Beispiele

Beispiel 1: Drehung Gegeben sei

M = \frac{1}{4} (\begin{matrix}−2 & 3 & √3 \\ 0 & −2 & 2√3 \\ 2√3 & √3 & 1 \end{matrix} ) .

a) Zeigen Sie, dass M eine orthogonale Matrix ist.

b) Zeigen Sie: Die zu M gehörende Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} ist eine Drehung.

c) Geben Sie Drehachse und Drehwinkel mit Drehrichtung an.

d) Man gebe eine Basistransformation mit einer orthogonalen Matrix S an, so dass

Dr = SMS^{−1} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & sin α \\ 0 & − sin α & cos α \end{matrix})

Tabelle von Cosinuswerten

Winkel in Grad (abgeschnittener)

Cosinus-wert

5 0.996
10 0.984
15 0.965
20 0.939
25 0.906
30 0.866
35 0.819
40 0.766
45 0.707
50 0.642
55 0.573
60 0.5
65 0.422
70 0.342
75 0.258
80 0.173
85 0.087
90 0

Winkel Cosinus-wert
95 −0.087
100 −0.173
105 −0.258
110 −0.342
115 −0.422
120 −0.5
125 −0.573
130 −0.642
135 −0.707
140 −0.766
145 −0.819
150 −0.866
155 −0.906
160 −0.939
165 −0.965
170 −0.984
175 −0.996
180 −1

Winkel Cosinus-wert
185 −0.996
190 −0.984
195 −0.965
200 −0.939
205 −0.906
210 −0.866
215 −0.819
220 −0.766
⋮ ⋮
265 −0.087
270 0

Winkel Cosinus-wert
275 0.087
280 0.173
285 0.258
290 0.342
295 0.422
300 0.5
305 0.573
310 0.642
⋮ ⋮
355 0.996
360 1

Beispiel 2: Potenzen von Matrizen Gegeben sei eine Matrix A. Man gebe ein Verfahren an, um effizient A^{100} zu berechnen. A^{100} = A · A · A ⋯ A ist zu aufwendig, und anfällig für Rundungsfehler.

Man definiere e^{A} bzw.

exp (A) = ∞ ; ∑ ; k=0 \frac{A^{k}}{k!}.

Man berechne dies für A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}).