Algebra (V4, Ü 2) Wintersemester 1997/98 Universität Stuttgart

Auf den nächsten Seiten finden Sie die Übungsblätter zur Vorlesung.

Dozent:  Prof. Dr. Jörg Brüdern
Übungen: Dipl. Math. Rainer Dietmann und

Dipl. Math. Christian Elsholtz.

Zielgruppe Studenten ab dem 5. Semester

Die Vorlesungen wurde von etwa 50-60 Studenten im Hauptstudium besucht. Etwa die Hälfte von ihnen gab regelmäßig Übungsaufgaben ab und erwarb einen Übungsschein. Die Aufgaben wurden von den Studenten als schwer eingestuft. Auf den Aufgabenblättern sind die Aufgaben in etwa nach dem (vermuteten) Schwierigkeitsgrad sortiert, d.h. Aufgaben 1 und 2 sind eher leicht, Aufgaben 4 und besonders 5 sind eher schwer.

Blatt 1 16.10.1997

Algebra

WS 1997/98 Prof. Brüdern

Dipl. Math. Dietmann Dipl. Math. Elsholtz

Aufgabe 1. Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit höchstens 5 Elementen.

Aufgabe 2.

(a) Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e. Man zeige:

∏_{x∈G} x^{2} = e .

(b) Gegeben sei eine Gruppe G mit folgender Eigenschaft: Für alle x ∈ G gilt x^{2} = e, wobei e das neutrale Element in G bezeichne. Man zeige: G ist abelsch.

Aufgabe 3. Man gebe eine vollständige Liste aller Untergruppen der symmetrischen Gruppe S_{3} an. Welche davon sind Normalteiler?

Aufgabe 4. Man beweise den dritten Isomorphiesatz: Sei G eine Gruppe. Ferner seien A_{1}, A, B_{1} und B Untergruppen von G mit A_{1} ⊲ A und B_{1} ⊲ B. Dann gilt:

(i) A_{1}(A ∩ B_{1}) ⊲ A_{1}(A ∩ B)

(ii) B_{1}(A_{1} ∩ B) ⊲ B_{1}(A ∩ B)

(iii) A_{1}(A ∩ B)/A_{1}(A ∩ B_{1}) ≅ B_{1}(A ∩ B)/B_{1}(A_{1} ∩ B)

Aufgabe 5. Man zeige für n ≥ 3, daß die alternierende Gruppe A_{n} von den Zyklen (1, 2, 3), (1, 2, 4), …, (1, 2, n) erzeugt wird. Hieraus folgere man, daß ein Normalteiler N ⊲ A_{n}, welcher einen 3-Zyklus enthält, bereits mit A_{n} übereinstimmt.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 23. Oktober nach der Vorlesung.

Die ersten Übungen finden am Montag, den 27. Oktober bzw. am Dienstag, den 28. Oktober jeweils um 15.45 Uhr in Raum 8.141 statt.

Blatt 2 23.10.1997

Algebra

WS 1997/98 Prof. Brüdern

Dipl. Math. Dietmann Dipl. Math. Elsholtz

Aufgabe 1 Gibt es p-Gruppen mit unendlich vielen Elementen? (Begründung !)

Aufgabe 2 Es sei G eine Gruppe und X die Menge aller Untergruppen von G. Man zeige:

(i) G × X ⟶ X, (g, H) ↦ gHg^{−1}, definiert eine Operation von G auf X.

(ii) Die Bahn eines Elements H ∈ X besteht genau dann nur aus H, wenn H ein Normalteiler von G ist.

(iii) Ist die Ordnung von G Potenz einer Primzahl p, so unterscheidet sich die Anzahl der Untergruppen von G von der Anzahl der Normalteiler von G um ein Vielfaches von p.

Aufgabe 3 Es sei G eine endliche Gruppe und H ⊂ G eine p-Untergruppe für eine Primzahl p. Man zeige: Ist H ein Normalteiler in G, so ist H in jeder p-Sylow-Gruppe von G enthalten.

Aufgabe 4 (a) Sei σ = (x_{1}, …, x_{r}) ∈ S_{n} ein r-Zykel. Für beliebiges τ ∈ S_{n} zeige

τστ^{−1} = (τ(x_{1}), …, τ(x_{r})).

