Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001 12.12.2000

Ingenieurmathematik I

9. Übungsblatt

(P1) Gegeben seien die Paare (x_{0}, y_{0}) = (1, 1) und (x_{1}, y_{1}) = (2, −1).

(a) Bestimmen Sie das Polynom f kleinsten Grades, das f(x_{i}) = y_{i} für i = 0, 1 erfüllt.

(b) Bestimmen Sie das ungerade Polynom f kleinsten Grades mit diesen Eigenschaften.

(P2) Welche Funktion f der Form f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d erfüllt die Bedingungen

f(−1) = 1, f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 19 ?

(P3) Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion

f(x) = \frac{x^{6} − x^{4} + x^{2}}{x^{2} + 1} .

(P4) Bestimmen Sie die komplexen Nullstellen des Polynomes f(z) = z^{3} − 5z^{2} + 4z + 10.

(H1) Für eine natürliche Zahl n seien ζ_{1}, ζ_{2}, ⋯, ζ_{n} die n-ten komplexen Einheitswurzeln. Berechnen Sie

∏_{ν=1}^{n} ζ_{ν}.

Unterscheiden Sie hierbei zwischen geradem und ungeradem n.

(H2) (a) Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Produktzerlegung von x^{4} + 1.

(b) Bestimmen Sie die relle Partialbruchzerlegung von f(x) = \frac{x^{6}−x^{5}+x^{4}}{x^{4}+1} .

Name  Vorname  Fachrichtung  Fachsemester  Ü-Gruppe  Punkte

Technische Universität Clausthal Institut für Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz

WS 2000/2001

Ingenieurmathematik I

9. Hausübungsblatt

(H1) Für eine natürliche Zahl n seien ζ_{1}, ζ_{2}, ⋯, ζ_{n} die n-ten komplexen Einheitswurzeln. Berechnen Sie

∏_{ν=1}^{n} ζ_{ν}.

Unterscheiden Sie hierbei zwischen geradem und ungeradem n.

(H2) (a) Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Produktzerlegung von x^{4} + 1.

(b) Bestimmen Sie die relle Partialbruchzerlegung von f(x) = \frac{x^{6}−x^{5}+x^{4}}{x^{4}+1} .

Abgabe der Lösungen

mit diesem Deckblatt vor Ihrer kleinen Übung in der Woche vom Dienstag 19.12. bis Donnerstag 21.12.2000.