Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 5.12.2000

Ingenieurmathematik I

8. Übungsblatt

(P1) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen

\begin{matrix}(a) & z_{1} = 2(1 − i) + 3(2 + i), & (b) & z_{2} = \frac{1}{i} , \\ (c) & z_{3} = \frac{1}{1−\sqrt{3}i} , & (d) & z_{4} = \frac{(−2+5i)(1+3i)}{2+3i} − ( \frac{2}{13} − \frac{3}{13} i). \end{matrix}

(P2) Berechnen und skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Menge aller z ∈ mit

(a) |z − z_{0}| < R,  (b) 1 ≤ |z| < 3,  (c) \frac{3π}{4} < argz < π,
(d) Im(z^{2}) ≥ Imz,  (e) Im(z^{2}) ≥ 2.

(P3) (a) Berechnen Sie sämtliche komplexen dritten Wurzeln aus 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i. Geben Sie das Ergebnis sowohl in Polarkoordinaten als auch in kartesischen Koordinaten an. Skizzieren Sie die Lösung in der Gaußschen Ebene.

(b) Berechnen Sie analog die komplexen vierten Wurzeln aus −\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}i.

(H1) Berechnen und skizzieren Sie die Menge aller z ∈ mit:

(a) |z − z_{0}| ≥ R,  (b) |z − 2| < |z|,  (c) Re(z^{2}) = 0,
(d) Rez = 2 Imz + 1,  (e) |z + i| + |z − i| ≤ 4.

(H2) Es seien z, w, z_{1}, z_{2} ∈ . Rechnen Sie nach, daß

|z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2(|z|^{2} + |w|^{2})  (∗)

gilt. Folgern Sie dann mit der Gleichung (∗):

(a) Aus |z_{1} + z_{2}| ≤ 1 und |z_{1} − z_{2}| ≤ 1 folgt |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} ≤ 1.

(b) Aus |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} ≤ 1 folgt |z_{1} − z_{2}| ≤ 1 oder |z_{1} + z_{2}| ≤ 1.

(c) Gilt die Umkehrung zu (a)?

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

8. Hausübungsblatt

(H1) Berechnen und skizzieren Sie die Menge aller z ∈ mit:

(a) |z − z_{0}| ≥ R,  (b) |z − 2| < |z|,  (c) Re(z^{2}) = 0,
(d) Rez = 2 Imz + 1,  (e) |z + i| + |z − i| ≤ 4.

(H2) Es seien z, w, z_{1}, z_{2} ∈ . Rechnen Sie nach, daß

|z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2(|z|^{2} + |w|^{2})  (∗)

gilt. Folgern Sie dann mit der Gleichung (∗):

(a) Aus |z_{1} + z_{2}| ≤ 1 und |z_{1} − z_{2}| ≤ 1 folgt |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} ≤ 1.

(b) Aus |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} ≤ 1 folgt |z_{1} − z_{2}| ≤ 1 oder |z_{1} + z_{2}| ≤ 1.

(c) Gilt die Umkehrung zu (a)?

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 12.12. bis Donnerstag 14.12.2000.