(b) Die ”Kleinsche Vierergruppe“ V_{4} ist gegeben als Untergruppe der S_{4}, bestehend aus den Permutationen

id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3).

Man zeige V_{4} ⊲ S_{4}.

Aufgabe 5 Sei G eine endliche Gruppe mit n = #G. Sei p prim mit p^{r} || #G. Man zeige:

(a) #Syl_{p}(G) | \frac{n}{p^{r}} , (b) p | (#Syl_{p}(G) − 1).

Hinweis: Für (a) betrachte man die durch (g, H) ↦ gHg^{−1} auf Syl_{p}(G) definierte Operation von G. Für ein H ∈ Syl_{p}(G) betrachte man Stab(H) unter dieser Operation. Warum gilt p^{r} | Stab(H)? Man wende nun die Bahnengleichung an. Für (b) verwende man die Operation einer festen p-Sylow-Gruppe H auf Syl_{p}(G), gegeben durch (h, P) ↦ hP h^{−1} für h ∈ H, P ∈ Syl_{p}(G). Anschließend zeige man, daß es genau eine Bahn der Länge 1 gibt und schließe dann mit der Bahnengleichung.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 30. Oktober nach der Vorlesung.

Blatt 3 30.10.1997

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Aufgabe 1 (i) Man zeige, daß ℤ[\sqrt{−5}] := \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\} ein Ring ist.

(ii) Man zeige, daß es in diesem Ring Elemente gibt, die zwar unzerlegbar, aber nicht prim sind. Ist hier die Zerlegung in ”unzerlegbare Elemente“ eindeutig?

Aufgabe 2 Wir untersuchen den Ring der ganzen Gaußschen Zahlen: ℤ[i] := {a + bi |a, b ∈ ℤ, i^{2} = −1}.

(i) Man bestimme die Einheitengruppe von ℤ[i].

(ii) Man beweise, daß dieser Ring mit der Norm N(a + bi) = a^{2} + b^{2} euklidisch ist. Ist ℤ[i] faktoriell ?

(iii) Sei p ∈ ℕ eine Primzahl. Man zeige:

p ist prim in ℤ[i] ⇔ p kann nicht in der Form
p = a^{2} + b^{2}, a, b ∈ ℤ geschrieben werden.

(iv) Man zerlege 210 in Primelemente aus ℤ[i].

(v) Der Quotientenkörper von ℤ[i] ist isomorph zu ℚ[i] := {a + bi | a, b ∈ ℚ}.

Aufgabe 3 Sei I ein Integritätsbereich mit endlich vielen Elementen. Man beweise, daß I dann sogar ein Körper ist.

Aufgabe 4 Zeige, daß alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (1)

mit x, y, z > 0 und ggT(x, y, z) = 1 (”Pythagoräische Tripel“) durch

x = u^{2} − v^{2}, y = 2uv, z = u^{2} + v^{2}

gegeben sind, mit u, v ∈ ℕ, u > v, u und v teilerfremd und nicht beide ungerade, und durch die Tripel, die man hieraus durch Vertauschung von x und y erhält. Hinweis: Man zerlege die linke Seite von (1) in ein Produkt und zeige unter Ausnutzung der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ℤ[i], daß x + iy = ϵα^{2} für eine Einheit ϵ ∈ ℤ[i] und ein α ∈ ℤ[i] gelten muß.

Aufgabe 5 Man bestimme alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung

x^{3} + y^{3} = 3z^{3}.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 6. November nach der Vorlesung.

Blatt 4 6.11.1997

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Aufgabe 1 (a) Man bestimme alle Ringhomomorphismen φ : ℤ → ℤ und alle Ringhomomorphismen φ : ℚ → ℚ.

(b) Sei n eine natürliche Zahl. Man zeige, daß ℤ/nℤ genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.

Aufgabe 2 Sei I_{1} das im Ring ℤ[i] von 2 und i − 1 erzeugte Ideal und I_{2} das von 1 + 3i und 3 + 7i erzeugte Ideal. Man zeige I_{1} = I_{2}, begründe, daß es sich um ein Hauptideal handelt und finde einen Erzeuger.

