Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 23.01.2001

Ingenieurmathematik I

12. Übungsblatt

(P1) Berechnen Sie jeweils die Lösungsmenge von

\begin{aligned}(a) & x + y + z & = 2 \\ & 2x + 4y − 4z & = 4 \\ & 3x + y + 3z & = 0. \end{aligned}  \begin{aligned}(b) & x + 2y + 2z & = 1 \\ & 2x + 4y + 5z & = 4 \\ & 5x + 10y + 11z & = 9. \end{aligned}

(P2) Es sei

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & −3 \\ 2 & −2 & −1 \end{matrix}) , B = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ −2 & 4 & 0 \\ −3 & 0 & 1 \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung A · X = B.

(b) Berechnen Sie detA, detB und detX.

(P3) Für welche Werte a, b ∈ hat das lineare Gleichungssystem

\begin{aligned}x_{1} + & x_{2} + & x_{3} & = 1 \\ 2x_{1} − & x_{2} + & 4x_{3} & = 5 \\ x_{1} + & 4x_{2} + & ax_{3} & = b \end{aligned}

keine, genau eine, bzw. unendlich viele Lösungen?

(H1) Die Ebene ℰ : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 und der Punkt P = (4, 1, 0) sind gegeben.

(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g_{1}, die auf ℰ senkrecht steht und durch P geht.

(b) Bestimmen Sie den Fußpunkt P_{0} des Lotes von P auf ℰ.

(c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene ℰ.

(d) Berechnen Sie den Abstand der Geraden g_{2} : x⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) von der Geraden

g_{1} aus (a).

(H2) Für welche Wahl von α und β hat das folgende lineare Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen.

u + v + βw + αz = 3
v  − αz = −2
−2u − 2v − βw + αz = −5
βw + αz = 1.

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

12. Hausübungsblatt

(H1) Die Ebene ℰ : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 und der Punkt P = (4, 1, 0) sind gegeben.

(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g, die auf ℰ senkrecht steht und durch P geht.

(b) Bestimmen Sie den Fußpunkt P_{0} des Lotes von P auf ℰ.

(c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene ℰ.

(d) Berechnen Sie den Abstand der Geraden g_{2} : x⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s ( \begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) von der Geraden

g_{1} aus (a).

(H2) Für welche Wahl von α und β hat das folgende lineare Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen.

u + v + βw + αz = 3
v  − αz = −2
−2u − 2v − βw + αz = −5
βw + αz = 1.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 30.1. bis Donnerstag 1.2.2001.

Das Prüfungsamt hat folgende Klausurtermine festgelegt:

• Für den Intensiv-Studiengang Maschinenbau:

Samstag, den 17.02.2001 um 10.30 (pünktlich), im Hörsaal B (geändert!) des Mathematikinstitutes.

• Für alle anderen Studiengänge: Montag, den 19.03.2001. Details folgen noch. Sie müssen sich im Prüfungsamt rechtzeitig anmelden!