_{13.11.2002}^{Blatt 4}  Algebra  _{Dr. Elsholtz}^{WS 2002/03}

Aufgabe 1 Es sei G eine endliche Gruppe mit Untergruppen G_{1} und G_{2}. Es seien |G_{1}| = p_{1} und |G_{2}| = p_{2} jeweils Primzahlen. Untersuchen Sie G_{1} ∩ G_{2}.

Aufgabe 2 Es seien m und n zwei natürliche Zahlen mit ggT(m, n) = 1. Beweisen Sie, dass C_{mn} ≅ C_{m} × C_{n} gilt.

Aufgabe 3 i) Beweisen Sie, dass es höchstens zwei Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 21 gibt.

ii) Zeigen Sie die Existenz einer nichtzyklischen Gruppe mit 21 Elementen.

Hinweis: X = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und Y = (\begin{matrix}4 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) mit Einträgen jeweils aus

ℤ/pℤ.

Aufgabe 4 Es seien p < q ungerade Primzahlen. Geben Sie eine möglichst allgemeine Bedingung an p und q an, unter der Sie beweisen können, dass die zyklische Gruppe die einzige Gruppe der Ordung pq ist.

Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 56 einen nichttrivialen Normalteiler haben.

Aufgabe 6 Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 36 einen nichttrivialen Normalteiler haben.

Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 48 einen nichttrivialen Normalteiler haben.

Aufgabe 8 a) Die Quaternionengruppe besteht aus den 8 Elementen ±e, ±i, ±j, ±k. (Man überlege sich, dass diese Definition Sinn macht! Es gilt i^{2} = j^{2} = k^{2} = −e, ij = k, jk = i, ki = j, ij = −ji, kj = −jk, ki = −ik. Wie kann man die Assoziativität schnell einsehen?

b) Man gebe so viele nichtisomorphe Gruppen mit Ordnung 8 wie möglich an. (Beweis, dass man alle hat, ist nicht gefordert). Man gebe dazu die Untergruppendiagramme an.

Abgabe am Mi. 27.11., 17 Uhr.