_{18.12.2002}^{Blatt 6}  Algebra  _{Dr. Elsholtz}^{WS 2002/03}

Aufgabe 1 (a) Man bestimme alle Ringhomomorphismen φ : ℤ → ℤ und alle Ringhomomorphismen φ : ℚ → ℚ.

(b) Sei n eine natürliche Zahl. Man zeige, dass ℤ/nℤ genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.

Aufgabe 2 Sei I_{1} das im Ring ℤ[i] von 2 und i − 1 erzeugte Ideal und I_{2} das von 1 + 3i und 3 + 7i erzeugte Ideal. Man zeige I_{1} = I_{2}, begründe, daß es sich um ein Hauptideal handelt und finde einen Erzeuger.

Aufgabe 3 Es sei R = 2ℤ der Ring der geraden Zahlen. (Ein Ring ohne 1). Zeigen Sie, dass M = {4z : z ∈ ℤ} ein maximales Ideal ist, aber kein Primideal ist. Vergleichen Sie dies mit einem relevanten Satz der Vorlesung.

Aufgabe 4 Es sei ρ = e^{\frac{2πi}{3}} und R = ℤ[ρ]. Es sei I = [6, 2ρ]. Man bestimme das Element α ∈ I mit der kleinsten Norm. (Für die Norm siehe auch die Vorlesung!) Ist I ein Hauptideal? Man skizziere I in der komplexen Ebene.

Aufgabe 5 Es sei R = ℤ[i].

a) Man faktorisiere n = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 in prime Elemente.

b) Man bestimme a = ggT(26 + 36i, −1 + 13i) und skizziere das von a erzeugte Ideal.

Aufgabe 6 Ein Ring R heißt einfach, wenn R außer {0} und R keine weiteren Ideale enthält. Man zeige:

(a) Schiefkörper sind einfache Ringe.

(b) Kommutative einfache Ringe sind Körper.

(c) Ist die Voraussetzung ”kommutativ“ notwendig, um in (b) wenigstens einen Schiefkörper zu erhalten? Hinweis für (c): Man denke an Matrizenringe.

Aufgabe 7 Es seien I und J Ideale eines Ringes R, mit

I + J = {i + j|i ∈ I und j ∈ J} = R.

Man zeige, daß es für alle a, b ∈ R ein x ∈ R gibt, so dass gilt:

x ≡ a mod I
x ≡ b mod J.

Aufgabe 8 Sei R ein faktorieller Ring. Man zeige:

(a) Jedes Element x ∈ R\{0} ist nur in endlich vielen Hauptidealen enthalten.

(b) Jede aufsteigende Folge I_{1} ⊆ I_{2} ⊆ I_{3} ⊆ … ⊆ R von Hauptidealen I_{i} in R wird stationär, d.h. es gibt ein n ∈ ℕ mit I_{i} = I_{n} für alle i ≥ n. Hinweis: Man überlege sich, dass in Integritätsringen Erzeuger von Hauptidealen bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig sind.

Abgabe: 8.1.2003.