Aufgabe 3 Ein Ring R heißt einfach, wenn R außer {0} und R keine weiteren Ideale enthält. Man zeige:

(a) Schiefkörper sind einfache Ringe.

(b) Kommutative einfache Ringe sind Körper.

(c) Ist die Voraussetzung ”kommutativ“ notwendig, um in (b) wenigstens einen Schiefkörper zu erhalten? Hinweis für (c): Man denke an Matrizenringe.

Aufgabe 4 (Sehr leicht) Es seien I und J Ideale eines Ringes R, mit

I + J = {i + j|i ∈ I und j ∈ J} = R.

Man zeige, daß es für alle a, b ∈ R ein x ∈ R gibt, so daß gilt:

x ≡ a mod I
x ≡ b mod J.

Aufgabe 5 Sei R ein faktorieller Ring. Man zeige:

(a) Jedes Element x ∈ R\{0} ist nur in endlich vielen Hauptidealen enthalten.

(b) Jede aufsteigende Folge I_{1} ⊆ I_{2} ⊆ I_{3} ⊆ … ⊆ R von Hauptidealen I_{i} in R wird stationär, d.h. es gibt ein n ∈ ℕ mit I_{i} = I_{n} für alle i ≥ n. Hinweis: In der Vorlesung wurde gezeigt, daß in Integritätsringen Erzeuger von Hauptidealen bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig sind.

Blatt 5 13.11.1997

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Aufgabe 1 Man zerlege die folgenden Polynome in irreduzible Faktoren, oder beweise, daß das betreffende Polynom bereits irreduzibel ist.

(a) X^{2} + 5X + 1 in ℤ[X],

(b) X^{2} + 1 in (ℤ/5ℤ)[X] und (ℤ/7ℤ)[X],

(c) X^{5} − kX + 1 (k ∈ ℤ ein Parameter) in ℚ[X],

(d) X^{3} − 3 in K[X] mit K = \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\},

(e) X^{2} + Y^{2} − 1 in ℂ[X, Y],

(f) X^{4} + 4Y^{4} in ℤ[i][X, Y] und in ℤ[X, Y]. Hinweis: Es reicht die Angabe der wesentlichen Zwischenschritte!

Aufgabe 2 (a) Sei R ein Hauptidealring und x, y ∈ R\{0}. Man zeige: GGT(x, y) existiert und läßt sich in der Form

GGT(x, y) = ax + by

für geeignete a, b ∈ R darstellen.

(b) Man betrachte die beiden Polynome f(X) = X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1 und g(X) = X^{4} + X^{3} + X + 1 in (ℤ/2ℤ)[X], bestimme ihren GGT und drücke diesen als Linearkombination von f und g aus.

Aufgabe 3 Man zeige: Zwei verschiedene Polynome f, g ∈ ℚ[X] mit ganzzahligen Koeffizienten sind in ℤ[X] genau dann teilerfremd, wenn das von ihnen erzeugte Ideal (f, g) eine ganze Zahl z ≠ 0 enthält.

Aufgabe 4 Sei R ein Integritätsbereich. Man zeige: R[X] ist genau dann ein Hauptidealring, wenn R ein Körper ist (siehe Satz 6 der Vorlesung). (Die Voraussetzung, sei R ein Integritätsbereich, wird gar nicht benötigt.)

Aufgabe 5 (a) Man zeige: Ein kommutativer Ring R ist genau dann noethersch, wenn jedes Ideal I in R endlich erzeugt ist, d.h. von einer Teilmenge X ⊂ R mit #X < ∞ erzeugt wird.

(b) Man beweise mit Hilfe von (a) den Hilbertschen Basissatz: Ist R ein kommutativer noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring R[X] noethersch. Möglicher Lösungsweg für (b): Ist I ein beliebiges Ideal in R[X], so sei

J_{n} = {r ∈ R : es gibt ein f ∈ I mit deg f = n und höchstem Koeffizient r}.

Die Kette J_{1} ⊂ J_{2} ⊂ … ⊂ R wird für einen Index m stationär (warum ?). Seien r_{n1}, …, r_{ns_{n}} Erzeuger für J_{n} (warum gibt es diese?). Man finde nun eine endliche Menge F ⊂ R[X] mit (F) = I. Zum Nachweis von (F) = I verwende man Induktion nach dem Grad der Polynome in I.

