_{26.11.2002}^{Blatt 4}  Algebra  _{Dr. Elsholtz}^{WS 2002/03}

Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung 48 einen nichttrivialen Normalteiler haben.

Lösung 1:

• Die Anzahl der 2-Sylowgruppen mit 16 Elementen ist nach dem 3. Sylowsatz ein Teiler von 3, also 1 oder 3.

• Falls es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, so ist diese nach Satz 1.10.10 Normalteiler und man ist fertig.

• Andernfalls gibt es also zwei (sogar 3) verschiedene Gruppen, P_{1} und P_{2}. (Man kann hier NICHT folgern, dass damit bereits 3(16 − 1) + 1 Elemente benutzt wurden, denn der Schnitt der Gruppen ist viel größer, als bei Gruppen mit primer Gruppenordnung). Wir beachten dass wegen P_{1}P_{2} ⊆ G auch |P_{1}P_{2}| ≤ 48.

• Wegen Satz 1.6.22 ist also

\frac{|P_{1}| · |P_{2}|}{|P_{1} ∩ P_{2}|} = |P_{1}P_{2}| ≤ 48.

Daher ist also |P_{1} ∩ P_{2}| > 4.

• Da P_{1} ∩ P_{2} eine Untergruppe von P_{1} ist, muss |P_{1} ∩ P_{2}| ein Teiler von 16 sein. Andererseits, da P_{1} und P_{2} verschiedene Untergruppen sind, kommt 16 nicht als Teiler in Frage, also gilt: |P_{1} ∩ P_{2}| = 8, und daher |P_{1}P_{2}| = 32.

• Da P_{1} ∩ P_{2} eine Untergruppe von P_{1} ist und den Index 2 hat, gilt P_{1}∩P_{2}⊲P_{1} und analog P_{1}∩P_{2}⊲P_{2}. Es folgt P_{1}∩P_{2}⊲ < P_{1}, P_{2} >. (Hierzu überlege man sich, dass jedes Element g aus < P_{1}, P_{2} > schrittweise (gemäß der Definition als Produkt von Elementen aus P_{1} und P_{2}) von links g(P_{1} ∩ P_{2}) nach rechts vertauscht werden kann: (P_{1} ∩ P_{2})g.

• (Die Argumentation mit dem Normalisator N_{G}(P_{1}∩P_{2}), als der grössten Untergruppe von G, die P_{1} ∩ P_{2} als Untergruppe hat, ist nicht notwendig. Sie machte das Arguement vielleicht komplizierter als notwendig.) Es gilt:

(P_{1} ∩ P_{2})⊲ < P_{1}, P_{2} >≤ N_{G}(P_{1} ∩ P_{2}) ≤ G.

Wir aber zeigen, dass bereits < P_{1}, P_{2} >= G gilt, so dass also

(P_{1} ∩ P_{2})⊲ < P_{1}, P_{2} >= N_{G}(P_{1} ∩ P_{2}) = G.

• Es gilt

P_{1}P_{2} ⊆< P_{1}, P_{2} >≤ G.

Da < P_{1}, P_{2} > Untergruppe von G ist, ist | < P_{1}, P_{2} > | ein Teiler von 48. Andererseits ist bereits |P_{1}P_{2}| = 32. Daher muss also < P_{1}, P_{2} >= G gelten.

Lösung 2: The number of Sylow 2-subgroups is 1 or 3. In the first case there is a normal subgroup of order 16. In the second case, let G act by conjugation on the Sylow 2-subgroups. This produces a homomorphism from G into S_{3}. Because of the action, the image cannot consist of just 2 elements. On the other hand, since no Sylow 2-subgroup is normal, the kernel cannot have 16 elements. The only possibility is that the homomorphism maps G onto S_{3}, and so the kernel is a normal subgroup of order \frac{48}{6} = 8. Hinweis: onto = surjektiv Lösung 3: Erinnerung: Korollar 1.8.13.: Es sei H ≤ G mit endlichem Index n = |G : H|. Dann gibt es einen Normalteiler N ⊲ G, N ⊆ H mit n||G : N| und |G : N||n!. Jede 2-Sylowgruppe hat Index n = |G : H| = 3. Wir schließen aus, dass der Normalteiler des Korollars einer der beiden trivialen Normalteiler ist: Es sei G = N. Dann gilt aber n ∤ |G : H| = 1. Es sei N = {e}. Dann gilt aber 48 = |G : N| ∤ 3! = 6. Folglich gibt es einen nichttrivialen Normalteiler.