Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester

Matrikel-Nr.  Punkte  Bonuspunkte  Summe  Note

(K1)  (K2)  (K3)  (K4)  (K5)  (K6)

\underline{Ggf. ankreuzen : Mit Aushang des Ergebnisses unter meiner Matrikel-Nr. bin ich einverstanden.}

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 19. März 2001

Klausur zur Ingenieurmathematik I

Wählen Sie von den nachstehenden sechs Aufgaben vier zur Bearbeitung aus.

(K1) Bestimmen Sie alle x ∈ mit 3 cotx + 2 sinx = 0.

Hinweis : cotx = \frac{cos x}{sin x} .

(K2)

Geben Sie die Nullstellen des Polynoms f(z) := z^{6} + 64 in der Form a + bi mit a, b ∈ an, und skizzieren Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene.

(K3)

Zeigen Sie durch Induktion, daß die Ungleichung

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > 2 \sqrt{n + 1} − 2

für alle n ∈ gilt.

Hinweis : (\sqrt{a} − \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a − b.

(K4) Die Vektoren a⃗ = (1, −2, 3), b⃗ = (0, 4, −3), c⃗ = (−1, 4, 0) im ^{3} führen vom Null-

punkt 0 zu den Punkten A, B, C.

(a) Berechnen Sie das Volumen V des von a⃗, b⃗, c⃗ erzeugten Parallelotops (Spats), die Längen seiner vier Raumdiagonalen sowie die Fläche F des Dreiecks △(A, B, C).

(b) Wie lautet die Gleichung der Ebene ℰ durch A, B, C, wie groß ist der Abstand d der Ebene ℰ vom Nullpunkt, und welche Koordinaten hat der Fußpunkt des Lotes von 0 auf ℰ?

Hinweis : Die Fläche F in (a) ist eine rationale Zahl.

Bitte Rückseite beachten!

(K5)

Berechnen Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} − 2x_{4} = 2

2 x_{1} + 6 x_{2} + 4 x_{3} + x_{4} = 1
5 x_{1} + 13 x_{2} + 10 x_{3} = 4
3 x_{1} + 7 x_{2} + 6 x_{3} − x_{4} = 3 .

Hinweis : Die Umformungsschritte müssen erkennbar sein. (K6)

Gegeben sei die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A.

(b) Ist A zu einer Diagonalmatrix D ähnlich? Geben Sie ggf. D und eine Transformationsmatrix S mit D = SAS^{−1} an.