Blatt 6 20.11.1997

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Aufgabe 1 Man untersuche folgende Polynome in ℚ[X] auf Irreduzibilität:

(a) f(X) = \frac{2}{15}X^{5} + \frac{4}{5}X^{4} − X^{3} + \frac{6}{5}X^{2} − 3X + \frac{1}{5}

(b) f(X) = X^{3} + 2X^{2} + 4X + 4

(c) f(X) = X^{3} + 2X^{2} + 2X + 4

(d) f(x) = 4X^{3} + 4X^{2} + 2X + 1

(e) f(X) = X^{4} + 6X^{3} + 12X^{2} + 12X + 7

(f) f(X) = X^{4} + 6X^{3} + 12X^{2} + 12X + 5

(g) f(X) = X^{4} + 15X^{3} + 7

(h) f(X) = 2X^{4} + 11X^{3} + 20X^{2} + 14X + 3

(i) f(X) = X^{500} + X^{375} + X^{250} + X^{125} + 1

Aufgabe 2 (Eisenstein rückwärts) (a) Man beweise: Sei f ∈ ℤ[X] mit f(x) = a_{n}X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + ⋯ + a_{1}X + a_{0}. Sei p ∤ a_{0}, p|a_{1}, …, p|a_{n} aber p^{2} ∤ a_{n}, dann ist f irreduzibel über ℚ[X].

(b) Man beweise oder widerlege: Sei f ∈ ℤ[x]. Wenn es keine Primzahl p gibt, so daß die Koeffizienten von f die Eisensteinbedingungen für p erfüllen, dann ist f reduzibel.

Aufgabe 3 Sei p eine Primzahl. Man bestimme die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Grad 2 und Grad 3 in (ℤ/pℤ)[X].

Aufgabe 4 (Satz von Newton) Seien s_{1}, …, s_{n} die elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen X_{1}, …, X_{n}. Man zeige: R[X_{1}, …, X_{n}] ≅ R[s_{1}, …, s_{n}]; dabei ist R[s_{1}, …, s_{n}] der kleinste Ring, der R und s_{1}, …, s_{n} enthält.

Aufgabe 5 Sei R ein kommutativer Ring. Man zeige: Die Diskriminante eines kubischen Polynoms der Bauart f(X) = X^{3} + aX + b ∈ R[X] ist durch Δ_{f} = −4a^{3} − 27b^{2} gegeben.

Blatt 7 27.11.1997

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Aufgabe 1 Sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Man zeige: Die Determinante

Δ(X_{11}, …, X_{nn}) = | \begin{matrix}X_{11} & ⋯ & X_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ X_{n1} & ⋯ & X_{nn} \end{matrix} |

ist irreduzibel in K[X_{11}, …, X_{nn}].

Aufgabe 2 Seien a und b teilerfremde natürliche Zahlen und x, y ∈ ℂ mit x^{a} = 2, y^{b} = 3. Man zeige ℚ(x, y) = ℚ(x · y) und bestimme das Minimalpolynom von x · y über ℚ.

Aufgabe 3 Sei L/K eine endliche Körpererweiterung, so daß der Grad [L : K] prim ist. Man zeige, daß dann ein α ∈ L mit L = K(α) existiert.

Aufgabe 4 Man betrachte A = {a ∈ ℝ : a ist algebraisch über ℚ}.

Es ist zu zeigen: A ist eine algebraische Erweiterung von ℚ und es gilt [A : ℚ] = ∞. Ist A abzählbar? Gibt es α ∈ ℝ, die transzendent über ℚ sind? Man zeige: Jedes α ∈ ℝ\A ist transzendent über A.

Aufgabe 5 Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L algebraisch mit r = deg(a) und n eine beliebige natürliche Zahl. Man versuche, eine Formel für [K(a^{n}) : K] anzugeben, die nur von r und n abhängt.

Aufgabe 6 (a) Sei L/K eine Körpererweiterung, und seien α, β ∈ L, so daß α + β und α · β algebraisch über K sind. Man zeige: Dann sind auch α und β algebraisch über K.

