Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 14.11.2000

Ingenieurmathematik I

5. Übungsblatt

(P1) Es seien a_{1}, …, a_{n} ∈ , b_{1}, …, b_{n} ∈ ^{+}, und es bezeichne r die kleinste, s die größte der Zahlen \frac{a_{1}}{b_{1}} , …, \frac{a_{n}}{b_{n}} . Zeigen Sie

r ≤ \frac{a_{1} + ⋯+ a_{n}}{b_{1} + ⋯+ b_{n}} ≤ s .

(P2) Ein Skatspiel wird verteilt. (Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, im Skat liegen 2 Karten.)

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Bube im Skat liegt?

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Pik-Bube im Skat liegt? Wie groß ist sie, wenn schon die Herz-Dame drin ist?

(P3) Wieviele ungerade Zahlen zwischen 1000 und 10000 haben lauter verschiedene Ziffern (wie 5307)?

(H1) Beweisen Sie:

(a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt

∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} \binom{n}{k} = 0 .

(b) Für alle nicht negativen ganzen Zahlen n, k gilt

∑_{j=0}^{k} \binom{n + j}{j} = \binom{n + k + 1}{k} .

(H2) An einer Wurfbude auf dem Jahrmarkt werfen drei (ungeschickte?) Personen auf eine Figur je einen Ball. Die erste trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{3}{4} , die zweite mit einer von \frac{2}{3} und die dritte mit Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2} . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Figur

(a) nicht getroffen wird,

(b) von allen drei Bällen getroffen wird,

(c) von genau zwei Bällen getroffen wird.

Allgemeine Informationen zur Vorlesung und alte Aufgabenblätter finden Sie unter http://www.math.tu-clausthal.de/ingmathe/ingmathe1/

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 14.11.2000

Ingenieurmathematik I

5. Hausübungsblatt

(H1) Beweisen Sie:

(a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt

∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} \binom{n}{k} = 0 .

(b) Für alle nicht negativen ganzen Zahlen n, k gilt

∑_{j=0}^{k} \binom{n + j}{j} = \binom{n + k + 1}{k} .

(H2) An einer Wurfbude auf dem Jahrmarkt werfen drei (ungeschickte?) Personen auf eine Figur je einen Ball. Die erste trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{3}{4} , die zweite mit einer von \frac{2}{3} und die dritte mit Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2} . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Figur

(a) nicht getroffen wird,

(b) von allen drei Bällen getroffen wird,

(c) von genau zwei Bällen getroffen wird.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 21.11. bis Donnerstag 23.11.2000.