Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 21.11.2000

Ingenieurmathematik I

6. Übungsblatt

(P1) Untersuchen Sie, ob die Bildmenge f( ) der Funktion

x ⟼) y = f(x) = \frac{|x|}{1 + |x|}

beschränkt ist; bestimmen Sie ggf. supf( ) und inf f( ), und skizzieren Sie die Funktion.

(P2) Es seien a, b ∈ . Zeigen Sie

(a) max\{a, b\} = \frac{1}{2} ((a + b) + |a − b|),

(b) min\{a, b\} = \frac{1}{2} ((a + b) − |a − b|).

(P3) Skizzieren Sie

(a) M_{1} = {(x, y) ∈ ^{2} : (3x + 2)(y − 1) < 0},

(b) M_{2} = \{(x, y) ∈ ^{2} : y = |x − 3| + \frac{1}{2}|x − 6|\}.

(P4) Rechnen Sie nach, daß in einem beliebigen Dreieck der Kosinussatz gilt:

a^{2} = b^{2} + c^{2} − 2bc cosα.

Zeigen Sie dies zunächst für Winkel α < 90^{∘}, siehe Skizze mit c = p + q. Überlegen Sie sich dann, was Sie für Winkel α ≥ 90^{∘} ändern müssen.

[figure: A; B; C; a; b; c; q; p; h; α]

(H1) (a) Berechnen Sie die Werte der anderen trigonometrischen Funktionen aus

(i) sinφ = \frac{7}{25} ,  (ii) cosφ = \frac{3}{5} ,  (iii) tanφ = \frac{12}{5} .

(b) Zu welchen Winkeln φ_{0} mit 0 < φ_{0} < π gehören die Werte aus a) jeweils? Geben Sie dann alle Winkel φ_{0} ∈ mit den Werten aus a) an.

(c) Geben Sie eine Tabelle aller Umrechnungsformeln zwischen den Werten von je zwei der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot an.

(H2) Untersuchen Sie, ob die Bildmenge f(D) mit D = (−1, ) der Funktion

x ⟼) y = f(x) = \frac{x}{1 + x}

beschränkt ist; bestimmen Sie ggf. supf(D) und inf f(D), und skizzieren Sie die Funktion.

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

6. Hausübungsblatt

(H1) (a) Berechnen Sie die Werte der anderen trigonometrischen Funktionen aus

(i) sinφ = \frac{7}{25} ,  (ii) cosφ = \frac{3}{5} ,  (iii) tanφ = \frac{12}{5} .

(b) Zu welchen Winkeln φ_{0} mit 0 < φ_{0} < π gehören die Werte aus a) jeweils? Geben Sie dann alle Winkel φ_{0} ∈ mit den Werten aus a) an.

(c) Geben Sie eine Tabelle aller Umrechnungsformeln zwischen den Werten von je zwei der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot an.

(H2) Untersuchen Sie, ob die Bildmenge f(D) mit D = (−1, ) der Funktion

x ⟼) y = f(x) = \frac{x}{1 + x}

beschränkt ist; bestimmen Sie ggf. supf(D) und inf f(D), und skizzieren Sie die Funktion.

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 28.11. bis Donnerstag 30.11.2000.