(b) Sei L/K eine Körpererweiterung, n ∈ ℕ und α_{1}, …, α_{n} ∈ L, so daß σ_{1}(α_{1}, …, α_{n}), …, σ_{n}(α_{1}, …, α_{n}) algebraisch über K sind. Dabei sind σ_{i} (1 ≤ i ≤ n) die elementarsymmetrischen Funktionen in n Variablen. Man zeige: Unter diesen Voraussetzungen sind auch α_{1}, …, α_{n} algebraisch über K.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 4. Dezember nach der Vorlesung.

Blatt 8 4.12.1997

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Aufgabe 1 Man gebe die Kreisteilungspolynome Φ_{n} ∈ ℤ[x] für 1 ≤ n ≤ 20 explizit an.

Aufgabe 2 Sei L/K eine Körpererweiterung und f ∈ L[X] ein Polynom mit deg f < #K. Man zeige: Ist f(a) ∈ K für alle a ∈ K, so ist f ∈ K[X].

Aufgabe 3 Sei K Körper, p ∈ K[X] irreduzibel und F = K[X]/(p). Weiter sei L/K eine Körpererweiterung. Man zeige:

(i) Die Anzahl der K-Einbettungen von F in L ist höchstens deg p.

(ii) Seien a, b ∈ L mit p(a) = p(b) = 0. Dann gibt es einen Isomorphismus φ : K(a) → K(b) mit φ | K = id.

Aufgabe 4 (i) Sei ggT(r, p^{n} − 1) = 1. Dann gibt es zu jedem a ∈ 𝔽_{p^{n}} ein x ∈ 𝔽_{p^{n}} mit x^{r} = a.

(ii) Gelte r|p^{n} − 1. Dann gilt #\{a^{r} : a ∈ 𝔽_{p^{n}}\} = 1 + \frac{p^{n} − 1}{r}.

(iii) Sei F ein endlicher Körper. Zu jedem a ∈ F gibt es x, y ∈ F mit a = x^{2} + y^{2}.

Aufgabe 5 Man zeige: μ_{n}^{∗}(ℚ) ist genau dann eine Basis von ℚ(μ_{n})/ℚ, wenn n quadratfrei ist. (Eine Zahl n heißt quadratfrei, wenn für alle Primzahlen p gilt: p^{2} ∤ n.)

Nikolaus

Die erste korrekte Lösung der folgenden Aufgabe wird mit einem Nikolaus belohnt!

Aufgabe 6 Sei R ein Integritätsbereich, der nicht nur aus 0 und den Einheiten besteht. Untersuche folgende Argumentation: ”Angenommen, R enthalte nur endlich viele irreduzible Elemente, z.B. p_{1}, …, p_{r}. Dann muß 1 + (p_{1}p_{2} … p_{r}) einen irreduziblen Faktor q haben. Dieser kann aber mit keinem der p_{1}, …, p_{r} übereinstimmen. Also gibt es stets unendlich viele irreduzible Elemente.“

(a) Ist diese Argumentation korrekt?

(b) Wenn nicht, ist zumindest die Aussage korrekt, daß R stets unendlich viele irreduzible Elemente enthält?

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 11. Dezember nach der Vorlesung. Lösungen der Nikolaus-aufgabe können jederzeit (mit Datum und Uhrzeit versehen) abgegeben werden. Bei mehreren korrekten Lösungen entscheidet der Zeitpunkt der Abgabe.

Blatt 9 11.12.1997

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Aufgabe 1 Man konstruiere einen Zerfällungskörper von X^{4} − 2 über ℚ und gebe seinen Grad und ein primitives Element an.

Aufgabe 2 Seien p_{1}, …, p_{n} verschiedene Primzahlen aus ℕ. Man zeige

[ℚ(\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{n}}) : ℚ] = 2^{n}

und folgere

[\overline{ℚ} : ℚ] = ∞;

dabei bezeichnet \overline{ℚ} den algebraischen Abschluß von ℚ.

Aufgabe 3 In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, daß eine algebraische Körpererweiterung L/K genau dann einfach ist, wenn sie nur endlich viele Zwischenkörper enthält. Man beweise diese Aussage in folgenden Schritten:

(i) Man diskutiere zuerst den Fall #K < ∞. Im folgenden kann dann #K = ∞ angenommen werden.

