Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 31.10.2000

Ingenieurmathematik I

3. Übungsblatt

(P1) Es seien f : A ) B und g : B ) C Abbildungen. Zeigen Sie: Sind f und g surjektiv (injektiv), so ist g ∘ f surjektiv (injektiv).

(P2) a) Beweisen Sie, daß folgende Zahl x_{1} irrational ist: x_{1} = 0, 1 2 3 4 5 6 7 …98 99 100 101 …

b) Beweisen Sie analog, daß folgende Zahl x_{2} irrational ist: x_{2} = 0, 1 4 9 16 25 36 …

(P3) (a) Gegeben sei eine Folge (F_{n}) durch

F_{0} = 0,
F_{1} = 1,
F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}.

Berechnen Sie die Folgenglieder F_{0} bis F_{10}.

(b) Gegeben sei weiter eine Folge (G_{n}) mit

G_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ( ζ^{n} + \frac{(−1)^{n+1}}{ζ^{n}} ) .

Dabei sei ζ die positive Nullstelle von x^{2} − x − 1. Berechnen Sie ζ und die Folgenglieder G_{0}, G_{1}, G_{2}, G_{3}.

c) Beweisen Sie induktiv, daß für n ≥ 0 F_{n} = G_{n} ist.

Anleitung:

Induktionsbeginn:  …

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung sei für 0, 1, …, n+1 (insbeson-

dere für n und n + 1) bereits bewiesen.

Induktionsbehauptung:  Dann gilt auch F_{n+2} = G_{n+2}.

• Ergänzen Sie den Induktionsbeginn und führen Sie den Induktionsschritt wie folgt aus.

• Sie wollen aus

\begin{aligned}F_{n} & = & G_{n} & = & \frac{1}{\sqrt{5}} ( ζ^{n} + \frac{(−1)^{n+1}}{ζ^{n}} ) \\ F_{n+1} & = & G_{n+1} & = & \frac{1}{\sqrt{5}} ( ζ^{n+1} + \frac{(−1)^{n+2}}{ζ^{n+1}} ) \end{aligned}

folgern, daß G_{n} + G_{n+1} = G_{n+2}, also F_{n+2} = G_{n+2} ist. Überlegen Sie sich, daß es ausreicht,

ζ^{n} + ζ^{n+1} = ζ^{n+2}  und  (1)
\frac{(−1)^{n+1}}{ζ^{n}} + \frac{(−1)^{n+2}}{ζ^{n+1}} = \frac{(−1)^{n+3}}{ζ^{n+2}}  (2)

zu beweisen. Benutzen Sie dazu, daß ζ Nullstelle von x^{2} − x − 1 ist.

Anmerkungen:

• Das Verhältnis ζ : 1 = 1, 61 … ist auch (in Kunst, Architektur, usw.) als der goldene Schnitt (sectio aurea) bekannt. Teilt man eine Strecke der Länge c in zwei Teilstrecken der Länge a und b so, daß \frac{b}{a} = \frac{c}{b} gilt, so verhält sich b : a wie ζ : 1.

• Die Zahlen F_{n} heißen auch Fibonacci-Zahlen und treten an verschiedenen Stellen in der Mathematik immer wieder auf.

(P4) Diskutieren Sie folgende ”Beweise“:

a) Satz: Alle Elefanten sind blau. ”Beweis“ durch Induktion:

Induktionsanfang: Für alle Mengen mit n = 0 Elefanten ist die Aussage korrekt.

Induktionsschritt: Die Aussage sei bewiesen für alle Mengen mit n Elefanten. Sei nun eine Menge {E_{1}, …, E_{n+1} } mit n + 1 Elefanten gegeben. Nun gilt aber für die n-elementigen Mengen {E_{1}, …, E_{n}} und {E_{2}, …, E_{n+1} }, daß alle darin enthaltenen Elefanten blau sind. Somit ist die Aussage auch für die (n + 1)-elementigen Mengen bewiesen.

b) Satz: Alle Pferde haben die gleiche Farbe. ”Beweis“ durch Induktion (analog zu oben): Induktionsanfang: Für alle Mengen mit einem Pferd (n = 1) ist die Aussage

korrekt.

Induktionsschritt: Die Aussage sei bewiesen für alle Mengen mit n Pferden. Sei nun eine Menge {P_{1}, …, P_{n+1} } mit n + 1 Pferden gegeben. Nun gilt aber für die n-elementigen Mengen {P_{1}, …, P_{n}} und {P_{2}, …, P_{n+1} }, daß alle darin enthaltenen Pferde die gleiche Farbe haben. Somit ist die Aussage auch für die (n + 1)- elementigen Mengen bewiesen.

Gilt der Einwand, den Sie gegen die Argumentation in a) hatten, auch in b)?

(H1) Es seien f : A ) B und g : B ) C Abbildungen. Zeigen Sie:

(a) Ist g ∘ f surjektiv, so ist g surjektiv.

(b) Ist g ∘ f injektiv, so ist f injektiv.

(H2) Beweisen Sie, daß \sqrt[3]{5} irrational ist.

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

3. Hausübungsblatt

(H1) Es seien f : A ) B und g : B ) C Abbildungen. Zeigen Sie:

(a) Ist g ∘ f surjektiv, so ist g surjektiv.

(b) Ist g ∘ f injektiv, so ist f injektiv.

(H2) Beweisen Sie, daß \sqrt[3]{5} irrational ist.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 7.11. bis Donnerstag 9.11.2000.