_{23.10.2002}^{Blatt 2}  Algebra  _{Dr. Elsholtz}^{WS 2002/03}

Hinweise: Im Lesezimmer der Bibliothek habe ich ca. 15-20 Bücher zur Algebravorlesung bereitgestellt. Darunter sind einige fortgeschrittene klassische Werke, aber auch eine Reihe leichter lesbare Bücher. Empfehlenswert sind z.B. die Algebrabücher von Meyberg und Bosch; zur Gruppentheorie insbesondere auch das Buch von Humphreys. Auf folgender WWW Seite findet man die Übungsblätter, und mit einiger Verzögerung auch ein Skript.

http://www.math.tu-clausthal.de/Arbeitsgruppen/Zahlentheorie/elsholtz/algebra1/vorlesung.html

Aufgabe 1 Es seien (G, ∘_{G}), (H, ∘_{H}) Gruppen. Wir definieren das direkte Produkt (G × H, ∘) wie folgt. G × H = {(g, h) : g ∈ G, h ∈ H} ist das kartesische Produkt. Darauf verwenden wir die Verknüpfung:

(g_{1}, h_{1}) ∘ (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} ∘_{G} g_{2}, h_{1} ∘_{H} h_{2}).

Anschaulich handelt es sich also um ein komponentenweises Rechnen, wobei die Rechnung in der ersten Komponente ganz in G und die Rechnung der zweiten Komponente ganz in H stattfindet, und diese Rechnungen sich nicht gegenseitig beeinflussen. Wenn klar ist, dass es sich um das direkte Produkt von Gruppen handelt, schreibt man nur G × H.

a) Man beweise, dass G × H wieder eine Gruppe ist.

b) Es seien G_{1} ≤ G und H_{1} ≤ H jeweils Untergruppen. Man beweise, dass G_{1} × H_{1} eine Untergruppe von G × H ist.

c) Man überlege sich, ob alle Untergruppen von G × H die Form aus Teil b) haben müssen. (Falls ja: Beweis, falls nein: Beispiel).

Aufgabe 2 Man beweise:

a) G × H ist abelsch, genau dann, wenn G und H abelsch sind. b) Wenn G_{1} und G_{2} jeweils zyklisch sind, d.h. von einem Element erzeugt

werden, und falls ggT(|G_{1}|, |G_{2}|) = 1 ist, dann ist auch G_{1}×G_{2} zyklisch.

c) Es seien n_{1}, ⋯, n_{k} verschiedene natürliche Zahlen grösser als 1. Weiter seien sie paarweise teilerfremd, d.h. ggT(n_{i}, n_{j}) = 1 für i ≠ j. Es sei G_{i} eine zyklische Gruppe der Ordnung n_{i}. Dann ist G_{1} × G_{2} × ⋯ × G_{k} eine zyklische Gruppe der Ordnung n_{1}n_{2} ⋯ n_{k}.

Bei den folgenden beiden Aufgaben ist es nützlich, wenn Sie sich an die Definitionen der Gruppen A_{n} und S_{n} aus Ihrer Lineare Algebra Vorlesung erinnern. Mit S_{n} bzeichnen wir die Gruppe aller n! Permutationen von n Elementen. Permutationen können bequem in Zykelschreibweise geschrieben werden. Wiederholen Sie zunächst etwas, wie man Zykel multipliziert. Beispiel: (1234)(24): 1 geht auf 2. 2 geht erst auf 4, dann auf 1. 3 geht auf 4. 4 geht erst auf 2 dann auf 3. Das Ergebnis ist also (12)(34).

Aufgabe 3 Man gebe alle (!) Untergruppen der Gruppe S_{4} mit höchstens 6 Elementen an. (Es sollen also auch isomorphe Untergruppen einzeln aufgezählt werden, wenn sie verschiedene Elemente aus S_{4} enthalten). Man ordne diese Liste geeignet. (Wer möchte, kann auch alle weiteren Untergruppen angeben und versuchen, ein komplettes Untergruppendiagramm zu erstellen.)

Aufgabe 4 Es sei A_{n} die Gruppe aller \frac{n!}{2} geraden Permutationen, d.h. aller Permutationen, die als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen (a, b) geschrieben werden können. Man beweise, dass für n ≥ 3 die Gruppe A_{n} von den Zykeln (1, 2, 3), (1, 2, 4), … (1, 2, n) erzeugt wird. Hieraus folgere man, dass ein Normalteiler N ⊲ A_{n}, der einen Dreierzyklus enthält, mit A_{n} übereinstimmt.

Die Hausaufgaben sind am vor der Vorlesung abzugeben. Die zweite Übung findet am Mittwoch, 06.11.02, 17 Uhr statt.