(ii) Sei L = K(α) und f ∈ K[X] das Minimalpolynom von α über K. Die Menge der Zwischenkörper von L/K läßt sich identifizieren mit einer Teilmenge der Teiler von f, aufgefaßt als Polynom in L[X].

(iii) Es möge L/K nur endlich viele Zwischenkörper zulassen. Um zu zeigen, daß L/K einfach ist, reduziere man auf den Fall, wo L über K von zwei Elementen erzeugt wird. Für L = K(α, β) schließlich betrachte man zu Konstanten c ∈ K die Körper K(α + cβ).

Aufgabe 4 Sei p prim und L = 𝔽_{p}(X, Y) := 𝔽_{p}(X)(Y). Man zeige:

(i) σ : L → L; a ↦ a^{p} ist ein Körperhomomorphismus.

(ii) Gilt K = σ(L), so ist die Körpererweiterung L/K weder einfach noch separabel.

Aufgabe 5 Man konstruiere einen algebraischen Abschluß für einen endlichen Körper 𝔽_{p}. Anleitung: Zunächst zeige man, daß ein irreduzibles f ∈ 𝔽_{p}[X] ein Teiler von X^{p^{r}} − X ist, falls deg f | r gilt. Weiterhin gebe man dem Ausdruck ⋃_{n=1}^{∞} 𝔽_{p^{n!}} einen Sinn und zeige, daß dies ein Abschluß für 𝔽_{p} ist.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 18. Dezember nach der Vorlesung.

Blatt 10 18.12.1997

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Aufgabe 1 Sei α ∈ ℂ algebraisch über ℚ. Man zeige: α ist genau dann separabel, wenn die Anzahl der verschiedenen ℚ-Einbettungen von ℚ(α) nach ℂ gleich |ℚ(α) : ℚ| ist.

Aufgabe 2 Es seien K/L und L/M jeweils normale Körpererweiterungen. Folgt dann, daß auch K/M normal sein muß?

Aufgabe 3 Es sei f = X^{4} − 2.

(i) Man gebe den Zerfällungskörper L von f über ℚ an.

(ii) Man bestimme die Automorphismen von L und berechne die Galois-Gruppe G = Gal L/ℚ.

(iii) Man gebe alle Untergruppen der Galois-Gruppe G und alle Unterkörper des Zerfällungskörpers L in einem Diagramm an.

(iv) Welche der Untergruppen sind Normalteiler von G und welche Zwischenkörper sind normal über Q?

Aufgabe 4 Sei ζ_{n} = e^{\frac{2πi}{n}} für n ∈ ℕ. Man beweise, daß ℚ(ζ_{n}) ∩ ℝ = ℚ(ζ_{n} + \overline{ζ_{n}}) und bestimme [ℚ(ζ_{n} + \overline{ζ_{n}}) : ℚ].

Aufgabe 5 Sei L/F eine endliche, normale und separable Körpererweiterung. Sei F_{i} der Zwischenkörper, der nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie mit der Untergruppe G_{i} der Galois-Gruppe Gal L/F korrespondiert. Man beweise: Zum Durchschnitt zweier Untergruppen G_{1} ∩ G_{2} korrespondiert der von F_{1} und F_{2} erzeugte Vereinigungskörper: < F_{1} ∪ F_{2} >. Umgekehrt korrespondiert der Schnittkörper F_{1} ∩ F_{2} zu der von G_{1} und G_{2} erzeugten Vereinigungsgruppe.

Aufgabe 6 Sei M/K eine endliche, normale und separable Körpererweiterung. Sei Gal M/K die zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann gibt es zu jedem Teiler d von n genau einen Zwischenkörper L mit [L : K] = d. Ein Zwischenkörper L_{1} vom Grad d_{1} (über K) ist genau dann in einem Zwischenkörper L_{2} vom Grad d_{2} enthalten, wenn d_{1} | d_{2} gilt.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 8. Januar 1998 nach der Vorlesung.

