}, …) = Δ(…, x⃗_{ν}, …) + Δ(…, x′_{ν}, …).

(b) Δ(…, cx⃗_{ν}, …) = c Δ(…, x⃗_{ν}, …).

(c) Δ(x⃗_{1}, …, x⃗_{n}) = 0, falls die x⃗_{i} linear abhängig sind.

(d) Δ(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) ≠ 0.

Dann heißt Δ eine Determinantenform auf M_{n,n}.

a) und b): linear bezüglich Matrixzeilen. c) und d): Dimension.

Satz 13.2

(a) Δ(…, x⃗_{μ}, …, x⃗_{ν}, …) = Δ(…, x⃗_{μ} + cx⃗_{ν}, …, x⃗_{ν}, …).

(b) Δ(…, x⃗_{μ}, …, x⃗_{ν}, …) = − Δ(…, x⃗_{ν}, …, x⃗_{μ}, …).

(c) Δ(x⃗_{π(1)} , …, x⃗_{π(n)}) = sgn(π) Δ(x⃗_{1}, …, x⃗_{n}).

Fakt: Jede Permutation von 1, …, n läßt sich durch eine Folge von Vertauschungen zweier Zahlen schreiben. Die Anzahl der hierzu benötigten Vertauschungen ist entweder immer gerade (sgn π = 1) oder immer ungerade (sgn π = −1).

Sei {a⃗_{1}, …, a⃗_{n}} eine Basis des ℝ^{n}. Wir schreiben jeden Zeilenvektor x⃗_{ν} = (x_{ν1}, …, x_{νn}) in der Form x⃗_{ν} = x_{ν1}a⃗_{1} + ⋯ + x_{νn}a⃗_{n}.

Satz 13.3 Δ(x⃗_{1} …, x⃗_{n}) = (∑_{π} sgn(π)x_{1π(1)} ⋯ x_{nπ(n)} ) Δ(a⃗_{1} …, a⃗_{n}). Δ(x⃗_{1} …, x⃗_{n}) = 0 ⟺ die x⃗_{i} sind linear abhängig. Man setzt speziell: a⃗_{i} = e⃗_{i}. Def. 13.4. Die Determinantenform mit Δ(e⃗_{1}, …, e⃗_{n}) = 1 nennt man Determinante. Man schreibt: Δ(x⃗_{1} …, x⃗_{n}) =

|\begin{matrix}x_{11} & ⋯ & x_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ x_{n1} & ⋯ & x_{nn} \end{matrix}| = ∑_{π} sgn(π)x_{1π(1)} ⋯ x_{nπ(n)}.

Bsp. 13.5

Für n = 2, |\begin{matrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} | = x_{11} x_{22} −x_{12} x_{21} .

Für n = 3,

|\begin{matrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix} | =

x_{11} x_{22} x_{33} + x_{12} x_{23} x_{31} + x_{13} x_{21} x_{32}

− x_{11} x_{23} x_{32} − x_{12} x_{21} x_{33} − x_{31} x_{22} x_{13} . (Regel von Sarrus).

Satz 13.6 Für Matrizen A, B ∈ M_{n,n} gilt:

det (BA) = det B det A.