Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 24.10.2000

Ingenieurmathematik I

2. Übungsblatt

(P1) (a) Schreiben Sie als gewöhnliche Brüche in der Gestalt x = \frac{n}{m} mit n ∈ , m ∈ :

(i) x = 0, 1723,  (ii) x = −3, 17\overline{23},  (iii) x = 1, \overline{1723}.

(b) Geben Sie die Dezimalbruchdarstellung für folgende Brüche an:

(i) x = \frac{1}{16} ,  (ii) x = −\frac{33}{17} ,  (iii) x = \frac{6}{125} .

(P2) (a) Es seien a_{1}, …, a_{n} , b_{1}, …, b_{n} reelle Zahlen, und es sei A_{k} = ∑_{j=1}^{k} a_{j} für 0 ≤ k ≤ n.

Beweisen Sie

∑_{k=1}^{n} a_{k}b_{k} = A_{n}b_{n} + ∑_{k=1}^{n−1} A_{k}(b_{k} − b_{k+1}).

Hinweis: a_{k} = A_{k} − A_{k−1} .

(b) Beweisen Sie

∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

durch Anwendung der Formel aus (a).

(P3) Zeigen Sie, daß unter den Rechtecken mit dem Umfang U das Quadrat den größten Flächeninhalt besitzt.

(P4) Es seien x_{1}, x_{2}, … positive Zahlen. Beweisen Sie, daß für alle n ∈ gilt

( ∑_{ν=1}^{n} x_{ν}) · ( ∑_{ν=1}^{n} \frac{1}{x_{ν}} ) ≥ n^{2}.

(H1) Gegeben seien die nichtleeren Mengen X, Y und die Abbildung f : X ) Y. Ferner seien M_{1}, M_{2} ⊆ X. Beweisen Sie:

(a) f(M_{1} ∪ M_{2}) = f(M_{1}) ∪ f(M_{2}), (b) f(M_{1} ∩ M_{2}) ⊆ f(M_{1}) ∩ f(M_{2}).

(c) Geben Sie ein Beispiel dafür, daß in (b) keine Gleichheit bestehen muß.

(H2) (a) Für genau welche natürlichen Zahlen n gilt 4^{n} ≥ n^{4}? Begründung?

(b) Für alle natürlichen Zahlen n sei

s_{n} = ∑_{1≤ν<2^{n}} \frac{1}{ν} .

Beweisen Sie: Für alle n ≥ 2 gilt \frac{n}{2} < s_{n} < n. Hinweis: Betrachten Sie die Summen

∑_{2^{j}≤ν<2^{j+1}} \frac{1}{ν} .

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 24.10.2000

Ingenieurmathematik I

2. Hausübungsblatt

1. Gegeben seien die nichtleeren Mengen X, Y und die Abbildung f : X ) Y. Ferner seien M_{1}, M_{2} ⊆ X. Beweisen Sie:

(a) f(M_{1} ∪ M_{2}) = f(M_{1}) ∪ f(M_{2}),

(b) f(M_{1} ∩ M_{2}) ⊆ f(M_{1}) ∩ f(M_{2}).

(c) Geben Sie ein Beispiel dafür, daß in (b) keine Gleichheit bestehen muß.

2. (a) Für genau welche natürlichen Zahlen n gilt 4^{n} ≥ n^{4}? Begründung?

(b) Für alle natürlichen Zahlen n sei

s_{n} = ∑_{1≤ν<2^{n}} \frac{1}{ν} .

Beweisen Sie: Für alle n ≥ 2 gilt \frac{n}{2} < s_{n} < n. Hinweis: Betrachten Sie die Summen

∑_{2^{j}≤ν<2^{j+1}} \frac{1}{ν} .

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom 30.10. bis 03.11.2000.