Fröhliche Weihnachten und ein gutes neues Jahr 1998 wünschen

Blatt 11 8.1.1998

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Aufgabe 1 (i) Ist die Körpererweiterung ℚ(\sqrt{2 + \sqrt{2}})/ℚ galoissch? Wenn ja, berechne man die Galois-Gruppe der Körpererweiterung.

(ii) Man untersuche analog die Körpererweiterung ℚ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}) /ℚ.

Aufgabe 2 Es sei K ein Körper, f ∈ K[X] ein irreduzibles und separables Polynom. L sei der Zerfällungskörper von f über K. Die Erweiterung L/K ist also galoissch. Man zeige: Ist Gal(L/K) abelsch, so gilt L = K(α) für jede Nullstelle α ∈ L von f.

Aufgabe 3 (i) Man berechne die Galois-Gruppen Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})/ℚ) bzw.

Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})/ℚ) und gebe alle Untergruppen bzw. alle Zwischenkörper an. Weiterhin stelle man die Beziehungen der Untergruppen bzw. Zwischenkörper in einem Diagramm dar.

(ii) Seien p_{1}, …, p_{n} verschiedene Primzahlen. Man zeige, daß Gal(ℚ(\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{n}})/ℚ) eine Gruppe mit 2^{n} Elementen ist, wobei für jedes Element a gilt: a^{2} = id. Ist die Galois-Gruppe abelsch? (Es kann Blatt 9, Aufgabe 2 benutzt werden. Es ist aber auch möglich, hier einen (einfacheren) Beweis zu finden.)

Aufgabe 4 Sei L/K galoissch. Sei f ∈ K[X] irreduzibel und normiert und g ∈ L[X] irreduzibel und normiert mit g|f. Dann ist die Primfaktorzerlegung von f in L[X] das Produkt der Elemente der Bahn {σ(g) : σ ∈ Gal(L/K)}. Insbesondere haben die Primteiler von f in L[X] denselben Grad.

Aufgabe 5 Sei f = X^{5} − 6X + 3 ∈ ℚ[X].

• Man zeige: f ist irreduzibel und separabel. Wieviele reelle Nullstellen hat f?

• Sei L der Zerfällungskörper von f über ℚ. Man zeige G = Gal(L/ℚ) ≅ S_{5}.

Ein möglicher Lösungsweg: Um Automorphismen zu finden, betrachte man die Nullstellen von f. Man zeige, daß G eine Transposition und einen 5-Zykel enthält. Man zeige weiter, daß eine Transposition und ein 5-Zykel bereits S_{5} erzeugen. (Vergleiche auch Blatt 1, Aufgabe 5.)

Blatt 12 15.1.1998

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Aufgabe 1 (i) Man gebe eine explizite Vorschrift an, um das regelmäßige Fünfeck mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

(ii) Sei p > 2 prim. Man zeige: Ist das regelmäßige p-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar, so hat p die Form p = 2^{2^{k}} + 1.

(iii) Man beweise, daß 2^{2^{5}} + 1 durch 641 teilbar ist, ohne diese Division explizit auszuführen.

(iv) Man versuche, möglichst viele ungerade n anzugeben, so daß das regelmäßige n−Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe 2 Sei K ein Körper der Charakteristik 0. Weiter sei a_{1}, …, a_{n} eine Basis der Galois-Erweiterung L/K, U eine Untergruppe von Gal(L/K) und c_{i} = Sp_{U}a_{i} := ∑_{σ∈U} σ(a_{i}) (1 ≤ i ≤ n). Dann ist der zu U gehörende Fixkörper Φ(U) durch K(c_{1}, …, c_{n}) gegeben.

Aufgabe 3 Sei L/K eine Galoiserweiterung und U eine Untergruppe von Gal(L/K). Man zeige: Es ist genau dann Φ(U) = K(c), wenn σ(c) = c für alle σ ∈ U und σ(c) ≠ c für alle σ ∈Gal(L/K)\U gilt.

