Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 19.12.2000

Ingenieurmathematik I

10. Übungsblatt

(P1) Es sei a⃗ = (−1, 2), b⃗ = (2, 5).

(a) Berechnen und skizzieren Sie 2 a⃗ , −a⃗ , −\frac{3}{2} b⃗, a⃗ + b⃗, b⃗ − a⃗ , a⃗ − b⃗.

(b) Sind a⃗ und b⃗ linear unabhängig?

(c) Stellen Sie c⃗ = (0, 18) als Linearkombination von a⃗ und b⃗ dar. (P2) Es sei a⃗ = (1, 3), b⃗ = (−2, 5), c⃗ = (6, −15).

(a) Berechnen Sie det(a⃗, b⃗), det(a⃗ − c⃗, b⃗ − c⃗), det(λ b⃗, μ c⃗).

(b) Bestimmen Sie jeweils x_{1} und x_{2} aus x_{1}a⃗+x_{2}b⃗ = 0 bzw. x_{1}b⃗+x_{2}c⃗ = 0 bzw. x_{1}a⃗+

x_{2}b⃗ = c⃗ bzw. x_{1}b⃗ + x_{2}c⃗ = a⃗.

(P3) Es sei a⃗ = (2, 1), b⃗ = (−1, 1), c⃗ = (1, −2).

(a) Zeigen Sie, daß je zwei dieser Vektoren linear unabhängig sind.

(b) Stellen Sie c⃗ als Linearkombination von {a⃗, b⃗} dar.

(c) Für welche x⃗ ∈ ^{2} gilt det(a⃗, x⃗) = 1? (Skizze!). Welche davon erfüllen det(b⃗, x⃗) =

0?

(P4) Es sei a⃗ = (0, −1, 2), b⃗ = (1, 0, 1), c⃗ = (2, 3, 0). Berechnen Sie (a⃗ × b⃗) · c⃗, (c⃗ × b⃗) · a⃗ , b⃗ × (a⃗ × c⃗), (b⃗ × a⃗) × c⃗, (a⃗ × b⃗) · (c⃗ × b⃗) und (a⃗ × b⃗) × (c⃗ × a⃗).

(H1) Gegeben seien die Vektoren a⃗_{1} = (1, 2, 3), a⃗_{2} = (3, −1, 2), a⃗_{3} = (2, 1, 3), a⃗_{4} = (1, 3, 2).

(a) Vier Vektoren des ^{3} sind immer linear abhängig. Rechnen Sie dies für die Vektoren a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3} und a⃗_{4} nach.

(b) Sind die Vektoren a⃗_{1}, a⃗_{2}, und a⃗_{4} linear abhängig? (H2) Durch die Punkte A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (3, 4, 0) ist ein Dreieck gegeben.

Berechnen Sie

(a) die Seitenlängen, die Fläche und den Winkel bei A,

(b) den Vektor der Höhe durch C,

(c) die Richtung der Winkelhalbierenden durch A,

(d) das Volumen des Tetraeders mit den Ecken A, B, C und (0, 0, 0).

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

10. Hausübungsblatt

(H1) Gegeben seien die Vektoren a⃗_{1} = (1, 2, 3), a⃗_{2} = (3, −1, 2), a⃗_{3} = (2, 1, 3), a⃗_{4} = (1, 3, 2).

(a) Vier Vektoren des ^{3} sind immer linear abhängig. Rechnen Sie dies für die Vektoren a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3} und a⃗_{4} nach.

(b) Sind die Vektoren a⃗_{1}, a⃗_{2}, und a⃗_{4} linear abhängig?

(H2) Durch die Punkte A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (3, 4, 0) ist ein Dreieck gegeben. Berechnen Sie

(a) die Seitenlängen, die Fläche und den Winkel bei A,

(b) den Vektor der Höhe durch C,

(c) die Richtung der Winkelhalbierenden durch A,

(d) das Volumen des Tetraeders mit den Ecken A, B, C und (0, 0, 0).

Wir wünschen Ihnen ein schönes Weihnachtsfest und alles Gute für das Jahr 2001

Hinweise:

1. Am Montag, dem 8. Januar, und Dienstag, dem 9. Januar, findet keine Vorlesung bzw. große Übung statt. (Die Zeit ist durch die 6-Minuten Verlängerungen in den anderen 15 Wochen ausgeglichen.) In dieser Woche finden aber kleine Übungen statt, in denen die Tutoren mit Ihnen einerseits Aufgaben der vorherigen Übungsblätter besprechen, und andererseits auf Fragen eingehen werden. Stellen Sie also rechtzeitig Ihre Fragen an die Tutoren, z.B. per email, damit sich diese entsprechend vorbereiten können. Vergessen Sie auch nicht, Ihre alten Übungsblätter mitzubringen.

2. Es wurde mehrfach gefragt, welche Hilfsmittel in der Klausur zugelassen sind: Sie dürfen ein handbeschriebenes Blatt (Vor- und Rückseite) benutzen, sonst nichts.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 16.1. bis Donnerstag 18.1.2001.