Aufgabe 4 Sei p eine Primzahl, ζ = e^{2πi/p}, φ ein Erzeuger der zyklischen Gruppe Gal(ℚ(ζ)/ℚ) und ζ_{i} := φ^{i}(ζ). Dann gibt es zu jedem Teiler d von p − 1 = dm genau einen Zwischenkörper M des p−ten Kreisteilungskörpers ℚ(ζ)/ℚ mit |M : ℚ| = m. Man erhält M durch Adjunktion eines Elementes der Form

η_{i} = ∑_{k=0}^{d−1} ζ_{i+km} (0 ≤ i ≤ m − 1) ;

d.h. M = ℚ(η_{0}) = … = ℚ(η_{m−1}). Auf diese Weise erhält man eine vollständige Übersicht über die Zwischenkörper von Q(ζ)/ℚ.

Blatt 13 22.1.1998

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Dipl. Math. Dietmann Dipl. Math. Elsholtz

Aufgabe 1 Man beweise, daß die alternierende Gruppe A_{5} nur die trivialen Normalteiler {e} und A_{5} hat. (Vergleiche Blatt 1, Aufgabe 5.)

Aufgabe 2 (i) Seien p und q verschiedene Primzahlen und G eine Gruppe mit #G = pq. Man beweise, daß G auflösbar ist. Weiterhin gebe man alle Gruppen mit 15 Elementen an. (Hinweis: Man kann die Sylow-Sätze verwenden.)

(ii) Seien p und q verschiedene Primzahlen und G eine Gruppe mit #G = p^{2}q. Man beweise, daß G auflösbar ist.

Aufgabe 3 Sei K ein Körper mit Charakteristik 0 und f ∈ K[x] irreduzibel. Sei r eine Nullstelle von f. Sei K_{n}/K_{n−1}/ … /K_{2}/K_{1}/K eine Radikal-Erweiterung von K mit r ∈ K_{n}. Man zeige, daß f durch Radikale ausgedrückt werden kann. Insbesondere gilt: Wenn eine Nullstelle von f durch Radikale ausgedrückt werden kann, dann auch alle anderen.

Aufgabe 4 (i) Sei p prim. Sei f ∈ ℚ[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad p mit genau p − 2 reellen Nullstellen. Man zeige, daß Gal(f, ℚ) = S_{p} ist. (Vergleiche Blatt 11, Aufgabe 5.)

(ii) Man konstruiere für jede Primzahl p ein Polynom mit den Eigenschaften aus (i). (Tip: Man denke an gerade Koeffizienten.)

(iii) Sei n ungerade und g ∈ ℚ[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Man beweise, daß alle Nullstellen reell sind, wenn die Galois-Gruppe Gal(g, ℚ) zyklisch ist.

Aufgabe 5 Sei p eine Primzahl. Sei a eine quadratfreie Zahl mit a ≠ −1, 0, 1. Sei K_{p} der Zerfällungskörper des Polynoms f = X^{p} − a über ℚ. Man beweise, daß [K_{p} : ℚ] = p(p − 1) gilt. Ist Gal(K_{p}/ℚ) auflösbar?

Blatt 14 29.1.1998

Algebra

WS 1997/98 Prof. Brüdern

Dipl. Math. Dietmann Dipl. Math. Elsholtz

Aufgabe 1 Sei p eine Primzahl. Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen der Ordnung p^{2}.

Aufgabe 2 Sei R ein Ring und M ≠ {0} ein torsionsfreier R-Modul. Dann ist R nullteilerfrei.

Aufgabe 3 Sei R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper. Sei M ein torsionsfreier R-Modul. Man zeige: Es gibt einen K-Vektorraum V und einen injektiven Modulhomomorphismus φ : M → V, so daß V über K von φ(M) erzeugt wird.

Aufgabe 4 Sei K ein Körper, V = K^{∞} der Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in K und R = End(V) der Ring der Endomorphismen. Zeige: Für alle n, m ∈ ℕ gilt R^{m} ≅ R^{n}.

Aufgabe 5 Sei K ein Körper mit char K ≠ 2, 3. Weiter sei f ∈ K[X] irreduzibel, L der Zerfällungskörper von f über K und Δ die Diskriminante von f. Dann gilt Gal(L/K) ≅ S_{3}, falls Δ kein Quadrat in K ist; andernfalls ist Gal(L/K) ≅ A_{3}.

Abgabe der Lösungen: Donnerstag, den 5. Februar 1998 nach der Vorlesung.